材料力学_第二版_范钦珊_第4章习题答案

材料力学_第二版_范钦珊_第4章习题答案

第4章 弹性杆件横截面上的切应力分析

4－1 扭转切应力公式p /)(I M x ρρτ=的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。 （A ）等截面圆轴，弹性范围内加载； （B ）等截面圆轴；

（C ）等截面圆轴与椭圆轴；

（D ）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。 正确答案是 A 。

解：p )(I M x ρρτ=在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。

4－2 两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为max 1τ和max 2τ，切变模量分别为G 1和G 2。试判断下列结论的正确性。 （A ）max 1τ＞max 2τ； （B ）max 1τ＜max 2τ；

（C ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＞max 2τ； （D ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＜max 2τ。 正确答案是 C 。

解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即γγγ==21由剪切胡克定律γτG =知21G G >时，max 2max 1ττ>。

4－3 承受相同扭矩且长度相等的直径为d 1的实心圆轴与内、外径分别为d 2、)/(222D d D =α的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。关于二者重之比（W 1/W 2）有如下结论，试判断哪一种是正确的。 （A ）234)1(α-； （B ）)1()1(234αα--； （C ）)1)(1(24αα--； （D ）)1/()1(2324αα--。 正确答案是 D 。 解：由max 2max 1ττ=得

)

1(π16π1643

231α-=d M d M x

x 即 31

42

1)1(α-=D d

（1） )1(22

22

12121α-==D d A A W W （2）

（1）代入（2），得

习题8-4图

习题4-6图

2

3

2

4211)

1(αα--=W W

4－4 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G 1和G 2，且G 1 = 2G 2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中所示的四种结论，试判断哪一种是正确的。 正确答案是 C 。

解：因内、外层间无相对滑动，所以交界面上切应变相等21γγ=，因212G G =，由剪切胡克定律得交界面上：212ττ=。

4－5 等截面圆轴材料的切应力－切应变关系如图中所示。圆轴受扭后，已知横截面上点)4/(d a a =ρ的切应变s γγ=a ，若扭转时截面依然保持平面，则根据图示的γτ-关系，可以推知横截面上的切应力分布。试判断图中所示的四种切应力分布哪一种是正确的。 正确答案是 A 。

4－6图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN ·m 。试求： 1．轴横截面上的最大切应力；

2．轴横截面上半径r = 15mm 以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比； 3．去掉r = 15mm 以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。 解：1．7.7006.0π16

10316

π3

33P P max 1=⨯⨯⨯====

d T W T W M x τMPa 2． 4

π2d π2d 4

p p 01r I M I M A M x x r

A r ⋅

=⋅⋅=⋅=⎰

⎰ρρρρτρ ∴

%25.6161)6015(161632

π4π24π244

444p 4==⨯==⋅

==d r d r I r M M x r 3． ⎪⎭

⎫

⎝⎛-==

43p max 2)21(116πd T

W M x τ

%67.6151

)

2

1(1)21

(144

4

4

max 1max 1max 2==-=-=

-=

∆αα

ττττ

τ

4－7 图示芯轴AB 与轴套CD 的轴线重合，二者在B 、C 处连成一体；在D 处无接触。已知芯轴直径d = 66mm ；轴套的外径D = 80mm ，壁厚δ= 6mm 。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa 。

习题4-5图

试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T 。 解：6311p max 106016

π⨯≤==

d

T

W M x 轴τ 33871016

66π106093

6

1=⨯⨯⨯

⨯≤-T N ·m 643

2

2p max 1060)8068(116π⨯≤⎪⎭

⎫

⎝⎛-==

d T W M x 套τ 2883)2017(1101680π10604936

2=⎪⎭⎫ ⎝⎛

-⨯⨯⨯⨯≤-T N ·m

∴ 28832max =≤T T N ·m 31088.2⨯=N ·m

4－8 由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。设实心轴半径为R 0，空心圆轴的内、外半径分别为R 1和R 2，且R 1/R 2 = n ，二者所承受的外扭转力偶矩分别为T s 和T h 。若二者横截面上的最大切应力相等，试证明：

2

2

h s 11n n

T T +-= 解：由已知长度和质量相等得面积相等：

)(ππ212

220R R R -=

（1）

2

π16

π30s

3

s max R T d T ⋅

=

=

τ

（2）

)1(16

)2(π43

2h

max n R T -=

τ （3）

由（2）、（3）式

（4）

由（1） 212220R R R -=

代入（4）

∴

2

2222324

23

243223

2122h

s

11)

1)(1()

1(1)

1()

1()(n n n n n n n n R R R T T +-=

+--

=

--

=

--=

4－9 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为D 、壁厚均为δ，横截面上的扭矩均为T = M x 。试：

1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大切应力

2

max π2D M x

δτ≈

2．证明开口圆管受扭时横截面上最大切应力

习题4-9图