高等数学期末复习-向量代数与空间解析几何

高等数学期末复习

第八章 向量代数与空间解析几何

一、内容要求

1、了解空间直角坐标系，会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标

2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系

3、会运用定义和运算性质求向量数量积

4、会运用定义和运算性质求向量的向量积

5、掌握向量数积和向量积的定义形式

6、掌握向量模的定义与向量数量积关系

7、掌握向量的方向余弦概念

8、掌握向量的平行概念

9、掌握向量的垂直概念

10、能识别如下空间曲面图形方程：柱面，球面、锥面，椭球面、抛物面，旋转曲面，双曲

面

11、掌握空间平面截距式方程概念，会化平面方程为截距式方程和求截距 12、会求过三点的平面方程，先确定平面法向量

13、会用点法式求平面方程，通常先确定平面法向量

14、会求过一点，方向向量已知的直线对称式方程，通常先确定直线方向向量 15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数 16、掌握直线对称式方程标准形式，能写出直线方向向量

二、例题习题

1、点)2,4,1(-P 在yoz 面上的投影点为( )； （内容要求1）

A. )2,4,1(-Q

B. )2,0,1(-Q

C. )0,4,1(-Q

D. )2,4,0(Q 解：yoz 面不含x ，所以x 分量变为0，故选D

2、设向量a ρ与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2

,,0321π

θθθ≤

≤），则

=++322212cos cos cos θθθ（ ）

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3

解：由作图计算可知，222

123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。（内容要求2）

3、设向量a ρ与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2

,,0321π

θθθ≤

≤），则

=++322212cos cos cos θθθ ;

解：222

123cos cos cos 2θθθ++=，所以填2。（内容要求2）

4、向量)3,1,1(-=a ρ

，)2,1,3(-=b ρ，则=⋅b a ρρ( )；

A. 0

B. 1

C. 2

D. )2,11,5(---

解：311(1)232a b ⋅=-⨯+⨯-+⨯=r

r ，所以选C 。（内容要求3）

5、向量32,2,=--=+-a i j k b i j k 则(2)-⋅=a b

解：2624i j k -=-++a ，所以(2)61224(1)6-⋅=-⨯+⨯+⨯-=-a b ，所以填6-。（内容要求3）

6、设a =2 i +2j +2k ，b =3j -4k ，则a ·b = 。

解：23202(4)2a b ⋅=⨯+⨯+⨯-=-，所以填-2。（内容要求3）

7、向量}3,0,1{=a ρ

，}2,1,1{-=b ρ，则=⨯b a ρρ( )；

A. 6

B. 6-

C. }1,1,3{-

D. }1,1,3{--

解：1

33112

i j k

a b i j k ⨯==+--r r

，所以选C 。（内容要求4）

8、向量}1,1,1{},2,1,3{-=-=b a ρρ

,则=⨯b a ρρ ；

解：3122111

i j k

a b i j k ⨯=-=---r r

，所以填2i j k --，或填{1,1,2}--。（内容要求4）

9、a 与b 为两个向量，θ为二者的夹角，则a b ⋅=( ).

(A) sin ab θ (B) sin a b θ (C) cos ab θ (D) cos a b θ 解：由定义，选D 。（内容要求5）

10、设,a b 为非零向量，则a b ⋅( )a b ⋅. (A) = (B) ≤ (C) ≥ (D) ≠

解：因为||||cos θ⋅=⋅a b a b ，所以|||||cos |||||θ⋅=⋅⋅≤⋅a b a b a b ，选B 。（内容要求5） 11

、已知1,a b ==，且a 与b 的夹角为4

π

，则a b +=( ).

(A)

(B) 1 (C) 2

(D) 1解：2

2

2

||||2||||cos 5θ+=++⋅=a b a b a b

，所以，+=a b A 。（内容要求6） 12、设,a b 为非零向量，且⊥a b ，则必有( ). (A) +=+a b a b (B) -=-a b a b

(C) +=-a b a b (D) +=-a b a b

解：2

2222||||2||||cos ||||θ+=++⋅=+a b a b a b a b ，（cos θ=0）

2

2222||||2||||cos ||||θ-=+-⋅=+a b a b a b a b

所以选C 。（内容要求6）

13、设向量a ρ

与三个坐标轴的正向的夹角分别为γβα,,，则

=++γβα222cos cos cos ;

解：2

2

2

cos cos cos 1αβγ++=，所以填1。（内容要求7） 14、设向量a ρ与三个坐标轴的正向的夹角分别为γβα,,，已知,4

,4

π

βπ

α=

=

则

γ=

解：因为向量a ρ与三个坐标轴的正向的夹角分别为γβα,,，,4

,4

π

βπ

α=

=

222cos cos cos 1αβγ++=，所以cos 0γ=，2

πγ=

，所以填2

πγ=

。（内容要求7）

15、设{1,2,3},{2,4,}a b λ=-=r r

，且//a b r r ，则λ=( )；

(A)

103 (B) 103

- (C) 6- (D) 6 解：因为//a b r r ，所以123

24λ

-==，所以选C 。（内容要求8）

16、设向量{2,1,10}a =--r ，{4,2,1}b =-r

，则向量a r 与向量b r 的关系是( ).

(A) 平行 (B) 斜交 (C) 垂直 (D) 不能确定 解：0⋅=a b ，所以选C 。（内容要求9）

17、已知向量}4,1,1{,-=⊥a b a ρρ，}1,,2{-=m b ρ，则=m ( )；

A. 1

B. 1-

C. 2

D. 2-

解：因为a b ⊥r r ，所以2402a b m m ⋅=--=⇒=-r

r ，所以选D 。（内容要求9）

18、在空间直角坐标系中, 方程4

92

2y x z +=表示的曲面是( )； A. 椭圆抛物面 B. 双曲抛物面 C. 椭圆锥面 D. 椭球面

解：4

92

2y x z +=为椭圆抛物面，所以选A 。（内容要求10） 19、在空间直角坐标系中，方程2

2

2

=+z x y 表示的曲面是 ( ).