二次根式-第5讲根式一竞赛班学生版

第五讲 根式(1)

教学内容：

讲述二次根式的性质与运算法则；

二次根式的比较大小、二次根式的化简、二次根式的条件求值。

一、基础知识

1．式子(0)a a ≥叫做二次根式，这里a 可以是数，也可以是代数式，但a 必须是非负数。(0)a a ≥的运算结果也是一个非负数。

2．根式的性质如下：

（1）2()(0)a a a =≥

（2）2(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩

3．二次根式的一些运算法则如下：

（1）()(0)a c b c a b c

c +=+≥ （2）(0,0)ab a b a b =⋅≥≥

（3）(0,0)a a a b b b =≥>

（4）()(0)n n a a a =≥

（5）若0a b ≥≥，则a b ≥

（6）设a 、b 、c 、d 、n 是有理数，且n 不是完全平方数，则当且仅当a ＝c ，b ＝d 时，有a b n c d n +=+；

（7）形如x a b =+，y a b =-的两个根式称为共轭根式，如果它们的积不含有二次根式，则它们互为有理化因式；

4．化简二次根式的常用方法有因式分解法、公式法、利用非负数的性质、换元法等。

二、例题讲解

例1 （第5届希望杯）已知223(22)0a b a b --++-=求

b a

的值；

例2 已知最简根式32x y x y +-与642y x y ++-是同次根式，且y 是偶数，求y 的值；

例3 计算下列各题

（1）（第四届美国数学邀请赛）

(567)(567)(567)(567)M =+++--+-++

（2）153********N +++=

++

（3）111...21232231009999100P =

++++++

例4 已知1c >,1x c c =

--，1y c c =+-，21z c c =+-+，比较x 、y 、z 的

大小；

例5 （2003年希望杯培训）已知0a b >>，化简233()3()a b ab a b a b a b a b a b

-++--÷-+-

例6 当2a b <时，把22

442a a ab b a b a

-+-中根号外的因式移入根号内；

例7 （1998年北京市初二数学竞赛初赛）化简223231692a a a a a a a

-+-⨯+--+-

例8 （2001年希望杯）根式311a b a b

---化简后的结果是（ ） A ．a b ---

B ．a b --

C ．a b -+

D ．a b --+-

例9 化简222214469S x x x x x x =-+--++++

二次根式的化简求值

例10 已知512x -=，求55x x -的值；

例11 设151a =-，求3224a a a --的值；

例12 （1999年江苏初中数学竞赛题）已知3232

x +=-，3232y -=+，求代数式2

2()()

xy x y xy x y ++-+的值。

例13 （2001年北京市中学生数学竞赛初二试题）若有理数x 、y 、z 满足：

112()2

x y z x y z +-+-=++，则3()x yz -的值是多少？

三、练习题

1．把二次根式1a a

-化为最简二次根式是（ ） A ．a -

B ．a -

C ．a --

D ．a

2．已知x 是实数，则1x x x πππ--+-+

的值是（ ） A ．11π-

B ．11π+

C ．11π-

D ．无法确定

3．（2001希望杯培训）设10a =，71b =

+，32c =+，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>

B ．b c a >>

C ．c a b >>

D ．b a c >>

4．已知101100M =-，9998N =-，则M 和N 的大小关系是（ ）

A ．M N >

B ．M N <

C ．M N =

D ．M N ≤

5．（1997年希望杯培训题）如果最简二次根式4411a b a b ++和2641a b a b +++是同类二次根式，则a ＝______；b ＝______；

6．（14届希望杯初二数学竞赛题）在实数范围内解方程12 5.28x x y ππ-+

-+-=，得x ＝______；y ＝_______；

7．已知2132

x -

<<，则22(32)1445x x x x +--++可化简为________； 8．设23x =+，23y =-，求33

x y y x

-的值；

9．（1999年黄冈初中数学竞赛）已知3131

a -=

+,3131b +=-，求334a b +-的值；