幂函数的定义域
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3.如果α >0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数; 如果α <0,则幂函数 在(0,+∞)上为减函数。
α>1 0<α<1
α<0
例1 利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3-2 与 0.30.3 -2
（3） 2.5 5 与2.7 5
5.20.8 5.30.8
幂函数
下列函数有什么共同特征？
(1)
(2)
(3)
(4) (5)
y=x y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1
（1）都是函数；
（2）均是以自变量为底的幂； （3）指数为常数； （4）自变量前的系数为1。
上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数。
一、定义
几点说明:
1 1、对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3， ， 2 -1时的情形。 2、幂函数不象指数函数和对数函数，其定义 域随 的不同而不同。
奇函数 在R上是增函数 单调性：
函数y=x2的图象和 性质
定义域：
R
值 域：[0,) 奇偶性： 偶函数
在 [ 0 , ) 上是增函数 单调性：
在(,0]上是减函数
函数y=x3的图象 和性质
定义域：
值 域：
R R
奇偶性：奇函数
在R上是增函数 单调性：
函数y x
1 2
的图像和性质
练习1
判断下列函数是否为幂函数。 (1) (2) y=x4 y=2x2
(4) y 2
x
(5) y=x3+x
1 (3) y x
(6) y= 1
x y=x3 y=x1/2
… … …
-2
-1
0
1
2
3
4 …
-8 /
-1 /
y 8
0 0
1 1
8
2
27
64 …
3
2 …
y=x3
6
4 2
y=x
1 2 3 4 x
解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ < (2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数
(3)y=x-2/5在(0,+∞)内 是减函数， ∵2.5<2.7 ∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
∵0.2<0.3
∴ 0.20.3 <0.30.3
练习4
1）
1.3
0.5＜
1.5
函数y=2x与y=log2x的图像有什么联系？
图像关于直线y=x对称
如果有指数式y=2x，就能得到对数式 x=log2y。 把x与y对调，得到y=log2x 指数函数y=2x与对数函数y=log2x的定义域 与值域互换。
指数函数y=ax (a>0,且a≠1)与对数函数 y=logax (a>0,且a≠1)的互为反函数。 （1）互为反函数的两个函数图像关于直 线y=x对称。 （2）两函数的定义域与值域互换。
定义域： [0,)
值 域： [0,)
奇偶性： 非奇非偶函数
在[0,)上是增函数 单调性：
函数y=x－1的图象 和性质
0 ， 定义域： 0 ， 值 域：
（0，+） （0，+）
奇偶性： 奇函数
在（-，0）和(0, )上是减函数 单调性：
探究：观察幂函数图象（课本第77页图2.3.1），将你发现 的结论填在下面表格内：
1.把握好幂函数定义的结构特点
幂函数定义仍是结构定义，其特点是xα 的 系数为1，底数是自变量x的系数为1的单 项式. 2.幂函数定义域的求法
幂函数的定义域随着α 取值不同而不同,若 遇到分数指数型幂函数，应先化为根式， 再由根式性质求定义域.
返回
P79 2
y=x
定义域 值域
y = x2 y = x3 y x
R [0，+∞） 偶函数 R R 奇函数
1 2
y x 1
0 ， 0 ，
R R
[0，+∞） [0，+∞） 非奇非偶 函数
（0，+）
（0，+）
奇偶性 奇函数
奇函数
在（－∞,0] R上是 上是减函 单调性 增函数 数，在(0, +∞）上是 增函数
0.5
2 ＜ 5.1 5.09 2）
2
3） 4）
0.5
1 4
＞ 0.4
2 3
1 4
0.7
＞
0.8
2 3
小结
1、幂函数的定义 及图象特征？
2、幂函数的性质
yx
(1)幂函数图象过定点(1,1) (2)当α 为奇数时,幂函数为 奇函数; 当α 为偶数时,幂 函数为偶函数. (3)当α >0时,在(0,+∞)上为增 函数;当α<0时,在(0,+∞)上为减函 数。
公共点
R上是 在(0，+∞) 增函数 上是增函数
在( －∞,0)和 (0, +∞）上 是减函数
（1，1）
三、幂函数的性质:
幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式 中α 的不同而各异. １.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图 象都通过点(1,1);
2.当α 为奇数时,幂函数为奇函数, 当α 为偶数时,幂函数为偶函数.
1 2
பைடு நூலகம்
-3
-2
-1
0 -2 -4 -6 -8
二、五个常用幂函数的图象
y x2
(-2,4)
4
y x3
(2,4)
3
y=x
yx
(1,1)
2 4 6
2
1 2
(-1,1)
-4 -2
1
y=x1
(-1,-1)
-1
-2
从图象能得出它 们的性质吗?
-3
函数y=x的图象和性质
定义域：
值 域：
奇偶性：
R R
α>1 0<α<1
α<0
例1 利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3-2 与 0.30.3 -2
（3） 2.5 5 与2.7 5
5.20.8 5.30.8
幂函数
下列函数有什么共同特征？
(1)
(2)
(3)
(4) (5)
y=x y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1
（1）都是函数；
（2）均是以自变量为底的幂； （3）指数为常数； （4）自变量前的系数为1。
上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数。
一、定义
几点说明:
1 1、对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3， ， 2 -1时的情形。 2、幂函数不象指数函数和对数函数，其定义 域随 的不同而不同。
奇函数 在R上是增函数 单调性：
函数y=x2的图象和 性质
定义域：
R
值 域：[0,) 奇偶性： 偶函数
在 [ 0 , ) 上是增函数 单调性：
在(,0]上是减函数
函数y=x3的图象 和性质
定义域：
值 域：
R R
奇偶性：奇函数
在R上是增函数 单调性：
函数y x
1 2
的图像和性质
练习1
判断下列函数是否为幂函数。 (1) (2) y=x4 y=2x2
(4) y 2
x
(5) y=x3+x
1 (3) y x
(6) y= 1
x y=x3 y=x1/2
… … …
-2
-1
0
1
2
3
4 …
-8 /
-1 /
y 8
0 0
1 1
8
2
27
64 …
3
2 …
y=x3
6
4 2
y=x
1 2 3 4 x
解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ < (2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数
(3)y=x-2/5在(0,+∞)内 是减函数， ∵2.5<2.7 ∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
∵0.2<0.3
∴ 0.20.3 <0.30.3
练习4
1）
1.3
0.5＜
1.5
函数y=2x与y=log2x的图像有什么联系？
图像关于直线y=x对称
如果有指数式y=2x，就能得到对数式 x=log2y。 把x与y对调，得到y=log2x 指数函数y=2x与对数函数y=log2x的定义域 与值域互换。
指数函数y=ax (a>0,且a≠1)与对数函数 y=logax (a>0,且a≠1)的互为反函数。 （1）互为反函数的两个函数图像关于直 线y=x对称。 （2）两函数的定义域与值域互换。
定义域： [0,)
值 域： [0,)
奇偶性： 非奇非偶函数
在[0,)上是增函数 单调性：
函数y=x－1的图象 和性质
0 ， 定义域： 0 ， 值 域：
（0，+） （0，+）
奇偶性： 奇函数
在（-，0）和(0, )上是减函数 单调性：
探究：观察幂函数图象（课本第77页图2.3.1），将你发现 的结论填在下面表格内：
1.把握好幂函数定义的结构特点
幂函数定义仍是结构定义，其特点是xα 的 系数为1，底数是自变量x的系数为1的单 项式. 2.幂函数定义域的求法
幂函数的定义域随着α 取值不同而不同,若 遇到分数指数型幂函数，应先化为根式， 再由根式性质求定义域.
返回
P79 2
y=x
定义域 值域
y = x2 y = x3 y x
R [0，+∞） 偶函数 R R 奇函数
1 2
y x 1
0 ， 0 ，
R R
[0，+∞） [0，+∞） 非奇非偶 函数
（0，+）
（0，+）
奇偶性 奇函数
奇函数
在（－∞,0] R上是 上是减函 单调性 增函数 数，在(0, +∞）上是 增函数
0.5
2 ＜ 5.1 5.09 2）
2
3） 4）
0.5
1 4
＞ 0.4
2 3
1 4
0.7
＞
0.8
2 3
小结
1、幂函数的定义 及图象特征？
2、幂函数的性质
yx
(1)幂函数图象过定点(1,1) (2)当α 为奇数时,幂函数为 奇函数; 当α 为偶数时,幂 函数为偶函数. (3)当α >0时,在(0,+∞)上为增 函数;当α<0时,在(0,+∞)上为减函 数。
公共点
R上是 在(0，+∞) 增函数 上是增函数
在( －∞,0)和 (0, +∞）上 是减函数
（1，1）
三、幂函数的性质:
幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式 中α 的不同而各异. １.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图 象都通过点(1,1);
2.当α 为奇数时,幂函数为奇函数, 当α 为偶数时,幂函数为偶函数.
1 2
பைடு நூலகம்
-3
-2
-1
0 -2 -4 -6 -8
二、五个常用幂函数的图象
y x2
(-2,4)
4
y x3
(2,4)
3
y=x
yx
(1,1)
2 4 6
2
1 2
(-1,1)
-4 -2
1
y=x1
(-1,-1)
-1
-2
从图象能得出它 们的性质吗?
-3
函数y=x的图象和性质
定义域：
值 域：
奇偶性：
R R