线性矩阵不等式1
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
H∞性能
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
•增益 ee有一个频率域的解释：它恰好等于传
递函数 的T(s) 范数H，即
ee T(s)
用线性矩阵不等式刻画系统的H∞范数
sup size(z) w0 size(w)
L2范数
• 对于平方可积的信号 f ，定义
f
(
1
f (t) 2dt)2
2
0
其中 f (t) f T (t) f (t) 是向量的欧式范数。这样
定义的 f 正好是信号 f 的能量。将所有有限能量 2
的全体记成 L2
即
L2 { f :
严格真传递函数阵的H∞范数与矩阵不等式的等价关系
有界实引理(Bounded real lemma )
min
AT P PA PB CT
BT P
I
DT
0
C
D I
P0
➢给出了系统H∞范数与LMI之间的关系 ➢使得H∞控制问题可基于LMI进行求解
控制器设计
min
s.t. AQ QAT BBT 0
CQCT I
Q>0
•若有一最优值 ， 则
ep
定理3---EE
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
定理4---PP
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
• 定理：针对系统(3.1.1)和给定的一个常数γ >0,若 存在对称矩阵P>0,使得如下线性矩阵不等式成立
AT P PA PB CT
BT P
I
DT
0
C
D I
则有||T(s)||∞< γ,且系统渐进稳定。
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
H∞控制律的存在条件和设计方法
H∞次优控制
H∞最优控制
Fi FiT Rnn 实对称矩阵
F x 是负定的
——仿射矩阵不等式 • 仿射函数即由1阶多项式构成的函数，一般形式为 f (x) = A x + b，这里，
A 是一个 m×k 矩阵，x 是一个 k 向量,b是一个m向量，实际上反映了 一种从 k 维到 m 维的空间映射关系。 • 设f是一个矢性（值）函数，若它可以表示为
➢ 特征值问题(EVP)－－求不等式的优化解
min s.t.G(x) I
H (x) 0
➢ 广义特征值问题(GEVP)－－仿射矩阵函数的不等式优化问 题
min s.t.G(x) F (x)
F(x) 0 H (x) 0
系统性能分析
连续时间系统
3.1.1系统增益指标
考虑 x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
H2性能
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
➢T的H2范数的平方等于系统脉冲响应的总的 输出能量。(IE)
➢系统的H2范数也可以用系统在白噪声输入信 号激励下的稳态输出方差来解释。(EP)
对于SISO系统 T(s) 2 ie ep
用线性矩阵不等式刻画系统的H2范数
C1 1 C 2称为 C1 和 C 2 的凸组合。
将矩阵不等式的解约束在 矩阵变量定义的空间中
关于凸集定义的理解
Schur补定理
引理 (Schur Complement) 对于分块对称阵
X
X11
X1T2
X12
X
22
其中 X11 为方阵，则以下三个条件是等价的：
0
f (t) 2dt }
f 2 也称为信号 f 的 L2 范数
L∞范数
• 对幅值有界的信号 f ，定义
f sup f (t) t0
当 f 是一个标量信号时， f 等于f 的峰值。
将所有幅值有界的信号全体记成 L
即 L { f : f (t) }
f 也称为信号f 的 L 范数。
证明：
AT P PA PB CT
BT P
I
DT
0
C
D I
对上述不等式分别左乘,右乘矩阵diag{γ1/2I,γ1/2I,γ-1/2I},得
AT P PA PB CT 记X=γP
BT P
2I DT 0
H∞控制器设计
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
x&(t) Ax(t) B1w(t)+ B2u(t z(t) C1x(t)+ D11w(t)+ D12u
状态反馈H∞控制
x&(t) Ax(t) B1w(t)+ B2u(t)
z(t) C1x(t)+ D11w(t)+ D12u(t)
a) X 0
b)
X11
0
，且
X 22
X1T2
X 1 11
X12
0
c)
X 22 0
，且
X11Байду номын сангаас
X12
X
1 22
X1T2
0
Schur补应用
若要证明存在对称矩阵P>0,Q>0,R>0,使得如下不等 式成立
AT P PA PBR1BT P Q 0
只需证明如下线性矩阵不等式(LMI)成立
C
D
I
AT X XA XB CT
BT X
2I
DT
0
C
D
I
运用Schur补，可得
AT X XA CTC XB CT D 2I DT D 1 BT X DTC 0
若D=0,则有
AT X XA 2 XBBT X CTC 0
鲁棒控制
－线性矩阵不等式处理方法
Robust control –LMI Method
主要内容
➢线性矩阵不等式概论 ➢系统性能分析 ➢控制器设计
线性矩阵不等式概论
线性矩阵不等式的一般表示
线性矩阵不等式：
F x F0 x1F1 xmFm 0
x (x1,, xm )T Rm 决策向量
四个性能指标
• IE(Impulse-to-Energy)增益： ie sup
z 2
w(t )w0 (t )
w0 1
• EP(Energy-to-Peak)增益：
ep sup
z
w 2 1
•
EE(Energy-to-Energy)增益：
ee sup
z 2
w 2 1
• PP(Peak-to-Peak)增益：
pp sup
z
w 1
定理1---IE
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
min
s.t. PA AT P CTC 0
BT PB I
P>0
•若有一最优值 ， 则
ie
定理2---EP
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
AT P PA Q PB
BT P
R 0
Schur补：是将非线性矩阵不等式转化为线 性矩阵不等式的有效工具
标准的线性矩阵不等式问题
Linear Matrix Inequality (LMI)
➢ 可行性问题(LMIP)—求不等式的可行解
检验是否存在x，使得 F(x) 0成立。
f x1 xm b x1A1 xmAm 0
其中Ai 可以是标量，也可以是矩阵，则称f是仿射函数。
凸（约束）问题
定义（凸集） 一个集合C Rk 称为凸的，如果集合中任意两点
的连线仍在集合内。
即任意给定两点 C1和 C 2 C 及参数 [0,1], 有
C1 1 C 2 C
H∞性能
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
•增益 ee有一个频率域的解释：它恰好等于传
递函数 的T(s) 范数H，即
ee T(s)
用线性矩阵不等式刻画系统的H∞范数
sup size(z) w0 size(w)
L2范数
• 对于平方可积的信号 f ，定义
f
(
1
f (t) 2dt)2
2
0
其中 f (t) f T (t) f (t) 是向量的欧式范数。这样
定义的 f 正好是信号 f 的能量。将所有有限能量 2
的全体记成 L2
即
L2 { f :
严格真传递函数阵的H∞范数与矩阵不等式的等价关系
有界实引理(Bounded real lemma )
min
AT P PA PB CT
BT P
I
DT
0
C
D I
P0
➢给出了系统H∞范数与LMI之间的关系 ➢使得H∞控制问题可基于LMI进行求解
控制器设计
min
s.t. AQ QAT BBT 0
CQCT I
Q>0
•若有一最优值 ， 则
ep
定理3---EE
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
定理4---PP
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
• 定理：针对系统(3.1.1)和给定的一个常数γ >0,若 存在对称矩阵P>0,使得如下线性矩阵不等式成立
AT P PA PB CT
BT P
I
DT
0
C
D I
则有||T(s)||∞< γ,且系统渐进稳定。
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
H∞控制律的存在条件和设计方法
H∞次优控制
H∞最优控制
Fi FiT Rnn 实对称矩阵
F x 是负定的
——仿射矩阵不等式 • 仿射函数即由1阶多项式构成的函数，一般形式为 f (x) = A x + b，这里，
A 是一个 m×k 矩阵，x 是一个 k 向量,b是一个m向量，实际上反映了 一种从 k 维到 m 维的空间映射关系。 • 设f是一个矢性（值）函数，若它可以表示为
➢ 特征值问题(EVP)－－求不等式的优化解
min s.t.G(x) I
H (x) 0
➢ 广义特征值问题(GEVP)－－仿射矩阵函数的不等式优化问 题
min s.t.G(x) F (x)
F(x) 0 H (x) 0
系统性能分析
连续时间系统
3.1.1系统增益指标
考虑 x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
H2性能
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
➢T的H2范数的平方等于系统脉冲响应的总的 输出能量。(IE)
➢系统的H2范数也可以用系统在白噪声输入信 号激励下的稳态输出方差来解释。(EP)
对于SISO系统 T(s) 2 ie ep
用线性矩阵不等式刻画系统的H2范数
C1 1 C 2称为 C1 和 C 2 的凸组合。
将矩阵不等式的解约束在 矩阵变量定义的空间中
关于凸集定义的理解
Schur补定理
引理 (Schur Complement) 对于分块对称阵
X
X11
X1T2
X12
X
22
其中 X11 为方阵，则以下三个条件是等价的：
0
f (t) 2dt }
f 2 也称为信号 f 的 L2 范数
L∞范数
• 对幅值有界的信号 f ，定义
f sup f (t) t0
当 f 是一个标量信号时， f 等于f 的峰值。
将所有幅值有界的信号全体记成 L
即 L { f : f (t) }
f 也称为信号f 的 L 范数。
证明：
AT P PA PB CT
BT P
I
DT
0
C
D I
对上述不等式分别左乘,右乘矩阵diag{γ1/2I,γ1/2I,γ-1/2I},得
AT P PA PB CT 记X=γP
BT P
2I DT 0
H∞控制器设计
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
x&(t) Ax(t) B1w(t)+ B2u(t z(t) C1x(t)+ D11w(t)+ D12u
状态反馈H∞控制
x&(t) Ax(t) B1w(t)+ B2u(t)
z(t) C1x(t)+ D11w(t)+ D12u(t)
a) X 0
b)
X11
0
，且
X 22
X1T2
X 1 11
X12
0
c)
X 22 0
，且
X11Байду номын сангаас
X12
X
1 22
X1T2
0
Schur补应用
若要证明存在对称矩阵P>0,Q>0,R>0,使得如下不等 式成立
AT P PA PBR1BT P Q 0
只需证明如下线性矩阵不等式(LMI)成立
C
D
I
AT X XA XB CT
BT X
2I
DT
0
C
D
I
运用Schur补，可得
AT X XA CTC XB CT D 2I DT D 1 BT X DTC 0
若D=0,则有
AT X XA 2 XBBT X CTC 0
鲁棒控制
－线性矩阵不等式处理方法
Robust control –LMI Method
主要内容
➢线性矩阵不等式概论 ➢系统性能分析 ➢控制器设计
线性矩阵不等式概论
线性矩阵不等式的一般表示
线性矩阵不等式：
F x F0 x1F1 xmFm 0
x (x1,, xm )T Rm 决策向量
四个性能指标
• IE(Impulse-to-Energy)增益： ie sup
z 2
w(t )w0 (t )
w0 1
• EP(Energy-to-Peak)增益：
ep sup
z
w 2 1
•
EE(Energy-to-Energy)增益：
ee sup
z 2
w 2 1
• PP(Peak-to-Peak)增益：
pp sup
z
w 1
定理1---IE
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
min
s.t. PA AT P CTC 0
BT PB I
P>0
•若有一最优值 ， 则
ie
定理2---EP
x&(t) Ax(t) Bw(t) z(t) Cx(t)+ Dw(t)
AT P PA Q PB
BT P
R 0
Schur补：是将非线性矩阵不等式转化为线 性矩阵不等式的有效工具
标准的线性矩阵不等式问题
Linear Matrix Inequality (LMI)
➢ 可行性问题(LMIP)—求不等式的可行解
检验是否存在x，使得 F(x) 0成立。
f x1 xm b x1A1 xmAm 0
其中Ai 可以是标量，也可以是矩阵，则称f是仿射函数。
凸（约束）问题
定义（凸集） 一个集合C Rk 称为凸的，如果集合中任意两点
的连线仍在集合内。
即任意给定两点 C1和 C 2 C 及参数 [0,1], 有
C1 1 C 2 C