第三章傅里叶变换

j
上式右边的冲激函数项反映了由积 分产生的直流（均值） 。
9 时域卷积定理：
若
f1(t)F F1() f2 (t) F F2 ()
则
f1(t) f2 (t) F F1()F2 ()
可见：时域中卷积信号的傅里叶变换等于信号 傅里叶变换的乘积。
证明：
因为
f1(t) f2 (t) f1( ) f2 (t )d
上式两边进行傅里叶变换，有
F [ f1(t) f2 (t)]
[
f1( )
f2 (t
)d ]e jt dt
交换积分次序
F [ f1(t) f2 (t)]
f1( )[
f2 (t
)e jt dt]d
f1( )e j [
f2 (t
)e j(t )d (t
)]d
上式中方括弧中的积分就是 f2 (t) 的傅里叶变换，即
u(t)
1
F [u(t )] () 1
j 幅度频谱和相位频谱为：
0
t
| F () |
| F () | () 1
||
() 2
2
0 0
(π)
0
Ω
()
2
Ω
-2
3.2 傅里叶变换的性质
为方便起见，将信号f(t)与其傅里叶变换F(Ω)关系表示成f (t)F F()
１、线性特性
若 f1(t) F F1() 和 f2 (t)F F2 ()
第三章 傅里叶变换
傅里叶生平
• 1768年生于法国
• 1807年提出“任何周 期信号都可用正弦函 数级数表示”
• 拉格朗日反对发表
• 1822年首次发表“热 的分析理论”
• 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件
傅里叶的两个最主要的贡献——
“周期信号都可以表示为成谐波关 系的正弦信号的加权和”——傅里 叶的第一个主要论点
３、对称性（重要考点） 若 F () F [ f (t)]
则 F [F (t)] 2f ()
结论：除了在幅值上差个比例常数外，时域中 的单位冲激函数的傅里叶变换为频域中的直流 函数;时域中直流函数的傅里叶变换为频域中 的冲激函数；
时域中的矩形脉冲函数的傅里叶变换为频 域中的抽样函数，而时域中的抽样函数的傅里 叶变换为频域中的矩形脉冲函数。
F[s
gn(t
)]
lim
0
2
j2 2
j
2
幅度频谱和相位频谱为：
| F () | 2 ||
() 2
2
0 0
sgn(t )
1
t -1
| F () |
0
() 2
-2
Ω
Ω
７ 单位阶跃函数 单位阶跃函数可以看成是直流信号与符号函数的叠加，即：
u(t) 1 1 sgn(t) 22
所以其傅里叶变换为：
2
2
E
s in(
2
)
ESa
2
2
可以看出傅里叶变换与傅里叶系数有如下关系：
F () TFn
结论：
傅里叶变换表示的是傅里叶系数乘以周期T后的包络线， 而傅里叶系数就是在此包络线上等间隔取得的样本。此外， 当τ一定，则包络线与周期T无关。
另外一种解释是，当周期信号的周期T 趋于无穷大时，周 期信号就变成非周期信号（周期为无穷大），原周期信号的 傅里叶系数（频谱分量）的幅值变成无穷小（趋于零），而 谱线密度无限加密，以至于连续，在乘以周期T（无穷大值） 后，就变成傅里叶变换，因此傅里叶变换反映的是信号频谱 的“相对”大小。
“非周期信号都可以用正弦信号的 加权积分来表示”——傅里叶的第 二个主要论点
§3 傅里叶变换
3.2信号的傅里叶变换
傅里叶变换有以下积分定义：
： 傅里叶正变换公式
F () F [ f (t )] f (t )e jt dt
傅里叶反变换公式： f (t) F -1[F ()] 1 F ()e jt d
则 af1(t) bf2 (t)F aF1() bF2 ()
２、奇偶性
若 f (t) F F ()
通常F(Ω)为复函数可以表示成 F() R() jX ()
式中R(Ω)和X(Ω)分别为F(Ω)的实部和虚部
| F () || F () |, () ()
上式说明︱F(Ω)︱和R(Ω)为的偶函数， φ (Ω)和X(Ω)为的奇函数
2.在任何有限区间内，只有有限个最大值和最小值。
3.在任何有限区间内，只有有限个不连续点，并且在 每个不连续点上信号都必须取有限值，这时傅里叶 变换收敛于间断点两边函数值的平均值。
常见非周期信号的傅里叶变换
１矩形脉冲信号
f(t)
E
E f (t )
0
| t |
2
| t |
2
-
0
t
2
2
E：脉冲幅度，τ：脉冲宽度。其傅里叶变换为
-T
- 0
T
t
2
2
周期脉冲函数
周期脉冲函数的频谱
幅度频谱
n
π -π
相位频谱
现在对同一周期信号中的主值区间信号（矩形脉冲信号）进行傅 里叶变换，因主值区间信号为：
E f (t )
0
其傅里叶变换为 ：
| t |
2
| t |
2
F () f (t)e jt dt
2
Ee jt dt
2E sin( )
假定线性时不变系统单位冲激响应为h(t)，系统频率响应为H()，即有
F [h(t)] H()
当输入为 x(t) e jk0t 时，系统输出的傅里叶变换为
Y () X ()H ()
输入信号 x(t) e jk0t 可以看成 e jk0t 与一个直流信号的乘积，根据傅里
叶变换的频移特性，有
1F 2 ()
0
Ω
-
2
３双边奇指数信号
et
f
(t )
e t
的傅里叶变换为 ：
t 0 t 0
f (t) 1
0
t
F () f (t)e jt dt
-1
0 et e jt dt et e jt dt
0
1
j
2 2 2
| F() |
其幅度频谱和相位频谱为
|
F
()
|
2
2
||
2
() 2
2
0 0
F () 2E sin( ) ESa 记住！
2
2
其幅度谱和相位谱分别为
| F () | E | Sa( ) |
2
0
()
4n | | 2(2n 1)
2(2n 1) | | 2(2n 2)
n 0,1,2,
２单边指数信号
f(t)
et t 0, 0 1
f (t)
或：
0 t0
-α 0 α
Ω
()
2
Ω
-
2
４ 单位冲激函数
其傅里叶变换为：
F () (t )e jt dt
根据冲激函数的定义，有
F [ (t)] 1
上式说明，单位冲激函数是无限带宽的信号，在整个频域内频谱
是均匀分布的，这个频谱通常称为“均匀谱”或“白色谱”。
５ 单位直流信号
f (t) 1
t
显然单位直流信号不满足狄里赫利条件，但我们可以把单位
F [ f1(t) f2 (t)]
f1( )e j F2[]d
F2[]
f1( )e j d
上式中的积分就是 f1(t) 的傅里叶变换，即
F [ f1(t) f2 (t)] F2[]F1[] F1()F2 ()
频域卷积定理：
若 f1(t) F F1()
f2 (t) F F2 ()
2
n(2 / T )
令Ω 0=2 π /T，通常称为基波频率，则上式可以简化为：
Fn
E
T
sin n0
2
n0
E Sa n0
T 2
2
由上式可知，当周期信号的周期变无穷大（趋于非周期）时，有（也就 是矩形脉冲信号的傅里叶变换 ）：
F ()
lim
T
TFn
lim ESa
0 0
n0wenku.baidu.com
2
ESa
2
f(t) E
2
Ω为模拟角频率，它与实际频率的关系：Ω=2πf
F(Ω )通常为复函数，可以写成：
F () F () e j ()
F(Ω)︱是F(Ω)的幅度函数，表示信号中各频率下谱密度的相对大小；
是F(Ω()的) 相位函数，表示信号中各频率成分的相位关系。在工程技
术中︱F(Ω)︱通常也称为幅度频谱， 为相(位)频谱，它们都是频率 Ω的连续函数。
信号可进行傅里叶变换的条件： 一般来讲，若信号函数满足绝对可积条件，即：
f (t) dt
则信号可进行傅里叶变换。注：此式只是信号函数进行傅里叶变换 的充分条件。在引入广义函数后，有些不满足此式的信号函数也可以 进行傅里叶变换。
周期信号的傅里叶变换：
设有周期性矩形脉冲信号f(t)，
E f (t )
与时移特性比较，时域中信号平移t0在频域中就乘以因子 e jt0 ，而 频域中平移0则在时域中乘以因子 e j0t 。通常在通讯理论中把时间 信号乘以因子 e j0t 称为信号的调制。可见，信号调制的本质是将
某一频带内的信号移至另一个频带（即信号的频移）。
7 微分特性
若
f (t) F F ()
则
Y () X ()H () y(t) F Y () x(t) F X () h(t) F H ()
上式说明，线性时不变系统对任意输入的响应的傅里叶变换 等于输入信号的傅里叶变换与系统单位冲激响应傅里叶变换 的乘积。
F [h(t)] H ()
H () 称之为系统的频率特性或系统的频率响应，它从频域 反映了线性时不变系统的固有特性。
t
F ()
-1 0 1
t
F () 2
５ 时移特性
若
f (t) F F ()
则 此性质说明，信f (号t 在t0时) 间F上的e移 j位t0 F并(不)改变它的傅里叶变换的模，
而仅引入了一个相移－t0，这个相移与频率成线性关系。
６ 频移特性 若
f (t) F F ()
则
e j0t f (t) F F ( 0 )
0
| t |
2
| t | T
-T
2
τ：脉冲宽度， E：幅度， T：重复周期。
这个周期性脉冲函数可以展开成傅里叶级数：
f (t)
F e jn (2 / T )t n
n
f(t) E
- 0
T
t
2
2
式中傅里叶系数为：
Fn
1 T
T
2 T
x(t)e jn(2
2
/T )t dt
2E T
sin n(2 /T )
傅里叶变换的对称性质是由傅里叶变换公 式的对称性所决定的，有时我们也称对称性为 傅里叶变换的对偶性。
４ 尺度变换特性
若
f (t) F F ()
则
f (at)F 1 F() |a| a
它表明时间的伸缩必将导致频率的伸缩，但时间的伸缩与频 率的伸缩是相反的。
f (t )
f (2t )
-2 -1 0 1 2
f (t) 1 F ()e jt d 2
上式两边求导有：
df (t) 1 jF ()e jt d dt 2
即
df (t) F jF ()
dt
这是一个重要特性，它将时域中的求导数变成频域中的频
谱与 j 的乘积。
8 积分特性
若
f (t) F F ()
则
t f (x)dxF 1 F() F(0) ()
直流信号看成脉冲幅度为1，脉冲宽度τ趋于无穷大的矩形脉冲信
号。于是单位直流信号的傅里叶变换为
即：
F [1] lim[Sa( )] 2 lim[ Sa( )]
2
2
2
F [1] 2 ()
[t] lim k Sa(kt) k
６符号函数 若将符号函数sgn(t)看成双边指数信号 当α→0时的极限，那么其傅里叶变换为：
对非周期信号建立傅里叶表示的基本思想：
可以把非周期信号当作一个周期为无穷大的“周期”信号， 并且将这个“周期”信号用傅里叶级数来表示，当这个“周 期”信号的傅里叶系数乘以周期时，傅里叶系数就是非周期 信号的傅里叶变换。
傅里叶变换的条件（狄里赫利条件），是傅里叶变换 的充分条件：
1.绝对可积，即
| f (t ) | dt
f (t) etu(t) 0
傅里叶变换为：
0
t
F () f (t)e jt dt et e jt dt
0
e( j)t dt 1 e ( j)t 1
0
j
j
0
其幅度谱和相位谱为
| F () |
1
2 2
() arctg( )
| F() |
1
0
Ω
()
2
H (k0 )e jk0t
可见：输入输出具有相同的形式，只是输出幅值比输 入扩大（实际可能是缩小）了 | H (k0 ) | 倍，相位增加 了 arg[H (k0 )] 弧度， H (k0 ) 反映了线性时不变系 统对频率为 k0 的复指数信号的传输能力，当k取不 同值时，对应的 | H (k0 ) | 和 arg[H (k0 )] 也取相 应的值，即知道了线性时不变系统的频率响应后，系 统对各次谐波的传输能力也就确定了。
则
e jk0t F 2 ( k0 )
因此
Y () 2 ( k0 )H ()
根据冲激函数的取样特性 f (t) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 ) ，上式可以写成
Y () 2H (k0 ) ( k0 )
所以
y(t) F 1[Y ()]
H (k0 ) F 1[2 ( k0 )]
则
f1 (t )
f
2
(t
)
F
1
2
F1() F2 ()
可见：频域中卷积信号的傅里叶变换等于信号傅里叶变 换的卷积并乘以 １／２π 。
对于一个线性非时变系统，若知系统的单位冲激响应为 h(t)
时，系统对于任何输入x(t) 的响应 y(t) 可以用卷积求出，即
y(t) x(t) h(t)
运用傅里叶变换的时域卷积定理，有