等差等比数列知识点总结

1.等差数列：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 叫做等差数列的公差，即

d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；.

2.等差中项：

（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2

b

a A +=或

b a A +=2 （

2

）

等

差

中

项

：

数

列

{}

n a 是等差数列

)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a

3.等差数列的通项公式：

一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为：

()d n a a n 11-+=

推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m

n a a d m

n --=； 4．等差数列的前n 项和公式：

1()2n n n a a S +=

1(1)2n n na d -=+211

()22

d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法

（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列

)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．

（3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4） 数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法

定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．

（1）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有

2m n p a a a +=.

(2) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列

（3）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的

和，n S 是前n 项的和 1.当项数为偶数n 2时，

()

121135212

n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇 ()

22246212

n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+=

=偶 ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇 11n n n n S na a S na a ++==奇偶

2、当项数为奇数12+n 时，则

21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨

⎨-==⎪⎪⎩⎩

n+1n+1

奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 （其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）． 1、等比数列的定义：()()*1

2,n

n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：

()11110,0n n

n n a a a q q A B a q A B q

-==

=⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q

推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=

⇔=3、等比中项：

（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =

或

A = 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）

（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：

（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q

S q

q

--=

=

-- 11''11n n n a a

q A A B A B A q q

=

-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数）

5、等比数列的判定方法：

（1）用定义：对任意的n ，都有1

1(0){}n n n n n n

a a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列

（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：

依据定义：若

()()*1

2,n

n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：

（1）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ⋅= 注：12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅

（2）如果{}n a 是各项均为正数的等比数列，则数列{log }a n a 是等差数列 （3）若{}n a 为等比数列，则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -⋅⋅⋅，成等比数列 （4）在等比数列{}n a 中，当项数为*2()n n N ∈时，1S S q

=奇偶