第三章动力学基础

例3：水沿管线下流，若压力计的读数相同，求 需要的小管直径d0，不计损失。
例4：高压水管末端的喷嘴如图，出口直径d＝ 10cm，管端直径D＝40cm，流量Q＝0.4m3/s，喷嘴 和管道以法兰连接，不计水和管嘴的重量，求螺栓 受力多少？
例5：如图所示，连续管 系中的90°渐缩弯管放在 水平面上，管径，d1=15cm， d2=7.5cm，入口处平均流 速为v1=2.5m/s ，静压强 p1=6.86Pa 。如不计能量 损失，试求支撑弯管在其 位置所需的水平力。
径分别为0.3m和85mm，求截面2处的平均流速u2。
解：列连续性方程，
1 1 1 2 2 2 ( D d )u1 d u j D 2 u 2 4 4 4
则截面②处的平均流速为 d 2 d 2 u2 [1 ( ) ] u1 ( ) u j D D 0.085 2 0.085 2 [1 ( ) ] 3 ( ) 25 4.766 m/s 0.30 0.30
§3-2 流场的基本概念
运动要素：流速、加速度、压力等，是空间和 时间的连续函数。 恒定流（稳定流）：在各空间点上流体质点的 运动要素都不随时间而变化。仅是空间坐标的 连续函数，与时间无关。当地加速度为零。
迹线：质点在连续时间过程内所占据的空间位 置的连线（即质点在某段时间内所走过的轨迹 线）。
过流断面：与元流或总流的所有流线相正交的 横断面。 •体积流量Q：单位时间内流过某一过流断面的 流体的体积,m3/s。 元流的流量 总流的流量
dQ udA
Q dQ udA
平均流速
V Q/ A
一元流：流体的流速在空间坐标中只和一个空 间变量有关。
u u(s)或u u(s,t)
总流的伯努利方程 总流过流断面的总机械能：
u12 p1 u2 2 p2 ( z1 ) gu1dA1 ( z2 ) gu2 dA2 2g g 2g g A1 A2
p1 2v22 p2 g Q1 g ( z1 )Q1 g Q2 g ( z2 )Q2 2g g 2g g
速度水头Biblioteka Baidu（动能） 压力水头 （压能） 位置水头 （动能）
2
U p H0 z 2g g
流体从元流的一个断面运动到另一个断面的 过程中，单位重力流体的机械能守恒，总水头 是不变的。
2
u2 2g
总水头线
测压管水头线 位置水头线
H
p g
z
o 水平基准线 o
理想流 体恒定 元流的 总水头 线是水 平的。
例6：水流经一弯管 流入大气，如图所示。 已知d1=100mm， d2=75mm，v2=23m/s ， 水的重度为 γ =9800N/m3,求弯管上 受到的水平力（不计损 失）。
流线的性质： （1）流线上某点的切线方向与该点的速度 方向一致； （2）流线是一条光滑曲线，流线之间一般 不能相交； （3）在恒定流条件下，流线的形状和位置 不随时间而变化；
（4）恒定流动时，流线与迹线重合； （5）流线密集的地方，表示流场中该处的 流速较大；稀疏的地方，表示该处的流速较小。
流面：流场中通过任意线段上各点作流线而形 成的一个面。 流管：流场中通过封闭曲线上各点作流线而得 出的封闭管状流面。 元流：横断面无限小的流管中的液流。 总流：由无数元流所组成的具有一定尺寸的液 流。
Q1 A1u1 d1 2 u1 150 2 1 9 ( ) ( )( ) ( ) 0.28 Q2 A2u2 d 2 u2 200 2 32
例题2：水射器如图所示，高速水流uj由喷嘴射出，带
动管道内的水体。已知1截面管道内的水流速度和射
流速度分别为u1＝3m/s和uj＝25m/s，管道和喷嘴的直
流体动力学基础
第3章 流体动力学基础
§3-1 流体运动的描述方法
§3-2 流场的基本概念
§3-3 流体运动的连续性方程
§3-4 理想流体运动的微分方程式
§3-5 伯努利积分及能量方程
§3-6 动量方程
三 大 守 恒 定 律
质 量 守 恒 能 量 守 恒 动 量 守 恒
连 续 方 程 能 量 方 程 动 量 方 程
§3-5 伯努利积分及能量方程
基本假设：理想流体，恒定流动
欧拉方程
du 1 f p dt
位移矢量 r ( x, y, z) xi y j zk 速度矢量 u (u, v, w) 哈密尔顿算子 i j k x y z 单位质量力 f ( X ,Y , Z )
1v12
*理想流体总流的伯努利方程
v
p1 2v2 p2 z1 z2 2g g 2g g
2 1 1 2
（1）理想流体、不可压缩，恒定流，质量力仅 有重力 （2）过流断面取在渐变流区段上，但两过流断 面之间可以是急变流； （3）两过流断面间没有能量的输入或输出。
*粘性流体总流的伯努利方程
例2：管道末端装一喷嘴，管道和喷嘴直径分别 为D＝100mm和d＝30mm，如通过的流量为0.02m3/s， 不计水流过喷嘴的阻力，求截面1处的压力。
例3：密度ρ =1000kg/m3 的水由直径d1=150mm、高 于基准面6m的A点，流至直 径为d2=75mm、高于基准面 3m的B点，已知A点的压强 为pA=103kPa，流速为 v1=3.6m/s，忽略损失，求 B点压强pB。
Du u u dx u dy u dz ax Dt t x dt y dt z dt
V a (V )V t
当地加速度 迁移加速度
当地加速度：固定点上流体质点的速度变化率；
迁移加速度：流体质点所在的空间位置变化引起的速度 变化率。
在一元流场中，流线是彼此平行的直线，而 且同一过流断面上各点的流速是相等的。
§3-3 流体运动的连续性方程
流体运动过程中，质量守恒。
前提：连续介质模型，不可压缩模型，恒定流
dQ1 dQ2
Q1 Q2
AV 1 1 A 2V2
例题1：若在150mm直径管道内的截面平均流速
为在200mm直径管道内的一半，问流过该两管道 的流量之比为多少？ 解：
v
p1 2v2 p2 z1 z2 hw 2g g 2g g
2 1 1 2
水头损失 粘性流体的机械能将沿程减小
§3-6 动量方程
质点系动量定理：在dt时间内，作用于质 点系的合力等于dt时间内该质点系在外力作用 方向上的动量变化率。
F
d ( m u ) dt
恒 定 总 流 三 大 方 程
§3-1 流体运动的描述方法
拉格朗日法（跟踪法）：
该方法着眼于流体内部各质点的运动情况。
r r (a, b,c, t) (x, y, z)
§3-1 流体运动的描述方法
欧拉法（布哨法）
该方法着眼于整个流场的状态。
u u( x, y, z, t)
流线：某一时刻在流场中画出的一条空间曲线， 该曲线上的每个质点的流速方向都与这条曲线 相切。
根据位于同一流线上各质点的流速矢量是否沿
流程变化，可将流体分为均匀流和非均匀流。 均匀流：流场中各流线是彼此平行的直线，各
过水断面上的流速分布沿流程不变，过水断面
是平面。迁移加速度为零。
按流线图形沿流程变化的缓急程度，可将非 均匀流分为渐变流和急变流。 渐变流:指各流线接近于平行直线的流动。
质量力势函数
W
伯努利积分方程
U p W c 2
在有势力场下常密度理想流体恒定流中同一
U2 p 条流线上的 W 2
2
数值不变。
*重力场中理想流体的伯努利方程 只有重力，X=Y=0,Z=-g,W=-gz
U p 总水头 H0 z c （总机械能） 2g g
稳定流动的总流的动量方程：
P2 R’
v2
G P1
Fa Fb 02 Q2 v2 01Q1 v1
v1
例1：如图所示为一 管道断面和高度不相 同的输水管路，若水 箱水位保持不变，B、 C两点的压强哪个小？ C、D、E三点哪个压 强最大？哪个压强最 小？（忽略损失）
§3-4 理想流体运动的微分方程式
流体质点的运动同刚体质点一样，服从牛 顿第二运动定律。
F=ma
表面力与质量力的合力
理想流体运动的欧拉方程
u u u u 1 p t u x v y w z X x v v v v 1 p u v w Y x y z y t w w w w 1 p v w Z u x y z z t