回溯算法

常用算法四（回溯算法）

1、概念

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

2、基本思想

在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。

若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。

而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。3、用回溯法解题的一般步骤：

（1）针对所给问题，确定问题的解空间：

首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。

（2）确定结点的扩展搜索规则

（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

4、算法应用示例：

八皇后问题的递归实现

[java]view plaincopy

1.public class Empress {

2.

3.private int n ; //皇后个数

4.private int[] x ; //当前解

5.private long sum ; //当前已找到的可行方案数

6.private static int h ; //记录遍历方案序数

7.

8.public Empress(){

9.this.sum = 0 ; //初始化方案数为1，当回溯到最佳方案的时候，就自增1

10.this.n = 8 ; //求n皇后问题，由自己定义

11.this.x = new int[n+1]; //x[i]表示皇后i放在棋盘的第i行的第x[i]

列

12. h = 1 ; //这个是我额外定义的变量，用于遍历方案的个数，请看backTrace()

中h变量的作用，这里将它定义为static静态变量

13. }

14.

15.public boolean place (int k){

16.for (int j = 1 ; j < k ; j++){

17.//这个主要是刷选符合皇后条件的解，因为皇后可以攻击与之同一行同一列的

或同一斜线上的棋子

18.if ( (Math.abs(k - j)) == (Math.abs(x[j]-x[k])) || (x[j] == x

[k]) ){

19.return false ; //如果是与之同一行同一列的或同一斜线上的棋子，

返回false;

20. }

21. }

22.return true ;//如果不是与之同一行同一列的或同一斜线上的棋子，返回

true;

23. }

24.

25.public void backTrace (int t){

26.if (t > n){ //当t>n时,算法搜索到叶节点，得到一个新的n皇后互不攻击放

置方案，方案数加1

27. sum ++ ; //方案数自增1

28. System.out.println ("方案" + (h++) + "");

29. print(x);

30. System.out.print ("\n----------------\n");//华丽的分割线

31. }else { //当t<=n时，当前扩展的结点Z是解空间中的内部结点，该节点有

x[i]=1,2，…,n共n个子结点，

32.//对于当前扩展结点Z的每一个儿子结点，由place()方法检测其可行

性，

33.//并以深度优先的方式递归地对可行子树搜索，或剪去不可行子数

34.for (int i = 1 ; i <= n ; i++){

35. x[t] = i ;

36.if (place (t)){ //检查结点是否符合条件

37. backTrace (t+1); //递归调用

38. }

39. }

40. }

41. }

42.

43.public void print (int[] a){ //打印数组，没啥的

44.for (int i = 1 ; i < a.length ; i++){

45. System.out.print ("皇后" + i + "在" + i + "行" +a[i] + "列、

");

46. }

47. }

48.

49.public static void main (String[] args){

50. Empress em = new Empress();

51. em.backTrace(1); //从1开始回溯

52. System.out.println ("\n详细方案如上所示，"+"可行个数

为:" + em.sum);

53. }

54.}/*output:八皇后问题只有92种方案，这里只给出其中的三个方案

55.方案1

56.皇后1在1行1列、皇后2在2行5列、皇后3在3行8列、皇后4在4行6列、皇后5在

5行3列、皇后6在6行7列、皇后7在7行2列、皇后8在8行4列、

57.----------------

58.方案2

59.皇后1在1行1列、皇后2在2行6列、皇后3在3行8列、皇后4在4行3列、皇后5在

5行7列、皇后6在6行4列、皇后7在7行2列、皇后8在8行5列、

60.----------------

61. .

62. .

63. .

64.方案92

65.皇后1在1行8列、皇后2在2行4列、皇后3在3行1列、皇后4在4行3列、皇后5在

5行6列、皇后6在6行2列、皇后7在7行7列、皇后8在8行5列、

66.----------------

67.*///~