2021届安徽省合肥一中等六校高三第二次联考理科数学试卷
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（1）如图（1），点 为 在第一象限中的任意一点，过 作 的切线 ， 分别与 轴和 轴的正半轴交于 两点，求 面积的最小值；
（2）如图（2），过椭圆 上任意一点 作 的两条切线 和 ，切点分别为 ，当点 在椭圆 上运动时，是否存在定圆恒与直线 相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
19．已知 ， ．
故答案选
考点：抛物线；三角恒等变换．
7．B
【解析】
试题分析：设等比数列 的公比为
因为 成等差数列
所以
因为 ，解得
所以 ，
故答案选
考点：等比数列和等差数列．
8．C
【解析】试题分析：可设 在第一象限中
判断得 ，则
所以
把 代入 得 ，解得
因为双曲线 方程为
所以因为双曲线 方程为
故答案选
考点：双曲线的性质．
【最新】安徽省合肥一中等六校高三第二次联考理科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 （）
A．1 B．-1 C． D．
2．已知等差数列{an}，则“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”的（）
解：在等差数列{an}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{an}为单调递增数列，
若数列{an}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，
即“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”充分必要条件，
故选C．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
3．B
【解析】
由三视图还原出原几何体的直观图如图所示，因为AB⊥平面BCD，AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，所以平面ABE⊥平面BCD，平面AEB⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，平面AEDC⊥平面ABC，故选B．
17．如图，高为3的直三棱柱 中，底面是直三角形， ， 为 的中点， 在线段 上， ，且 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成的锐角二面角的余弦值．
18．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为 ，则椭圆在其上一点 处的切线方程为 ，试运用该性质解决以下问题：已知椭圆 和椭圆 （ 为常数）．
（1）分别写出曲线 与曲线 的普通方程；
（2）若曲线 与曲线 交于 两点，求线段 的长.
22．选修4-5：不等式选讲
已知函数 ．
（1）求不等式 ；
（2）若函数 的最小值为 ，且 ，求 的最小值．
参考答案
1．A
【解析】试题分析：因为 ，所以 ，所以 ，故选A.
考点：复数的运算.
2．C
【解析】
试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
13．过平面区域 内一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，记 ，则当 最小时 的值为．
14．对于实数a和b，定义运算“*”：
设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________________
（1）判断函数 的单调性，给出你的结论；
（2）讨论函数 的图象与直线 公共点的个数；
（3）若数列 的各项均为正数， ，在 时， ，求证： ．
20．选修4-1：几何证明选讲
如图所示，已知圆 的半径长为4，两条弦 相交于点 ，若 ， ， 为 的中点， ．
（1）求证： 平分 ；
（2）求 的度数．
21．已知曲线 的参数方程为 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
A． B． C． D．
10．已知函数 （ 且 ）和函数 ，若 与 两图象只有3个交点，则 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
11．如图，在扇形 中， ， 为弧 上且与 不重合的一个动点，且 ，若 （ ）存在最大值，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
二、填空题
12．若 是数列 的前 项的和，且 ，则数列 的最大项的值为．
A．1008B．2016C．2032D．4032
8．已知点 分别是双曲线 的左、右顶点，点 是双曲线 上异于 的另外一点，且 是顶角为 的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为（）
A． B． C． D．
9．如图，正方体 的棱长为 ，以顶点 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面积相交所得到的两段弧之和等于（）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(2017安徽六校素质测试)如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，图中粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的表面中互相垂直的平面有
A．3对B．4对
C．5对D．6对
4．在 中， 的对边分别为 ，且 ， ，则 的面积为（）
4．C
【详解】
因为
由三角形的正弦定理得
即
所以
由
故答案选
考点：正弦定理；数量积；三角形面积．
5．C
【解析】试题分析：
，若输出 ，需 且 ，解得
四个选项中只有 满足
故答案选
考点：程序框图的识别．
6．A
【解析】
试题分析：因为抛物线 （其中角 为 的一个内角）的准线过点
所以抛物线 的准线方程为
所以 ，即
因为角 为 的一个内角，所以
三、解答题
15．已知函数 ．
（1）试将函数 化为 的形式，并求该函数的对称中心；
（2）若锐角 中角 所对的边分别为 ，且 ，求 的取值范围．
16．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.
（1）设抛掷5次的得分为 ，求 的分布列和数学期望 ；
（2）求恰好得到 分的概率.
【易错点睛】双曲线 的渐近线方程是 ， 的渐近线方程是 ，同时还要注意在 中哪个角是 ，正确表示点 的坐标，利用“点在双曲线上”列方程是解题关键．
9．A
【解析】
试题分析：由球的性质知，圆弧 是以 圆心， 为半径的圆上的一段弧，圆弧 是以 圆心， 为半径的圆上的一段弧
因为 ，所以圆弧 长等于
在 中， ，所以
同理得
所以
所以圆弧 长等于
所以两段圆弧之和为
故答案选
考点：球截面．
A．Baidu NhomakorabeaB． C． D．
5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出 的值是6，则输入的整数 的可能值为（）
A．5 B．6 C．8 D．15
6．若抛物线 （其中角 为 的一个内角）的准线过点 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
7．在各项均为正数的等比数列 中， ， 成等差数列， 是数列 的前 项的和，则
（2）如图（2），过椭圆 上任意一点 作 的两条切线 和 ，切点分别为 ，当点 在椭圆 上运动时，是否存在定圆恒与直线 相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
19．已知 ， ．
故答案选
考点：抛物线；三角恒等变换．
7．B
【解析】
试题分析：设等比数列 的公比为
因为 成等差数列
所以
因为 ，解得
所以 ，
故答案选
考点：等比数列和等差数列．
8．C
【解析】试题分析：可设 在第一象限中
判断得 ，则
所以
把 代入 得 ，解得
因为双曲线 方程为
所以因为双曲线 方程为
故答案选
考点：双曲线的性质．
【最新】安徽省合肥一中等六校高三第二次联考理科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 （）
A．1 B．-1 C． D．
2．已知等差数列{an}，则“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”的（）
解：在等差数列{an}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{an}为单调递增数列，
若数列{an}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，
即“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”充分必要条件，
故选C．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
3．B
【解析】
由三视图还原出原几何体的直观图如图所示，因为AB⊥平面BCD，AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，所以平面ABE⊥平面BCD，平面AEB⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，平面AEDC⊥平面ABC，故选B．
17．如图，高为3的直三棱柱 中，底面是直三角形， ， 为 的中点， 在线段 上， ，且 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成的锐角二面角的余弦值．
18．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为 ，则椭圆在其上一点 处的切线方程为 ，试运用该性质解决以下问题：已知椭圆 和椭圆 （ 为常数）．
（1）分别写出曲线 与曲线 的普通方程；
（2）若曲线 与曲线 交于 两点，求线段 的长.
22．选修4-5：不等式选讲
已知函数 ．
（1）求不等式 ；
（2）若函数 的最小值为 ，且 ，求 的最小值．
参考答案
1．A
【解析】试题分析：因为 ，所以 ，所以 ，故选A.
考点：复数的运算.
2．C
【解析】
试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
13．过平面区域 内一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，记 ，则当 最小时 的值为．
14．对于实数a和b，定义运算“*”：
设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________________
（1）判断函数 的单调性，给出你的结论；
（2）讨论函数 的图象与直线 公共点的个数；
（3）若数列 的各项均为正数， ，在 时， ，求证： ．
20．选修4-1：几何证明选讲
如图所示，已知圆 的半径长为4，两条弦 相交于点 ，若 ， ， 为 的中点， ．
（1）求证： 平分 ；
（2）求 的度数．
21．已知曲线 的参数方程为 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
A． B． C． D．
10．已知函数 （ 且 ）和函数 ，若 与 两图象只有3个交点，则 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
11．如图，在扇形 中， ， 为弧 上且与 不重合的一个动点，且 ，若 （ ）存在最大值，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
二、填空题
12．若 是数列 的前 项的和，且 ，则数列 的最大项的值为．
A．1008B．2016C．2032D．4032
8．已知点 分别是双曲线 的左、右顶点，点 是双曲线 上异于 的另外一点，且 是顶角为 的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为（）
A． B． C． D．
9．如图，正方体 的棱长为 ，以顶点 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面积相交所得到的两段弧之和等于（）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(2017安徽六校素质测试)如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，图中粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的表面中互相垂直的平面有
A．3对B．4对
C．5对D．6对
4．在 中， 的对边分别为 ，且 ， ，则 的面积为（）
4．C
【详解】
因为
由三角形的正弦定理得
即
所以
由
故答案选
考点：正弦定理；数量积；三角形面积．
5．C
【解析】试题分析：
，若输出 ，需 且 ，解得
四个选项中只有 满足
故答案选
考点：程序框图的识别．
6．A
【解析】
试题分析：因为抛物线 （其中角 为 的一个内角）的准线过点
所以抛物线 的准线方程为
所以 ，即
因为角 为 的一个内角，所以
三、解答题
15．已知函数 ．
（1）试将函数 化为 的形式，并求该函数的对称中心；
（2）若锐角 中角 所对的边分别为 ，且 ，求 的取值范围．
16．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.
（1）设抛掷5次的得分为 ，求 的分布列和数学期望 ；
（2）求恰好得到 分的概率.
【易错点睛】双曲线 的渐近线方程是 ， 的渐近线方程是 ，同时还要注意在 中哪个角是 ，正确表示点 的坐标，利用“点在双曲线上”列方程是解题关键．
9．A
【解析】
试题分析：由球的性质知，圆弧 是以 圆心， 为半径的圆上的一段弧，圆弧 是以 圆心， 为半径的圆上的一段弧
因为 ，所以圆弧 长等于
在 中， ，所以
同理得
所以
所以圆弧 长等于
所以两段圆弧之和为
故答案选
考点：球截面．
A．Baidu NhomakorabeaB． C． D．
5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出 的值是6，则输入的整数 的可能值为（）
A．5 B．6 C．8 D．15
6．若抛物线 （其中角 为 的一个内角）的准线过点 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
7．在各项均为正数的等比数列 中， ， 成等差数列， 是数列 的前 项的和，则