电磁场与电磁波第二章课后答案

第二章静电场

重点和难点

电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。

利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。

至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。

关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容和部分电容一节可以从简。

重要公式

真空中静电场方程：

积分形式：

微分形式：

已知电荷分布求解电场强度：

1，；

2，

3，高斯定律

介质中静电场方程：

积分形式：

微分形式：

线性均匀各向同性介质中静电场方程：

积分形式：

微分形式：

静电场边界条件：

1，。对于两种各向同性的线性介质，则

2，。在两种介质形成的边界上，则

对于两种各向同性的线性介质，则

3，介质与导体的边界条件：

；

若导体周围是各向同性的线性介质，则

；

静电场的能量：

孤立带电体的能量：

离散带电体的能量：

分布电荷的能量：

静电场的能量密度：

对于各向同性的线性介质，则

电场力：

库仑定律：

常电荷系统：

常电位系统：

题解

2-1若真空中相距为d的两个电荷q1及q2的电量分别为q及4q，当点电荷位于q1及q2的连线上时，系统处于平衡状态，试求的大小及位置。

解要使系统处于平衡状态，点电荷受到点电荷q1及q2的力应该大小相等，方向相反，即。那么，由，同时考虑到，求得

可见点电荷

可以任意，但应位于点电荷q 1和q 2的连线上，且与点电荷

相距。

2-2 已知真空中有三个点电荷，其

电量及位置分别为：

试求位于点的电场强度。 解 令分别为三个电电荷的位置

到

点的距

离，则

，

，

。

，其中为

利用点电荷的场强公式点电荷q 指向场点

的单位矢量。那么，

在P 点的场强大小为，方向为。

在P 点的场强大小为，方向为。

在P 点的场强大小为

，方向为

则

点的合成电场强度为

2-3 直接利用式（2-2-14）计算电偶极子的电场强度。 解 令点电荷位于坐标原点，

为点电荷

至场点P 的距离。再令点电荷

位于+

坐标轴上，

为点电荷

至场点P 的距离。两个点电荷相距为

，场点P 的坐标为（r,

, ）。

根据叠加原理，电偶极子在场点P 产生的电场为

考虑到r >> l ，

= e r ，

，那么上式变为

式中

以为变量，并将在零点作泰勒展开。由于，略去高阶项后，得

利用球坐标系中的散度计算公式，求出电场强度为

2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为C ，相距为2cm ， 如习题图2-4所示。试求：①P 点的电

位；②将电量为

C 的点电荷由无限远处缓慢地移至P 点时，外力必须作的功。

习题图2-2

z

x

E 3

E 2

E 1

原理，点的合成电位为解根据叠加

为的点电荷由无限远处缓慢地移到因此，将电量

点，外力必须做的功为

2-5 通过电位计算有限长线电荷

的电场强度。

解建立圆柱坐标系。令先电

场强与无关。为了简单起见，荷沿z轴放置，由于结构以z轴对称，

令场点位于yz平面。

设线电荷的长度为，密度为

，线电荷的中点位于坐标原

点，场点的坐标为。

利用电位叠加原理，求得场点

的电位为

式中。故

因，可知电场强度的z分量为

⊕⊕

1cm

P

1

c

m

q q

1cm

习题图2-4

y

习题图2-5

r

P

z

o

d l

l

θ

1

θ

2

电场强度的r分量为

式中，那么，合成电强为

当L →∞时，

，则合成电场强度为

可见，这些结果与教材2-2节例4完全相同。

2-6 已知分布在半径为a 的半圆周上的电荷线密度，试求圆心处的电场强度。

解 建立直角坐标，令线电荷位于xy 平面，且以y 轴为对称，如习

点电荷在圆心处产生的电场强度具有两个

题图2-6所示。那么，分量E x 和E y 。由于电荷分布以y 轴为对称，因此，仅需考虑电场强

度的

分量，即

考虑到，代入上式求得合成电场强度为

2-7 已知真空中半径为a 的圆环上均匀地分布的线电荷密度为，试求通过圆心的轴线上任一点的电位

及电场强度。

解 建立直角坐标，令圆环位于坐标原点，如习题图2-7所示。

在z 轴上

点产生的电位为

那么，点电荷

加原理，圆环线电荷在点产生的

根据叠

合成电

位为

电场强度

，则圆环线电荷

因在

点

产生的电场强度为

宽度为W ，面密度为的带状电荷

2-8 设位于真空中，

试求空间任一点的电场强度。

习题图2-8

x

y z

o

r

y

x

d x '

x ' (a)

(b)

P (x ,y )

习题图2-6

a

y

x

o

E 习题图2-7

x

y

z P

r o a

d l y