平面问题中一点的应力状态
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2 2 l m N 1 2
作用面上正应力一般不为零。而是：
2
xy
x y
2
最大，最小应力
求最大，最小应力 将x，y放在 σ1 , σ 方向，列出任一斜面上 2 σ 应力公式，可以得出（设 σ ）
1 2
max min
σ1 σn , σ2
max min
σ1 σ 2 n , 发生在与主 2 应力成45的斜面上.
A
N
B
N
1 1 2 l ( ) N 2 1 4 2
2
s
N
1 显然，当 1l2 0 (l ) 时，τN为最大、最小值： 2 2
max 1 2 min 2
由 l
1 得， τmax、 τmin 的方向与σ1 2
（ σ2 ）成45°。
问题
§2－ 5
平面问题中一点的 应力状态
空间问题有 6 个独立的应力分量，平面问题有 3 个 不为0的应力分量，可决定一点的应力状态。即， 可求出过该点任意斜截面上的正应力与剪应力。
问题的提出：
,xy 已知任一点P处坐标面上应力 σx, σy，
求经过该点的任何斜面上的应力。
问题
斜面应力表示：p ( p ,p ), p ( σ , ). x y n n 求解：取出一个三角形微分体（包含 x 面，
已知P点应力σxσyτxy 可求出过P点任意斜面上的
•正应力和剪应力（σNτN） 利用（2-4）（2-5） •应力在x，y轴上的投影（px，py） 利用（2-3）
px lσx mτ yx, py mσ y lτxy,
l m ( ) ( l m )
2 2 N y x
yx
A
y
x
x l l m p l m l l xy m xy x x x x y x l xy p xyl m m l y ym y xy m xy m l px m y xy l y
(d)
说明：以上均应用弹力符号规定导出。
最大、最小剪应力 lm ( ) N 2 1 由 2 ( 1 l2) l2 m 1 m
O
P
x
2
l1 l( ) N 2 1 2 4 l l ( ) N 2 1
2
1
y
dx dy ds
xy
τN
B py
p
n
y 斜面上应力分解为：
x x
yx
p p p x y
xy x
X p d s lds md f ldsmd s / 2 0
由∑Y=0得：
p l xy m x x
p m l y y xy
斜面应力
(1)求（ p x , p y ） 由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得
x y 2 2 xy
2
σ1+σ2=σx+σy
③任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值。 2 ④最大剪应力所在平面与主 x y 1 2 平面相交45°，其值为 2
m ax
2
⑤主平面上剪应力等于零，但τmax
n
B
py
xy
2
x
xy
y
σ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0
1
2
x y
2
x y
2
2 xy
xyP
yx
x
y
A px
1
2
x y
2
y
x
B
py
注意:①平面应力状态下,任一点一般都存在 n 两个主应力。二者方向互相垂直。 ②
y 面）， 面， n
边长
AB ds , PB lds , PA md .
平面问题中一点的应力状态 x
yx yx
y
y
y
பைடு நூலகம்
几何参数：
xx
xy xy
P P
A
c o s ( n ,) x l , c o s ( n ,) y m ,
设 AB 面面积 = ds ， PB 面积 = lds ， px σN x PA面积=mds。
（3）若AB面为物体的边界S，则
l(x )s m(xy )s X m(y )s l(xy )s Y
px X
py Y
（2-18） —— 平面问题的应力边界条件
主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平面 主平面上的应力叫主应力。 px l py m x y m
xyP
n
l m 2 lm N x y xy （2-4） N x y 2 2 ( 23) N lp mp ( ) ( l m ) （2-5） y x y x xy N lm
( 23)
yx y mp lp
小结： （1）斜面上的应力
p l m yx x x p m l y y x y
（2-3） （2-4）
2 2 l m 2 l m N x y x y （2-5） 2 2 l m ( ) ( l m ) （2-6） N y x x y
y xx
P xyP
yx yx
y
x
y
A
px
p
xy
l m 2 l m N x y x y
2 2
x y
τN
B py
σN x
n
y
yx
（1）运用了剪应力互等定理： 说明： （2） N 的正负号规定：
xy yx
将 N 转动90°而到达 N 的方向是顺时针的， N 则该 为正；反之为负。
px lσx mτ yx, py mσ y lτxy,
其中：l=cos(n,x), m=cos(n,y)。
平面问题中一点的应力状态 x y y
P xyP
yx yx
斜面上应力分解为：
A
y xx
px
p
xy
τN
B
py
σN x
p N N
2 2
作用面上正应力一般不为零。而是：
2
xy
x y
2
最大，最小应力
求最大，最小应力 将x，y放在 σ1 , σ 方向，列出任一斜面上 2 σ 应力公式，可以得出（设 σ ）
1 2
max min
σ1 σn , σ2
max min
σ1 σ 2 n , 发生在与主 2 应力成45的斜面上.
A
N
B
N
1 1 2 l ( ) N 2 1 4 2
2
s
N
1 显然，当 1l2 0 (l ) 时，τN为最大、最小值： 2 2
max 1 2 min 2
由 l
1 得， τmax、 τmin 的方向与σ1 2
（ σ2 ）成45°。
问题
§2－ 5
平面问题中一点的 应力状态
空间问题有 6 个独立的应力分量，平面问题有 3 个 不为0的应力分量，可决定一点的应力状态。即， 可求出过该点任意斜截面上的正应力与剪应力。
问题的提出：
,xy 已知任一点P处坐标面上应力 σx, σy，
求经过该点的任何斜面上的应力。
问题
斜面应力表示：p ( p ,p ), p ( σ , ). x y n n 求解：取出一个三角形微分体（包含 x 面，
已知P点应力σxσyτxy 可求出过P点任意斜面上的
•正应力和剪应力（σNτN） 利用（2-4）（2-5） •应力在x，y轴上的投影（px，py） 利用（2-3）
px lσx mτ yx, py mσ y lτxy,
l m ( ) ( l m )
2 2 N y x
yx
A
y
x
x l l m p l m l l xy m xy x x x x y x l xy p xyl m m l y ym y xy m xy m l px m y xy l y
(d)
说明：以上均应用弹力符号规定导出。
最大、最小剪应力 lm ( ) N 2 1 由 2 ( 1 l2) l2 m 1 m
O
P
x
2
l1 l( ) N 2 1 2 4 l l ( ) N 2 1
2
1
y
dx dy ds
xy
τN
B py
p
n
y 斜面上应力分解为：
x x
yx
p p p x y
xy x
X p d s lds md f ldsmd s / 2 0
由∑Y=0得：
p l xy m x x
p m l y y xy
斜面应力
(1)求（ p x , p y ） 由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得
x y 2 2 xy
2
σ1+σ2=σx+σy
③任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值。 2 ④最大剪应力所在平面与主 x y 1 2 平面相交45°，其值为 2
m ax
2
⑤主平面上剪应力等于零，但τmax
n
B
py
xy
2
x
xy
y
σ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0
1
2
x y
2
x y
2
2 xy
xyP
yx
x
y
A px
1
2
x y
2
y
x
B
py
注意:①平面应力状态下,任一点一般都存在 n 两个主应力。二者方向互相垂直。 ②
y 面）， 面， n
边长
AB ds , PB lds , PA md .
平面问题中一点的应力状态 x
yx yx
y
y
y
பைடு நூலகம்
几何参数：
xx
xy xy
P P
A
c o s ( n ,) x l , c o s ( n ,) y m ,
设 AB 面面积 = ds ， PB 面积 = lds ， px σN x PA面积=mds。
（3）若AB面为物体的边界S，则
l(x )s m(xy )s X m(y )s l(xy )s Y
px X
py Y
（2-18） —— 平面问题的应力边界条件
主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平面 主平面上的应力叫主应力。 px l py m x y m
xyP
n
l m 2 lm N x y xy （2-4） N x y 2 2 ( 23) N lp mp ( ) ( l m ) （2-5） y x y x xy N lm
( 23)
yx y mp lp
小结： （1）斜面上的应力
p l m yx x x p m l y y x y
（2-3） （2-4）
2 2 l m 2 l m N x y x y （2-5） 2 2 l m ( ) ( l m ) （2-6） N y x x y
y xx
P xyP
yx yx
y
x
y
A
px
p
xy
l m 2 l m N x y x y
2 2
x y
τN
B py
σN x
n
y
yx
（1）运用了剪应力互等定理： 说明： （2） N 的正负号规定：
xy yx
将 N 转动90°而到达 N 的方向是顺时针的， N 则该 为正；反之为负。
px lσx mτ yx, py mσ y lτxy,
其中：l=cos(n,x), m=cos(n,y)。
平面问题中一点的应力状态 x y y
P xyP
yx yx
斜面上应力分解为：
A
y xx
px
p
xy
τN
B
py
σN x
p N N
2 2