《理论力学》哈工大理论力学第七版第五章 点的运动学
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求：点A和B的运动方程及点B的速度和加速度。
解： A，B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。
运动方程
x A b r sin b r sin(t )
xB r sin r sin(t )
2 2 && aB xB r sin t xB
解：
活塞作直线运动，取坐标轴Ox如图所示
dv 由 a kv dt v dv t 得 k dt v0 v 0
v ln kt , v v0e kt v0 dx 由 v v0 e kt dt
得
v0 x x0 1 e kt k
x
x0
dx v0e kt dt
?
因为
d d d d 1 ds d ds ds
d r n ds r
r
r
方向同 n
所以
3.速度
r r dr dr r v dt ds r 4.加速度 a
代入
则
ds ds r r v dt dt r r dv dv r d v dt dt dt r r d d ds v r n dt ds dt
速度 矢径矢端曲线切线
加速度 速度矢端曲线切线
§5-2
运动方程
直角坐标法
x x(t ) y y (t ) z z (t )
直角坐标与矢径坐标之间的关系
r r r r r (t ) x t i y (t ) j z (t ) k
速度
r r r r r dr dx r dy r dz r v i j k vx i v y j vz k dt dt dt dt
0
t
外啮合齿轮
分析齿轮上一点的运动
§ 5-3
自然法
自然法：利用点的运动轨迹建立弧坐标和自然轴系，利用它们 描述和分析点的运动的方法。 1.弧坐标 2.自然轴系
s f (t )
切向单位矢量
r
主法线单位矢量
r n
r r r b n
副法线单位矢量
曲线在P点的密切面形成
自然坐标轴的几何性质
dx vx dt
dy vy dt
dz vz dt
加速度
r r r r r dv dv x r dv y r dv z r a i j k ax i a y j az k dt dt dt dt
dv x d 2 x ax 2 dt dt
ay dv y dt d2 y dt 2
r r ax (l a ) cos t cos( a , i ) a l 2 a 2 2al cos 2t ay r r (l a ) sin t cos( a , j ) a l 2 a 2 2al cos 2t
例5-2
已知：正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速转动， 它与水平线间的夹角为 t ,其中 为t = 0时的夹角， 为一常数。动杆上A，B两点间距离为b。
vx (l a ) sin t r r cos(v , i ) v l 2 a 2 2al cos 2 t vy (l a ) cos t r r cos(v , j ) v l 2 a 2 2al cos 2 t
l 2 a 2 2al cos 2 t
r dv r v 2 r r r a n at an n dt
dv d 2 s at 2 dt dt
1 ds 2 an ( ) dt v2
——切向加速度 ——法向加速度
a a2 t a2n
曲线匀速运动 曲线匀变速运动
at 0, v v0 常数 , s s0 v0t
加速度
x l a 2 cost ax v x y l a 2 sin t ay v y 2 2 2 2 4 a ax ay l a 4 cos2 t (l a） sin 2 t
2 l 2 a 2 2al cos 2t
第五章 点 的 运 动 学
点的三维变速曲线运动
§5-1
矢量法
r r 运动方程 r r t
速度
r v r dr dt r & r
单位
m/s
加速度
r a
r dv dt
r d r
2
dt
2
r r & && v r
单位 m/s 2
提问：如何确定速度和加速度的方向？
矢端曲线
③ 速wenku.baidu.com；
④ 加速度。
解： 点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。
运动方程
x (OC CM ) cos (l a) cos t
y AM sin (l a) sin t
消去t, 得轨迹
x2 y2 1 2 2 (l a） (l a )
速度
l a sin t vx x (l a) cost vy y v vx 2 v y 2 (l a ) 2 2 sin 2 t (l a ) 2 2 cos 2 t
B点的速度和加速度 B r cost vB x
周期运动
x(t T ) x t 1 f 频率 T
例5-3 已知：如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在套 筒内作直线往复运动。设活塞的加速度 求：活塞的运动规律。
r r a kv
（ v 为活塞的速度， k 为比例常数)，初速度为 v0 。
dvz d 2 z az 2 dt dt
例 5-1 已知：椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C 与规
尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺A，B 两端分别在相互
垂直的滑槽中运动， OC AC BC l , MC a, ωt 求：① M 点的运动方程； ② 轨迹；
解： A，B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。
运动方程
x A b r sin b r sin(t )
xB r sin r sin(t )
2 2 && aB xB r sin t xB
解：
活塞作直线运动，取坐标轴Ox如图所示
dv 由 a kv dt v dv t 得 k dt v0 v 0
v ln kt , v v0e kt v0 dx 由 v v0 e kt dt
得
v0 x x0 1 e kt k
x
x0
dx v0e kt dt
?
因为
d d d d 1 ds d ds ds
d r n ds r
r
r
方向同 n
所以
3.速度
r r dr dr r v dt ds r 4.加速度 a
代入
则
ds ds r r v dt dt r r dv dv r d v dt dt dt r r d d ds v r n dt ds dt
速度 矢径矢端曲线切线
加速度 速度矢端曲线切线
§5-2
运动方程
直角坐标法
x x(t ) y y (t ) z z (t )
直角坐标与矢径坐标之间的关系
r r r r r (t ) x t i y (t ) j z (t ) k
速度
r r r r r dr dx r dy r dz r v i j k vx i v y j vz k dt dt dt dt
0
t
外啮合齿轮
分析齿轮上一点的运动
§ 5-3
自然法
自然法：利用点的运动轨迹建立弧坐标和自然轴系，利用它们 描述和分析点的运动的方法。 1.弧坐标 2.自然轴系
s f (t )
切向单位矢量
r
主法线单位矢量
r n
r r r b n
副法线单位矢量
曲线在P点的密切面形成
自然坐标轴的几何性质
dx vx dt
dy vy dt
dz vz dt
加速度
r r r r r dv dv x r dv y r dv z r a i j k ax i a y j az k dt dt dt dt
dv x d 2 x ax 2 dt dt
ay dv y dt d2 y dt 2
r r ax (l a ) cos t cos( a , i ) a l 2 a 2 2al cos 2t ay r r (l a ) sin t cos( a , j ) a l 2 a 2 2al cos 2t
例5-2
已知：正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速转动， 它与水平线间的夹角为 t ,其中 为t = 0时的夹角， 为一常数。动杆上A，B两点间距离为b。
vx (l a ) sin t r r cos(v , i ) v l 2 a 2 2al cos 2 t vy (l a ) cos t r r cos(v , j ) v l 2 a 2 2al cos 2 t
l 2 a 2 2al cos 2 t
r dv r v 2 r r r a n at an n dt
dv d 2 s at 2 dt dt
1 ds 2 an ( ) dt v2
——切向加速度 ——法向加速度
a a2 t a2n
曲线匀速运动 曲线匀变速运动
at 0, v v0 常数 , s s0 v0t
加速度
x l a 2 cost ax v x y l a 2 sin t ay v y 2 2 2 2 4 a ax ay l a 4 cos2 t (l a） sin 2 t
2 l 2 a 2 2al cos 2t
第五章 点 的 运 动 学
点的三维变速曲线运动
§5-1
矢量法
r r 运动方程 r r t
速度
r v r dr dt r & r
单位
m/s
加速度
r a
r dv dt
r d r
2
dt
2
r r & && v r
单位 m/s 2
提问：如何确定速度和加速度的方向？
矢端曲线
③ 速wenku.baidu.com；
④ 加速度。
解： 点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。
运动方程
x (OC CM ) cos (l a) cos t
y AM sin (l a) sin t
消去t, 得轨迹
x2 y2 1 2 2 (l a） (l a )
速度
l a sin t vx x (l a) cost vy y v vx 2 v y 2 (l a ) 2 2 sin 2 t (l a ) 2 2 cos 2 t
B点的速度和加速度 B r cost vB x
周期运动
x(t T ) x t 1 f 频率 T
例5-3 已知：如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在套 筒内作直线往复运动。设活塞的加速度 求：活塞的运动规律。
r r a kv
（ v 为活塞的速度， k 为比例常数)，初速度为 v0 。
dvz d 2 z az 2 dt dt
例 5-1 已知：椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C 与规
尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺A，B 两端分别在相互
垂直的滑槽中运动， OC AC BC l , MC a, ωt 求：① M 点的运动方程； ② 轨迹；