3 反比例函数的几何性质课件
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AC对应的函数解析式．
知2－讲
解：(1)∵直线y＝mx与双曲线
y
n x
相交于A(－1，a)，
B两点，
∴B点横坐标为1.
∴C(1，0)．
∵△AOC的面积为1，
∴ 1 ×a×1＝1，∴a＝2， 2
∴A(－1，2)．
将A(－1，2)的坐标代入y＝mx， y n x
可得m＝－2，n＝－2.
知2－讲
)
A．第二、三象限
B．第一、三象限
C．第三、四象限
D．第二、四象限
知2－练
3 (2015·钦州)对于函数 y 4 ，下列说法错误的是 x
() A．这个函数的图象位于第一、第三象限 B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称
图形 C．当x>0时，y随x的增大而增大 D．当x<0时，y随x的增大而减小
(2)设直线AC对应的函数解析式为y＝kx＋b，
∵直线y＝kx＋b经过点A(－1，2)，C(1，0)，
∴
k b 2, k b 0,
解得
k 1, b 1,
∴直线AC对应的函数解析式为y＝－x＋1.
总结
知2－讲
反比例函数与正比例函数的图象都是中心对称 图形，所以在同一坐标系中，两个函数图象的两个交 点关于原点对称．
知2－讲
例2〈白银〉如图，在直角坐标系xOy中，直线y＝mx与
双曲线 y n 相交于A(－1，a)，B两点，BC⊥x x
轴，垂足为C，△AOC的面积是1. (1)求m，n的值； (2)求直线AC对应的函数解析式．
知2－讲
导引：(1)由题意，根据对称性得到点B的横坐标为1，确定 出点C的坐标，根据△AOC的面积求出点A的纵坐标， 确定出点A的坐标，将点A的坐标代入正比例函数与 反比例函数解析式，即可求出m与n的值； (2)设直线AC对应的函数解析式为y＝kx＋b，将A，C 两点坐标分别代入求出k与b的值，即可确定出直线
知1－练
3．(2016·沈阳)如图，在平面直角坐标系中，点P是反
比例函数
y
k x
(x＞0)图象上的一点，分别过点P
作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B.若四边形OAPB
的面积为3，则k的值为( )
A．3
C. 3 2
B．－3
D． 3 2
知识点 2 反比例函数图象的对称性
知2－讲
反比例函数的图象关于原点成中心对称，也就 是把它的图象旋转180°与原图形重合，这是反比例 函数的一个重要性质，就常用来求点的坐标和图形 的面积等
知2－练
1 〈山西〉已知直线y＝ax(a≠0)与双曲线
y k x
(k≠0)
的一个交点的坐标为(2，6)，则它们的另一个交点的坐
标是பைடு நூலகம் )
A．(－2，6)
B．(－6，－2)
C．(－2，－6)
D．(6，2)
知2－练
2 若 a 1 ＋|b－2|＝0，点P(a，b)在反比例函数
y
k x
的图象上，则这个函数的图象位于(
积为____1____．
导引：根据反比例函数中
k的几何意义，得△POA
和△BOA的面积分别为2
和1，于是阴影部分的面
积为1.
总结
知1－讲
求阴影部分面积的方法： 当它无法直接求出时，一般都采用“转化”的
方法，将它转化为易求图形面积的和或差来进行计 算．如本例就是将阴影部分面积转化为两个与比例 系数相关的特殊三角形的面积的差来求，要注意转 化思想的运用．
第二十六章 反比例函数
26.1 反比例函数
第3课时 反比例函数的几何 性质
1 课堂讲解 反比例函数中k的几何性质
反比例函数图象的对称性
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
问题情境：
反比例函数解析 式
k y (k＞0)
x
y k (k＜0) x
图象
位置
增减性
第一、三象 在每个象限内，y随x的
知1－练
1〈黄冈〉已知反比例函数 y 6 在第一象限的图象如 x
图所示，点A在其图象上，点B为x轴正半轴上一点，
连接AO，AB，且AO＝AB，则S△AOB＝________.
知1－练
2．(2016·河南)如图，过反比例函数 y k (x＞0)的 x
图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB ＝2，则k的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．5
限
增大而减小
第二、四象 在每个象限内，y随x的
限
增大而增大
知识点 1 反比例函数中k的几何性质
反比例函数 在第一象限 内的图象如图所示，P为该图 象上任意一点，PQ垂直于x 轴，垂足为Q，设△POQ面积 为S，则S的值与k之间又怎样 的关系呢？
知1－导
知1－导
归纳
双曲线的几何特性：过双曲线 y k 上的任意一点 x
1.反比例函数中k的几何性质：过双曲线
y
k x
(k≠0)
上任一点向两坐标轴作垂线所得的矩形面积等于|k|；
向一坐标轴作垂线且与原点连线所得的三角形面积等
于 1 |k|. 2
2.双曲线关于直线y＝x和直线y＝－x成轴对称．
向两坐标轴作垂线，与两坐 标轴围成的矩形面积等于 |k|，连接该点与原点，还 可得出两个直角三角形， 这两个直角三角形的面积
都等于 k . 2
知1－讲
例1〈永州〉如图，两个反比例函数 y =
4 x
和 y=
2 x
在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1
上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面
知2－讲
解：(1)∵直线y＝mx与双曲线
y
n x
相交于A(－1，a)，
B两点，
∴B点横坐标为1.
∴C(1，0)．
∵△AOC的面积为1，
∴ 1 ×a×1＝1，∴a＝2， 2
∴A(－1，2)．
将A(－1，2)的坐标代入y＝mx， y n x
可得m＝－2，n＝－2.
知2－讲
)
A．第二、三象限
B．第一、三象限
C．第三、四象限
D．第二、四象限
知2－练
3 (2015·钦州)对于函数 y 4 ，下列说法错误的是 x
() A．这个函数的图象位于第一、第三象限 B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称
图形 C．当x>0时，y随x的增大而增大 D．当x<0时，y随x的增大而减小
(2)设直线AC对应的函数解析式为y＝kx＋b，
∵直线y＝kx＋b经过点A(－1，2)，C(1，0)，
∴
k b 2, k b 0,
解得
k 1, b 1,
∴直线AC对应的函数解析式为y＝－x＋1.
总结
知2－讲
反比例函数与正比例函数的图象都是中心对称 图形，所以在同一坐标系中，两个函数图象的两个交 点关于原点对称．
知2－讲
例2〈白银〉如图，在直角坐标系xOy中，直线y＝mx与
双曲线 y n 相交于A(－1，a)，B两点，BC⊥x x
轴，垂足为C，△AOC的面积是1. (1)求m，n的值； (2)求直线AC对应的函数解析式．
知2－讲
导引：(1)由题意，根据对称性得到点B的横坐标为1，确定 出点C的坐标，根据△AOC的面积求出点A的纵坐标， 确定出点A的坐标，将点A的坐标代入正比例函数与 反比例函数解析式，即可求出m与n的值； (2)设直线AC对应的函数解析式为y＝kx＋b，将A，C 两点坐标分别代入求出k与b的值，即可确定出直线
知1－练
3．(2016·沈阳)如图，在平面直角坐标系中，点P是反
比例函数
y
k x
(x＞0)图象上的一点，分别过点P
作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B.若四边形OAPB
的面积为3，则k的值为( )
A．3
C. 3 2
B．－3
D． 3 2
知识点 2 反比例函数图象的对称性
知2－讲
反比例函数的图象关于原点成中心对称，也就 是把它的图象旋转180°与原图形重合，这是反比例 函数的一个重要性质，就常用来求点的坐标和图形 的面积等
知2－练
1 〈山西〉已知直线y＝ax(a≠0)与双曲线
y k x
(k≠0)
的一个交点的坐标为(2，6)，则它们的另一个交点的坐
标是பைடு நூலகம் )
A．(－2，6)
B．(－6，－2)
C．(－2，－6)
D．(6，2)
知2－练
2 若 a 1 ＋|b－2|＝0，点P(a，b)在反比例函数
y
k x
的图象上，则这个函数的图象位于(
积为____1____．
导引：根据反比例函数中
k的几何意义，得△POA
和△BOA的面积分别为2
和1，于是阴影部分的面
积为1.
总结
知1－讲
求阴影部分面积的方法： 当它无法直接求出时，一般都采用“转化”的
方法，将它转化为易求图形面积的和或差来进行计 算．如本例就是将阴影部分面积转化为两个与比例 系数相关的特殊三角形的面积的差来求，要注意转 化思想的运用．
第二十六章 反比例函数
26.1 反比例函数
第3课时 反比例函数的几何 性质
1 课堂讲解 反比例函数中k的几何性质
反比例函数图象的对称性
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
问题情境：
反比例函数解析 式
k y (k＞0)
x
y k (k＜0) x
图象
位置
增减性
第一、三象 在每个象限内，y随x的
知1－练
1〈黄冈〉已知反比例函数 y 6 在第一象限的图象如 x
图所示，点A在其图象上，点B为x轴正半轴上一点，
连接AO，AB，且AO＝AB，则S△AOB＝________.
知1－练
2．(2016·河南)如图，过反比例函数 y k (x＞0)的 x
图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB ＝2，则k的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．5
限
增大而减小
第二、四象 在每个象限内，y随x的
限
增大而增大
知识点 1 反比例函数中k的几何性质
反比例函数 在第一象限 内的图象如图所示，P为该图 象上任意一点，PQ垂直于x 轴，垂足为Q，设△POQ面积 为S，则S的值与k之间又怎样 的关系呢？
知1－导
知1－导
归纳
双曲线的几何特性：过双曲线 y k 上的任意一点 x
1.反比例函数中k的几何性质：过双曲线
y
k x
(k≠0)
上任一点向两坐标轴作垂线所得的矩形面积等于|k|；
向一坐标轴作垂线且与原点连线所得的三角形面积等
于 1 |k|. 2
2.双曲线关于直线y＝x和直线y＝－x成轴对称．
向两坐标轴作垂线，与两坐 标轴围成的矩形面积等于 |k|，连接该点与原点，还 可得出两个直角三角形， 这两个直角三角形的面积
都等于 k . 2
知1－讲
例1〈永州〉如图，两个反比例函数 y =
4 x
和 y=
2 x
在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1
上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面