导数与函数零点压轴题专题

导数与函数的零点

【典例1】 已知设函数()ln(2)(1)ax

f x x x e =+-+.

（1）若0a =，求()f x 极值；

（2）证明：当1a >-，0a ≠时，函数()f x 在(1,)-+∞上存在零点.

【解析】（1）当0a =时，()()()ln 21f x x x =+-+，定义域为()2,-+∞，由()1

02

x f x x +'=-

=+得1x =-．

当x 变化时，()

f x '， ()f x 的变化情况如下表：

故当1x =-时，()f x 取得极大值()()()1ln 21110f -=---+=，无极小值． （2）()()1

e 112

ax f x a x x ⎡⎤=

-++⎣+'⎦，2x >-． 当0a >时，因为1x >-，所以()()

()2

1

e 1202ax

f x a a x x ⎡⎤=-

-++⎣+'<⎦

'， ()f x '在()1,-+∞单调递减．

因为()11e

0a

f --=->'，()1

002

f b -'=-<，

所以有且仅有一个()11,0x ∈-，使()10g x '=，

当11x x -<<时，()0f x '>，当1x x >时，()0f x '<， 所以()f x 在()11,x -单调递增，在()1,x +∞单调递减． 所以()()010f x f >-=，而()0ln210f =-<， 所以()f x 在()1,-+∞存在零点．

当10a -<<时，由（1）得()()ln 21x x +≤+， 于是e 1x x ≥+，所以()e

11ax

ax a x -≥-+>-+．

所以()()()()())

e e ln 21e 1ln 21]ax ax ax

f x x x x a x -⎡⎤⎡=+-+>-+++⎣⎣⎦

． 于是11111

11e e e 1ln e 21]e e 1ln e 1]0a a a a a

f a a -------⎡⎫⎡⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>+-+->+--=⎪⎪⎢⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣

⎭⎣⎭．

因为()0ln210f =-<，所以所以()f x 在1e ,a -⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

存在零点．

综上，当1a >-，0a ≠时，函数()f x 在()1,-+∞上存在零点． 【典例2】 知函数()2

23x

f x e x x =+-.

（1）求函数()f x '在区间[]0,1上零点个数；（其中()f x '为()f x 的导数） （2）若关于x 的不等式()()2

5312

f x x a x ≥

+-+在[)1,+∞上恒成立，试求实数a 的取值范围. 【解析】解：（1）函数()223x f x e x x =+-的导数()43x

f x e x '=+- ，

则()43x

f x e x '=+-在区间()0,1递增，

又()01320f '=-=-< ，()14310f e e '=+-=+>， 则函数()f x '在区间[]0,1上只有一个零点； （2）若关于的不等式()()2

5312

f x x a x ≥

+-+在[)1,+∞上恒成立， 整理得1

2x e x a x x

≤--，

即求函数()1

2x e x g x x x

=--在[)1,+∞的最小值

由()1

2x e x g x x x =--的导数()()()222

11111122

x x e x e x g x x x x --+'=-+=- ， 由1x

y e x =--的导数为1x

y e '=-，可得

0x >时，0y '>，函数1x y e x =--递增，0x <时，函数1x y e x =--递减，

则10x e x --≥，即10x e x ≥+>，

当1x ≥时，()()()22

11111111

0222

x e x x x x x -++-+-≥-=> ，

则()1

2x e x g x x x

=--在[)1,+∞递增，可得()()min 312g x g e ==-，则32a e ≤-.

【典例3】已知函数()()1

ln f x x a R ax

=+

∈在1x =处的切线与直线210x y -+=平行． (1)求实数a 的值，并判断函数()f x 的单调性；

(2)若函数()f x m =有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>． 【解析】（1）函数()f x 的定义域：()0,+∞，()11

112

f a =-

='，解得2a =， ()1ln 2f x x x ∴=+

，()22

1121

22x f x x x x -∴=-=

' 令()0f x '<，解得102x <<

，故()f x 在10,2⎛⎫

⎪⎝⎭

上是单调递减； 令()0f x '>，解得12x >

，故()f x 在1,2⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

上是单调递增. （2）由12,x x 为函数()f x m =的两个零点，得1212

11

ln ,ln 22x m x m x x +

=+= 两式相减，可得1212

11

ln ln 022x x x x -+

-= 即112212

ln 2x x x x x x -=，12

1212

2ln x x x x x x -=， 因此12112

12ln x x x x x -=，2121212ln x x x x x -= 令12

x t x =，由12x x <，得01t <<.则121111+=2ln 2ln 2ln t t t t x x t t t

--

-+=， 构造函数()()1

2ln 01h t t t t t

=--<<，

则()()2

2211210t h t t t t

-=+-=>' 所以函数()h t 在()0,1上单调递增，故()()1h t h <，

即12ln 0t t t

--<，可知1

12ln t t t

->.故命题121x x +>得证.