常微分方程试题及参考答案

常微分方程试题

一、填空题(每小题3分，共39分)

1.常微分方程中的自变量个数是________.

2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.

3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程.

4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.

3的通解为________.方程5. =(x+1)6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x≤x≤x+h上，满00足初始条件(x)=y的解.则y= (x)是积分方程________定义于x≤x≤x+h0000上的连续解.

2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是7.方程=x________.

8.方程+a(t) +…+a(t) +a(t)x=0n1n-1中a(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x(t),x(t),…，x(t)为方程n ni12个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________.

(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为9.常系数线性方程x________.

10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x(t),x(t),…，x(t)是方程组n12x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：

x(t)=________的形式.

-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 (t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e可化为与之11.初值问题

等价的一阶方程组________.

12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵exp A t=________.

13.方程组

的奇点类型是________.

二、计算题(共45分)

1.(6分)解方程

= .

2.(6分)解方程

x″(t)+ =0.

3.(6分)解方程

(y-1-xy)dx+xdy=0.

4.(6分)解方程

求方程：)分5.(7．

S″(t)-S(t)=t+1

满足S(0)=1, (0)=2的解.

6.(7分)求方程组

的基解矩阵Φ(t).

7.(7分)验证方程：

有奇点x=1, x=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.21三、证明题(每小题8分，共16分)

1.设f(x,y)及连续，试证方程

dy-f(x,y)dx=0

为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.

2.函数f(x)定义于-∞

x=f(x)

存在唯一的一个解.

常微分方程试题参考答案

一、填空题(每小题3分，共39分)

1.1

2+ct+c2. 213.u=

4. c为任意常数

42+c(x+1)5.y= (x+1)6.y=y+ 0

7. (x)=

8.对任意t

tt-t-t+c+c9.x(t)=cee+ctete412310.x(t)=cx(t)+cx(t) +cx(t)n2n12111. x(1)=1,x(1)=2, x(1)=3321-2t[E+t(A+2E)+ ]12.expAt=e13.焦点

二、计算题（共45分）

1.解：将方程分离变量为

改写为

等式两边积分得

y-ln|1+y|=ln|x|-

y= e y=ln 或即2.解：令则得

=0

当0时

-

arc cosy=t+c1y=cos(t+c) 即1则x=sin(t+c)+c21当=0时

y= 即

x

3.解：这里M=y-1-xy, N=x

-x u=xye令

u关于x求偏导数得

-x-x-x-x 相比有=ye-xye-e Me 与则

因此

-x-x+eu=xye

-x-x=c+e方程的解为xye

4.解：方程改写为

这是伯努利方程，令

1-2-1 代入方程=y z=y

得

解方程z=

=

于是有

或

5.特征方程为

特征根为

t-t ee+c 对应齐线性方程的通解为s(t)=c21f(t)=t+1, 不是特征方程的根

从而方程有特解=（At+B）,代入方程得

-(At+B)=t+1

两边比较同次幂系数得

A=B=-1

t-t-(t+1)+c故通解为S(t)=cee 21据初始条件得

c= 1因此所求解为：S(t)=

6.解：系数矩阵A=

则，而det

特征方程det( )=0, 有特征根

对

对

对

因此基解矩阵

7.解：因故x=1，x=0是方程组奇点21令X=x-1, X=x, 即x=X+1,x=X代入原方程，得22211121化简得*

这里R(X)= , 显然（当时）

方程组*中，线性部分矩阵

det(A- )=

由det(A- )=0 得

可见相应驻定解渐近稳定

三、证明题（每小题8分，共16分）

1.证明：若dy-f(x,y)dx=0为线性方程

则f(x,y)=

积分因子的x因此仅有依赖于

反之，若仅有依赖于x的积分因子。

这里Ｍ＝－f(x,y),N=1

由-

方程为这是线性方程.

2.证明：由条件|f(x)-f(x)| N|x-x|,易知，f(x)为连续函数，2211任取x 作逐步点列0 x=f(x) n=0,1, nn+1考虑级数x+ 0因

由归纳法知对任意k,|x-x| k-1k故级数x+ 收敛0即序列{x}收敛，设n**

对x=f(x),两边求极限，注意f(x)连续，故x=f(x) nn+1*是方程x=f(x)的解即x又设是方程x=f(x)的任一解，则

*= x N<1,因必有因此解是唯一的．