圆 的 对 称 性

圆的对称性
主要内容：
（一）圆的定义及相关概念
1.定义：圆是到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形。

这个定点叫做圆心，定长叫做半径。

圆也可以看作是一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形。

同一圆的半径相等，直径相等，直径等于半径的2倍。

2. 圆的基本元素：
（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫直径。

（如图）
（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

简称弧，弧用符号“⌒”表示。

（3）半圆、劣弧、优弧
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧。

每一条弧都叫做半圆。

（4）圆心角
顶点在圆心的角，叫做圆心角。

∠COD
（5）同心圆、等圆、等弧
同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。

等圆：能够重合的两个圆叫等圆。

半径相等的两个圆也叫等圆。

等弧：在同圆与等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。

3. 圆是轴对称图形，也是中心对称图形。

经过圆心的直线是对称轴。

圆心是它的对称中心。

（二）圆的基本性质
1. 直径垂直于弦的性质（垂径定理）
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

如图：几何语言
2、圆心角、弧、弦之间的关系
定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。

推论：在同一个圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

如图，用几何语言表示如下：
⊙O中，（1）∵∠AOB＝∠A'OB'
（3）∵AB＝A'B'
【典型例题】
例1. 选择题：
（1）下列说法中，正确的是（）
A. 长度相等的弧是等弧
B. 两个半圆是等弧
C. 半径相等的弧是等弧
D. 直径是圆中最长的弦
（2）下列说法错误的是（）
A. 圆上的点到圆心的距离相等
B. 过圆心的线段是直径
C. 直径是圆中最长的弦
D. 半径相等的圆是等圆
例2. 如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB。

例3. 在⊙O中，弦AB＝12cm，点O到AB的距离等于AB的一半，求∠AOB的度数和圆的半径。

例4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。

求AB、AD的长。

例5. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O 的半径。

例6. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。

【练习】
1. ⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（）
A. B. 1 C. D.
2. 一种花边由如图的弓形组成，的半径为，弦AB＝2，则弓形的高CD为（）
A. B. C. 1 D.
3. 下列命题中正确的是（）
A. 圆只有一条对称轴
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 垂直于弦的直径平分这条弦
D. 相等的圆心角所对的弧相等
4. 已知⊙O的直径为10cm，点A在圆上，则OA＝___________cm。

5. 如图，∠A＝30°，则∠B＝___________。

6. 过⊙O内一点M的最长的弦为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长为___________。

7. 如图，在⊙O中，A、B、C、D为圆上四点，且OC、OD交AB于E、F，AE＝FB，则：
（1）OE与OF有什么关系？为什么？
（2）与相等吗？为什么？。