二次根式-第5讲根式一竞赛班学生版

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第五讲 根式(1)

教学内容:

讲述二次根式的性质与运算法则;

二次根式的比较大小、二次根式的化简、二次根式的条件求值。

一、基础知识

1.式子(0)a a ≥叫做二次根式,这里a 可以是数,也可以是代数式,但a 必须是非负数。(0)a a ≥的运算结果也是一个非负数。

2.根式的性质如下:

(1)2()(0)a a a =≥

(2)2(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩

3.二次根式的一些运算法则如下:

(1)()(0)a c b c a b c

c +=+≥ (2)(0,0)ab a b a b =⋅≥≥

(3)(0,0)a a a b b b =≥>

(4)()(0)n n a a a =≥

(5)若0a b ≥≥,则a b ≥

(6)设a 、b 、c 、d 、n 是有理数,且n 不是完全平方数,则当且仅当a =c ,b =d 时,有a b n c d n +=+;

(7)形如x a b =+,y a b =-的两个根式称为共轭根式,如果它们的积不含有二次根式,则它们互为有理化因式;

4.化简二次根式的常用方法有因式分解法、公式法、利用非负数的性质、换元法等。

二、例题讲解

例1 (第5届希望杯)已知223(22)0a b a b --++-=求

b a

的值;

例2 已知最简根式32x y x y +-与642y x y ++-是同次根式,且y 是偶数,求y 的值;

例3 计算下列各题

(1)(第四届美国数学邀请赛)

(567)(567)(567)(567)M =+++--+-++

(2)153********N +++=

++

(3)111...21232231009999100P =

++++++

例4 已知1c >,1x c c =

--,1y c c =+-,21z c c =+-+,比较x 、y 、z 的

大小;

例5 (2003年希望杯培训)已知0a b >>,化简233()3()a b ab a b a b a b a b a b

-++--÷-+-

例6 当2a b <时,把22

442a a ab b a b a

-+-中根号外的因式移入根号内;

例7 (1998年北京市初二数学竞赛初赛)化简223231692a a a a a a a

-+-⨯+--+-

例8 (2001年希望杯)根式311a b a b

---化简后的结果是( ) A .a b ---

B .a b --

C .a b -+

D .a b --+-

例9 化简222214469S x x x x x x =-+--++++

二次根式的化简求值

例10 已知512x -=,求55x x -的值;

例11 设151a =-,求3224a a a --的值;

例12 (1999年江苏初中数学竞赛题)已知3232

x +=-,3232y -=+,求代数式2

2()()

xy x y xy x y ++-+的值。

例13 (2001年北京市中学生数学竞赛初二试题)若有理数x 、y 、z 满足:

112()2

x y z x y z +-+-=++,则3()x yz -的值是多少?

三、练习题

1.把二次根式1a a

-化为最简二次根式是( ) A .a -

B .a -

C .a --

D .a

2.已知x 是实数,则1x x x πππ--+-+

的值是( ) A .11π-

B .11π+

C .11π-

D .无法确定

3.(2001希望杯培训)设10a =,71b =

+,32c =+,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A .a b c >>

B .b c a >>

C .c a b >>

D .b a c >>

4.已知101100M =-,9998N =-,则M 和N 的大小关系是( )

A .M N >

B .M N <

C .M N =

D .M N ≤

5.(1997年希望杯培训题)如果最简二次根式4411a b a b ++和2641a b a b +++是同类二次根式,则a =______;b =______;

6.(14届希望杯初二数学竞赛题)在实数范围内解方程12 5.28x x y ππ-+

-+-=,得x =______;y =_______;

7.已知2132

x -

<<,则22(32)1445x x x x +--++可化简为________; 8.设23x =+,23y =-,求33

x y y x

-的值;

9.(1999年黄冈初中数学竞赛)已知3131

a -=

+,3131b +=-,求334a b +-的值;

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