第04讲-直线参数t的几何意义-2020届一轮复习数学套路之极坐标与参数方程(解析版)

第四讲 直线参数t 的几何意义

1．直线的参数方程

(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为00cos (sin x x t t y y t α

α

=+⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数）

(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义

参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．

(1)当0M M u u u u u r

与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．

(2)当0M M u u u u u r

与e 反向时，t 取负数，

(3)当M 与M 0重合时，t ＝0.

3.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）

t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨

⎧+=+=α

α

若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=t 1＋t 2

2； (2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 2

2； (3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |=|t 1·t 2|

（5）212

121212121212()4,0

,0

t t t t t t t t PA PB t t t t t t ⎧-=+-<⎪+=+=⎨+>⎪⎩当当

（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上） 【特别提醒】

(1)直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |.

(2)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-；

知识解读

考向一 参数t 的系数的平方和为1

【例1】已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝1＋4cos θ，

y ＝2＋4sin θ(θ为参数

)，直

线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π

3.

(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；

(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．

【答案】（1）见解析 （2）3

【解析】(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，

直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝3＋12t ，

y ＝5＋3

2t

(t 为参数)．

(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，

设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3. 学科&网

【举一反三】

1.已知曲线C 1的极坐标方程为2

sin 4cos ρθθ=， C 2的参数方程为

32(32

x t t y t ⎧

=-⎪⎪⎨⎪

=+⎪⎩

为参数）

（1）将曲线C 1与C 2的方程化为直角坐标系下的普通方程； （2）若C 1与C 2相交于A 、B 两点，求AB .

【答案】(1)曲线C 1的普通方程y 2=4x ,C 2的普通方程x+y-6=0 ；（2

）AB 【解析】（1）曲线C 1的普通方程为y 2=4x ， 曲线C 2的普通方程为x+y-6=0

（2）将C 2的参数方程代入C 1的方程y 2=4x

，得

23=43-+（）（）

整理可得2

60t +-=

，由韦达定理可得12126t t t t +=-=-

12AB t t =-==

2.已知曲线C 的极坐标方程是4sin 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点M （1，0），倾斜角为

34

π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求MA MB +的值. 【答案】（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为：x 2+(y-2)2=4，

直线l

的参数方程为1(x t y ⎧=-⎪⎪

⎨⎪=⎪⎩为参数）

（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程是4sin 0ρθ-=

即曲线C 的直角坐标方程为：x 2+(y-2)2=4

直线l 的参数方程31+t cos 4(3sin 4x t y t ππ⎧

=⎪⎪

⎨⎪=⎪⎩为参数）

即1(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）

（Ⅱ）设点A 、B 对应的参数分别为t 1，t 2

将直线l 的参数方程代入曲线C

的直角坐标方程得22(1)2)4-

+-=

整理，得2

10t -+=

，由韦达定理得12121t t t t +== 因为t 1t 2>0

，所以1212MA MB t t t t +=+=+=

考向二 t 系数平方和不等于1

【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为12{

22x t y t

=+=-（t 为参数）

，以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，曲线2C 的极坐标方程为： 22cos sin θ

ρθ

=

. （Ⅰ）将曲线1C 的方程化为普通方程；将曲线2C 的方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若点()1,2P ，曲线1C 与曲线2C 的交点为A B 、，求PA PB +的值.

【答案】(Ⅰ) 12:30,:C x y C +-= 2

2y x =；

（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ） 1:3C x y +=，即： 30x y +-=；

222:sin 2cos C ρθρθ=，即： 22y x =

（Ⅱ）方法一：

由t 的几何意义可得C 1

的参数方程为12(t 22

x t

y t ⎧

=-⎪⎪

⎨

⎪=+⎪⎩

为参数）