工程力学(理论力学部分)平面汇交力系及平面力偶系2

[例2] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。 求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。
解： ①选碾子为研究对象 ②取分离体画受力图
∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大, 这时拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。 由平衡的几何条件，力多边形封闭，故
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是： 该力系的合力等于零。用矢量式表示为：
Fi 0
在平衡的情形下，力多边形中最后一力的 终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称 为封闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡 的必要与充分条件是：该力系的力多边形自行 封闭，这是平衡的几何条件。
例题1 水平梁AB 中点C 作用着力P，其大小等于20kN，方向与 梁的轴线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链支座A 和活动铰链支座B 的反力。梁的自重不计。
解: 取杆AB为研究对象画受力图。
C
杆A B只受力偶的作用而平衡且C处为光
M1
A 60o
滑面约束，则A处约束反力的方位可定。
M2
60o D B
RA = RC = R, AC = a
Mi = 0
a R - M1 = 0
M1 = a R
(1)
M1
A
RA
C
RC
B
取杆CD为研究对象。因C点约束方位已定 ,
M O ( F ) F h 2 A O A B
力矩的单位常用N·m或kN·m。
2.3.2 合力矩定理与力矩的解析表达式
(1) 合力矩定理
平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于 所有各分力对于该点之矩的代数和。
n
MO(FR) MO(Fi)
i1
y
(2) 力矩的解析表达式
MO(F)xFsinqyFcosq
NAD
解：1、研究对象二力杆：BC
RC
RB
RB
NAD
2、研究对象： 整体
N AD R Blsm i4n05
2m l
[例6]不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,它们分别受力
偶矩为M1与M2的力偶作用 ，转向如图。问M1与M2的比值为多 大，结构才能平衡?
B
C
M1
A 60o
M2
60o D
B
FPtg
NBcoPs
又由几何关系：
tg
r2(rh)2 rh 0.577
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
2.2.1 力在坐标轴上的投影
y
Fx Fcos Fy
C
则D点约束反力方位亦可确定，画受力图。
M1
A 60o
M2
60o D
RD = RC = R Mi = 0
R C
B C
- 0.5a R + M2 = 0
M2 = 0.5 a R
(2)
M2
联立(1)(2)两式得:M1/M2=2 A 60o
60o D
RD
M A C R C d 0 .2R 5 C (N 5 .m )
Mi 0 MACM0 RC 313N7
[例5]图示杆系，已知m，l。求A、B处约束力。
NAD
解：1、研究对象二力杆：AD
RC
NAD
练习：
RB
2、研究对象： 整体
NADRB
m l
思考：CB杆受力情况如何？
RC
m
RB
AD杆
m RC
F RF R 2 x F R 2 y( F x i)2 ( F y i)2
cos(FR
,
i)
FRx FR
cos(FR ,
j)
FRy FR
2.2.4 平面汇交力系的平衡方程
FR (Fxi)2(Fyi)20
Fxi 0 Fyi 0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在 作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。 上式称为平面汇交力系的平衡方程。
定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼 此等效。
推论： (1) 任一力偶可以在它的作用面内 任意移转，而不改变它对刚体的作 用。因此，力偶对刚体的作用与力 偶在其作用面内的位置无关。
(2) 只要保持力偶矩的大小和力偶 的转向不变，可以同时改变力偶中 力的大小和力偶臂的长短，而不改 变力偶对刚体的作用。
n
Mi0
i1
思考题1
刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其 四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组成封闭 的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？
F1
B
F2
A
F4
D
C F3
思考题2
从力偶理论知道，一力不能与力偶平衡。图示轮子上的 力P为什么能与M平衡呢？
M
OR
FO
P
[例3] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m 1 m 2 m 3 m 4 1N 5 m ,求工件的 总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
F
Fy Fcos
x
O
Fx
2.2.2 力的正交分解与力的解析表达式
y
Fy j Oi
F Fx x
F F x F y F xi F yj
2.2.3 合力投影定理 平面汇交力系的合力在某轴上的投影，等
于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。
FRx Fxi
FRy Fyi
2.2.4 平面汇交力系合成的解析法
简单力系：指的是汇交力系、力偶系。
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则
F1
F2
F3 A
F4
c F3
F2
b
F1
FR
a
d F4 e
a
d
F2
F4 e
c FR
F1
F3 b
各力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形。 用力多边形求合力的作图规则称为力的多边形法则。 力多边形中表示合力矢量的边称为力多边形的封闭边。
(1) 力偶矩的大小； (2) 力偶在作用面内的转向。
平面力偶可视为代数量，以M 或M(F, F')表示，
MF d2A A B C
A
F Dd
B
C
F'
平面力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶 臂的乘积，正负号表示力偶的转向：一般以逆时针转向为正， 反之则为负。力偶的单位与力矩相同。
2.4.2 同平面内力偶的等效定理定理
2.4.2 同平面内力偶的等效定理定理
力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有 力偶矩才是力偶作用的唯一量度。今后常用如图所示 的符号表示力偶。M为力偶的矩。
2.4.3 平面力偶系的合成
来自百度文库
M1F1d1F3d
M 2F2d2F4d
F F 3 F 4 F F 3 F 4 M1(F1, F'1)， M2(F2, F'2)
xFyyFx
y
Fy
A Ox
F
q
Fx x
例1 已知F＝1400 N, r＝60 mm, a＝20°，求力Fn对O点的矩。
Ft
Fn
Fn
Fr
M O ( F ) F h F r c o s 7 8 . 9 3 N m
M O ( F ) M O ( F r ) M O ( F t ) M O ( F t ) F c o s r
M F d ( F 3 F 4 ) d F 3 d F 4 d M 1 M 2
在同平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶， 合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。
n
M Mi i 1
2.4.4 平面力偶系的平衡条件
所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此， 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩 的代数和等于零，即
平面力系 ②平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况 )
Image (planar parallel force system例) ：起重机的挂钩。
③一般力系(平面任意力系) (planar general force system)
①汇交力系 空间力系 ②平行力系(空间力偶系是其中的特殊情况 )
③一般力系(空间任意力系)
SCD si4n05cPo40 s5tg 4.2k 4N ； RASCDccoo4ss503.16kN
2.3 平面力对点之矩的概念及计算
2.3.1 力对点之矩（力矩）
B
MO(F)
F
r
A
O
h
力F与点O位于同一平面内， 点O称为矩心，点O到力的作用 线的垂直距离h称为力臂。
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力 臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转 动时为正，反之为负。
解: 各力偶的合力偶矩为
Mm1m2m3m4 4(15)60Nm
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。
根据平面力偶系平衡方程有: N B 0 .2 m 1 m 2 m 3 m 4 0
NB06.20300N
NANB30N 0
[例4] 图示结构，已知M=800N.m，求A、C两点的约束反力。
[例2] 已知 P=2kN 求SCD , RA
解: 1. 取AB杆为研究对象
2. 画AB的受力图
3. 列平衡方程
X0 R Aco sSCD co 40 s5 0
Y0 P R A si n S Cs D4 i0 n 5 0
4. 解方程 由EB=BC=0.4m，
解得： tgE AB B1 0..2 41 3
2.4 平面力偶
2.4.1力偶与力偶矩 由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，
称为力偶，记为(F, F')。力偶的两力之间的垂直距离d称为力臂， 力偶所在的平面称为力偶作用面。
力偶不能合成为一个力，也不能用一个力来平衡。力和力 偶是静力学的两个基本要素。
2.4.1 力偶与力偶矩
力偶是由两个力组成的特殊力系，它的作用只改变物体的 转动状态。力偶对物体的转动效应用力偶矩来度量。平面力偶 对物体的作用效应由以下两个因素决定：
A
C
a
a
B
30º
A
NA
解： (a)
(1) 取梁AB 作为研究对象。
D P 60º C
(b)
B 30º NB H
E
60º NB
P
K
30º NA
(c)
(2) 画出受力图。
(3) 应用平衡条件画出P、NA 和NB 的闭合力三角形。
(4) 解出：NA=Pcos30=17.3kN，NB=Psin30=10kN
工程力学（理 论 力 学 部 分）
河南科技大学建筑工程学院工程力学系
力系
F1 M1
F2 Mn
Fn F3
基本概念
力系分为：平面力系(planar force system)
空间力系(space force system)
No ①汇交力系(planar concurrent force system)
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则
结论：平面汇交力系可简化为一合力，其 合力的大小与方向等于各分力的矢量和 (几何和)，合力的作用线通过汇交点。 用 矢量式表示为：
F R F 1 F 2 F n F
如果一力与某一力系等效，则此力称为该 力系的合力。
2.1.2 平面汇交力系平衡的几何条件