一维波动方程推导

A. 去除土阻尼的影响; B. 在对P和V曲线采样时，正确选择t1时刻，使阻力充分激发； C. 对由于桩的过早回弹（在2L/c时刻之前产生负的速度）而导致桩侧和桩端阻力下降
做出修正； D. 考虑土的强度和时间的关系，桩在打入或压入土体过程中，一般都要扰动周围土体，
使土体强度降低，要得到桩使用条件下的极限承载力，必须经过一定时间的间歇，使 土体强度恢复到正常使用状态后测试。不同的土体扰动后恢复的时间不同，具体详见 《建筑基桩检测技术规范》JGJ106-2003。 E. 土阻力的发挥在一定范围内与桩土之间的相对位移成正比，因此测试时，桩必须获得 永久性的贯入度，如果桩没有被打动，或者贯入度极小，则得到的承载力仅仅是一种 激发值，就好像不做到破坏的静载试验一样。
x 2
令
c2 E ，即得著名的一维波动方程

c2
2 x
x 2

2u t 2
（1） （2）
（3）
1.2.2一维波动方程的解
求解一维波动方程有多种方法，常用的有行波法、分离变 量法、特征线法，这里主要介绍基桩检测常用的行波法。
作变量代换： x ct
x ct
V u cf ' t
u f '
x
（17） （18）
式中的负号表示以压缩变形为负，拉伸为正。
（17）、（18）
V c
（19）
F EA EAV ZV
C
（20）
式中，Z＝EA/C称为桩身阻抗，是由桩身材料特性和桩身截面确定的量。
2u 0

(9)
对式（9）连续两次积分得到方程的通解：
u, f g
（10）
ux,t f x ct gx ct
（11）
通解中的函数f和g是具有两阶连续偏导数的任意函数，由波动的初始条件确定。
设问题的初始位移和初始速度分别为：
u(x,0) (x)
物理现象为杆上各点，振动未传到时，处于平衡状态，振动传到 时，相应点将发生位移的变化，振动穿过后，该点仍回到平衡位置。
1.2.4 一维波动方程的解在基桩测试中的应用
u x,t 1 假设桩身中只有下行波（压力波为例），即 f x ct
则下行波引起的质点振动速度 下行波引起的桩身应变为
F1 F1 F2 F2 Rx （40）
将式(20)、（24）带入式（40）可得
F1 F2 Z(V1 V2) Rx （41）
F1 F2 Z(V1 V2) Rx （42）
图3 土阻力波在桩中的传播
由截面的连续条件可得
V1 V1 V2 V2
u( x, t
0)


(
x)
0 x L 0 x L
（12）
(11)、(12) 积分（13）有：
f (x ct) g(x ct) (x)
f '(x ct) g'(x ct) (x) / c

f
(x
ct)

g(x

ct)

1
x
1967年美国G.G.Goble等人发表了“关于桩承载力的动测研究”一文， 1975年发表了“根据动测确定桩的承载力”研究报告
1970年以后，美国己把动力试桩技术用于实际工程 1977年PDI公司开始生产以PDA(Pile Driving Analyzer)打桩分析仪 采用波动方程程序(Case Pile Wave-equation Analysis program/contimuous,简CAPWAPC程序)对桩的侧阻分布、端阻和桩身缺陷 进行实测波形的拟合法分析。
L dx x
杆单元受力图
x
x
u
u

u t
dt
x


x
dx
以单元dx为对象，建立x方向的平衡方程得
x
A


x

x
x
dx

A


Adx
2u t 2
由材料力学知识得：
x

E
u x
x
x

E
2u x2
将式（2）带入式（1）：
2u E 2u
t 2
（4）
u u u
x
(5)
u c u u
(6)
t
2u x2


2u
2

2u
2

2
2u


(7)
2u t 2

c2

2u
2

2u
2

2
2u


(8)
将式（5）～式（8）代入式（4）
（45）
式（45）表示，下行入射波通过x截面时，阻力将使速度曲线下降Rx/2Z。
如果在深度x处的阻力Rx于x/c时刻开始作用，则在2x/c时刻桩顶力和速度
之间的差为R，因为上行波的力和速度的大小均为R/2,总和为R。
如果阻力在L/C时刻作用在桩尖，根据力的平衡条件，将产生一个上行 的应力波，其值为R。质点速度为－R/Z。 如果在时段x/c<2L/c内有一阻力R持续作用，则在2L/C时刻，力和速度 记录中将包含下列影响：
1. 在2L/C时刻之前由初始的下行压缩波在桩底反射产生的上行拉伸波 F(d, t1)；
2. 全部上行的压缩阻力波（R/2）的总和； 3. 初始的下行的拉伸阻力波经桩底反射后以压缩波形式上行，与1
项的上行波同时到达桩顶； 4. 所有上行波到达桩顶后反射形成的全部下行波F(d, t2)。
2、3项的应力波之和为R，其中包括了两个二分之一侧阻力和全部的端阻力。 因此，全部上行波的总和将包括阻力波和t1时刻的冲击波在桩底的反射波（取负值）。
F R F (u ,t2 )
(d ,t1 )
（46）
即
R F F (d ,t1 )
(u ,t 2 )
(F1 ZV1 F2 ZV2)/ 2
式中，下标1和2表示时刻t1和时刻t2=t1+2L/C
（47）
R是遇到的总阻力，包括动阻力和静阻力，这个总阻力和桩的极限承载 力之间仍存在差别，为了预估桩的承载力，需要作多方面的考虑：
ux,t f x ct g x ct
ux,t
1 (x ct) (x ct)
1
xct
(x)dx
2
2c xct
（16）
这一通解公式称为D`Alembert 公式。可以证明该解是唯一的，而且是稳定的。
1.2.3 解的物理意义
假设式（16）的第二式为零，即 ，当波速一定时，随 着时间的 增长，位移逐渐沿x轴向下传播，因此我们习惯称为f下行波。同理 称为g上行波。上下行波在传播过程中，由于函数f和g都不发生变化， 因此，波的形状不变，在不考虑杆周围介质的影响，其幅值也不变。 前面假设杆的材质是均匀的，经过t0时刻，波形移动了c×t0的距离， 波速为c×t0/t0＝c，这表明波在传播中速度不变。
2 假设桩身中只有上行波（压力波为例），即u x,t g x ct
则上行波引起的质点振动速度
V g cg' t
式中负号表示质点振动速度向上为负。
（21）
上行波引起的桩身应变为
g g '
x
（22）
（21）、（22） 结论：
V c
联立方程式（41）～式（43）可得
F1 F2 Rx / 2
F2 F1 Rx / 2
（43） （44）
式（44）表示，下行入射波通过x截面时，由于阻力作用，将在界面处产生幅值均为
Rx/2的向上传播的压力波和向下传播的拉力波。
同理，可以推出
V1 V2 Rx / 2Z V2 V1 Rx / 2Z
F2
F2

2Z2 Z1 Z2
F1

Z1 Z1

Z2 Z2
F2
图2 阻抗变化引起的反射波 （36）
当只有下行波通过界面时：
（36）
F1

Z 2 Z1 Z1 Z 2
F1
F2

2Z2 Z1 Z 2
F1
当只有上行波通过界面时：
（36）
F1

2 Z1 Z1 Z 2
F2
1 F ( F ZV )
2
F 1 ( F ZV )
2
(26)
V 1 (V F )
2
Z
V 1 (V F )
2
Z
4 上下行波在界面或端部的反射
当杆或桩的端部为自由端时，其边界条件为：
F F F 0
（27）
F F
（28）
将式（20）和式（24）带入式（27）得
F EA EAV ZV
C
①下行波中质点的运动方向与所受力的方向始终一致；
②上行波中质点的运动方向与所受力的方程始终相反。
（23） （24）
3 通过计算可以分离出桩身各截面 上行波和下行波的值，具体如下：
F F F


(25)
V V V
将式（20）和式（24）带入式（25），即得
方便、快捷、一定的准确度被各国接受 要求较高的人员素质、专业理论知识、 丰富的工程经验 缺乏与静荷载试验在桩周分层摩阻力和端阻力方面对比。
1.2.1 一维杆的纵向波动方程
一根材质均匀的等截面弹性杆，长度为L，截
面积为A，弹性模量为E，体密度为ρ。若杆变
形时符合平截面假定，在杆上端施加一瞬时外 力，单元受力如图所示。图中包含外力、土阻 力、阻尼力的作用。
（30）
即在杆端由于波的叠加，使杆端质点速度增加一倍。
当杆或桩的端部为固定端时，其边界条件为
V V V 0
V V
（31） （32）
将式（20）和式（24）带入式（31）得
类似地
F F
F F F 2F
（33） （34）
公式（32）、（33）、（34）表示应力波到达固定端后，将产生一个与 入射波相同的反射波，即入射的压力波产生压力反射波，入射的拉力波产 生拉力反射波。在杆端处由于波的叠加使反力增加一倍。
（4）当桩身缩径、夹泥、离析、断桩等缺陷时，Z2<Z1，入射波 与反射波同号；桩身存在扩径时，Z2>Z1，入射波与反射波反号；
1.2.6土阻力对应力波的影响
如图，假定有一冲击力作用在桩顶，产生的 应力波沿桩身往下传播，在距桩顶x处遇到 一阻力R，应力波将发生反射和透射。设阻 力作用截面以上标记为1,以下标记为2。根 据力的平衡条件得
V V
（29）
公式（27）、（28）和式（29）表示，当下行波传到自由端时，将产生一个符号相 反，幅值相同的反射波，才能保持力的平衡，即如果下行的是压缩波，则反射的一
定是拉伸波，下行的是拉伸波，则反射的一定是压缩波。桩身阻抗减少的界面反射
波的规律与自由端类似。
（25）、（28）
V V V 2V
F2

Z1 Z 2 Z1 Z 2
F2
同理可以推出
V1


Z2 Z1

Z1 Z2
V1
V2

2Z2 Z1 Z2
V1
（37） （38） （39）
由上式可得： （1）当原有的下行波通过阻抗变化的截面时，反射波的幅值为 原入射波的（Z2－Z1）/(Z1+Z2)倍，并根据（Z2－Z1）的正负决 定反射波的性质是否变化。 （2）应力波反射和透射能力大小取决于两种介质波阻抗的差异 情况。两种介质波阻抗相差愈大，反射能力愈大，透射能力愈 小；波阻抗相等，只有透射没有反射。 （3）波的性质：压力波，拉力波的变换
(x)dx

k
c x0
（13） （14）





f g
(x (x

ct) ct)

1(x
2
1(x
2

ct) ct)

1 2c
1 2c
xct

x0 xct

x0
( x)dx ( x)dx

k 2
k 2
因此一维波动方程的定解问题的通解可以最终表示为：
（15）
1.2.5 基桩或杆件阻抗变化引起的反射波
当基桩或杆件阻抗发生突变时，如图2所示， 由变阻抗处的连续条件可得：
F1 F1 F2 F2 V1 V1 V2 V2
（35）
将式（20）和（24）代入式（35），可得
F1
百度文库

Z2 Z1 Z1 Z2
F1

2Z1 Z1 Z2
应力波反射法检测基桩原理
1.1 基桩动测技术的发展及国内外研究现状
一百年以前，动力打桩公式 1865年B.de Saint Venant提出一维波动方程 50年代后期A.Smith提出了波动方程在桩基中应用的差分数值 解法，它把锤一桩一土系统简化为质量块、弹簧和阻尼器模型 从而使波动方程打桩分析进入实用阶段。