高三数学第一轮复习数列的综合应用教学案

教案 数列的综合应用

一、课前检测

1．猜想1=1,1-4= - (1+2), 1-4+9=1+2+3,……的第n 个式子

为 。 答案：12114916(1)(1)(1234)n n n n ++-+-++-=-+++++

2．用数学归纳法证明1)a ,N (n a

-1a -1a ......a a 12n 1

n 2

≠∈=++++*++,在验证1n =成立时,左边所得的项为( C )

A.1

B.1+a

C.21a a ++

D.231a a a +++

二、知识梳理

1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题。

⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为r +1.其中第n 年产量为1)1(-+n r a ，且过n 年后总产量为：

.)

1(1])1([)

1(...)1()1(12

r r a a r a r a r a a n n +-+-=+++++++- ⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元. 因此，第二年年初可存款：

)1(...)

1()1()

1(10

1112

r a r a r a r a ++++++++=)

1(1]

)1(1)[1(12r r r a +-+-+.

注意：“分期付款”、“森林木材”型应用问题

⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.

⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金p 元,每期利率为r ,则n 期后本利和为：

(1)2

(1)(12)(1)()n n n S p r p r p nr p n r +=++++

+=+

(等差数列问题）

；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)p 元,采用分期等额还款

方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n 期还清.如果每期利率为r （按复利），那么每期等额还款x 元应满足：

12(1)(1)(1)(1)n n n p r x r x r x r x --+=+++++++(等比数列问题).

⑶分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率.

()()

()

()()

()()()1

111111 (1112)

1

-++=⇒-+=+⇒++++++=+--m m m m

m m m

r r ar x r r x r a x r x r x r x r a

2.将实际问题转化为数列问题时应注意：

（1）分清是等差数列还是等比数列；

（2）分清是求a n 还是求S n ，特别要准确地确定项数n.

3.数列与其他知识的综合也是常考的题型，如：数列与函数、不等式、解析几何知识相互联系和渗透，都是常见的题型。

4.强化转化思想、方程思想的应用.

三、典型例题分析

题型1 以等差数列为模型的问题

例1 由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60~100万难民，联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品.第一天运送1000 t ，第二天运送1100 t ，以后每天都比前一天多运送100t ，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100 t ，连续运送15天，总共运送21300 t ，求在第几天达到运送食品的最大量. 剖析：本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题. 解：设在第n 天达到运送食品的最大量.

则前n 天每天运送的食品量是首项为1000，公差为100的等差数列. a n =1000+（n －1）·100=100n+900.

其余每天运送的食品量是首项为100n+800，公差为－100的等差数列. 依题意，得

1000n+

2

)1(-n n ×100+（100n+800）（15－n ）+2)

14)(15(n n --×（－100）=21300

（1≤n ≤15）.

整理化简得n 2－31n+198=0.

解得n=9或22（不合题意，舍去）. 答：在第9天达到运送食品的最大量.

变式训练1 数列{a n }中，a 1＝6，且a n －a n －1＝

a n －1

n

＋n ＋1(n∈N *，n≥2)，则这个数列的通项a n ＝________. 答案：(n ＋1)(n ＋2)

解：由已知等式得na n ＝(n ＋1)a n －1＋n(n ＋1)(n∈N *，n≥2)，则a n n ＋1－a n －1

n

＝1，所以数列{

a n n ＋1}是以a 12＝3为首项，1为公差的等差数列，即a n

n ＋1

＝n ＋2，则a n ＝(n ＋1)(n ＋2)．n ＝1时，此式也成立．

小结与拓展：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题。

题型2 以等比数列为模型的实际问题

例2 （2005年春季上海，20）某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.

（1）分别求2005年底和2006年底的住房面积； （2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01） 剖析：本题实质是一个等比数列的求和问题. 解:（1）2005年底的住房面积为

1200（1+5%）－20=1240（万平方米）， 2006年底的住房面积为

1200（1+5%）2－20（1+5%）－20=1282（万平方米），

∴2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积为1282万平方米.

（2）2024年底的住房面积为

1200（1+5%）20－20（1+5%）19－20（1+5%）18－…－20（1+5%）－20

=1200（1+5%）20

－20×05

.01

05.120-

≈2522.64（万平方米），

∴2024年底的住房面积约为2522.64万平方米.

评述：应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案.

变式训练2 从2002年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，

到2008年1月1日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为___ _万元. 答案：

p

1［（1+p ）7－（1+p ）］ 解：存款从后向前考虑

（1+p ）+（1+p ）2+…+（1+p ）5

=p p p ]1)1)[(1(6-++=p

1［（1+p ）7－（1+p ）］.

注：2008年不再存款.

小结与拓展：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题。