矩阵谱分解

下列类型的矩阵都是正规矩阵：
实对称矩阵
AT=A;
反实对称矩阵 AT=-A;
正交矩阵
AT=A-1;
酉矩阵
AH=A-1;
Hermite矩阵 AH=A;
反Hermite矩阵 AH=-A;
对角矩阵
2、酉相似
设A, B Cnn ,若存在可逆矩阵P,使P1AP B, 则称A与B是相似的。
若P是正交矩阵(实矩阵），即P1 PT， 则称A与B是正交相似的。
也称A的属于的特征向量为右特征向量.
性质:单纯矩阵不同特征值的左右特征向量是正交的 以矩阵特征值的代数重复度都为1为例加以证明:
设A是 n阶单纯矩阵， 1, 2, …, n 是A 的n个不
同特征值，x1,x2, …,xn是A的n个线性无关的特征 向量，P=(x1,x2, …,xn),则:
A PP1, AT (PT )1PT
x1, x2
y1T y2T
1 1 0
1 0 1
1
3 1
3
2 3 1
3
1
3 2
3
3 1
3 1
3
3 2
3 1
3
3 1
3
2
3
1 1 1
1
E2
x3 y3T
11
1 3
1 3
1 3
3 1
3
1
3
3 1
3 1
3
3 1
3
1
3
从而 A E1 5E2
二、正规矩阵与酉对角化
1、正规矩阵定义： 设 ACnn, 满足 AH A AAH
E0i
i j i j
同时
Y1T
In
P P1
X1,
X 2,
,
X
s
Y2T
YsT
s
s
X iYiT
Ei
i 1
i 1
例2：求单纯矩阵A
1 2
2 1
2 2
的谱分解
2 2 1
由矩阵A的特征多项式 E A ( 1)2( 5)
得A的特征值 1 1, 2 5 及相应的线性无关的特征向量
为 x1 1,1,0T , x2 1,0,1T , x3 1,1,1T
x2
ynT
AT (PT )1PT
xn I
即：
y1T x1 y1T x2
P1P
y2T x1
y2T x2
ynT x1 ynT x2
y1T xn
y2T xn
I,
ynT xn
yiT x j
1, 0,
i j i j
对于单纯矩阵A（矩阵特征值的代数重复度都为1），
由 A PP1
X
1
,
X 2 ,
, Xs
YsT
Y1T X 1 Y1T X 2
Y2T X 1
YsT X
1
Y2T X 2
YsT X 2
Y1T X s
Y2T X s
YsT X s
可得
YiT
X
j
I mi 0
i j i j
则
Ei E j
(
X
iYiT
)(
X
jY
T j
)
X i (YiT X
j
)Y
T j
若P是酉矩阵(复矩阵），即P1 PH， 则称A与B是酉相似的。
则 Ai Aj (xi yiT )(x j yTj ) xi ( yiT x j ) yTj
xi yiT i j o i j
Ai o
i j i j
（2）
I P P1 x1 x2
y1T
xn
y2T ynT
n
n
xi yiT Ai
i 1
i 1
例1 求矩阵A的谱分解
A
1 4
第六节 矩阵谱分解
主要内容： 一、单纯形矩阵的谱分解 二、正规矩阵与酉对角化 三、正规矩阵的谱分解
一、单纯形矩阵的谱分解 左特征向量 给定n阶矩阵A，是A的特征值。由于AT与A有相同的 特征值，设Y是AT的属于的特征向量，则
ATY Y ,
两端取转置得： Y T A Y T
称YT是A的属于的左特征向量，
y2T
1 2
1 4
从而
E1
x1 y1T
1 2
1
1 4
1 2
,
E2
x2 y2T
1 2
1
1 2
1 4
则
A 3E1 E2
2·设n阶单纯矩阵特征值的代数重复度不全为1
单纯矩阵A的谱分解定理
设单纯矩阵 A C nn 的谱为1, 2 , s，其代数重数分为
m1, m2 , , ms 则存在唯一的 Ei C nn , i 1,2, , s 使
x1 x2
1
xn
2
y1T
y2T
n
ynT
1x1 y1T 2 x2 y2T n xn ynT
n
i
xi
yiT
n
i Ai
i1
i1
其中
Ai xi yiT
---矩阵A的谱分解
即单纯矩阵A分解成n个矩阵Ai之和的形式，其系数组合是A的谱 （所有相异的特征值）。
对于 Ai 有下面的性质： (1) Ai xi yiT
1 2 1
3 3 3
设
i 对应的左特征向量为
y1T , y2T , y3T
则由
P 1
1 3
1 3
2 3
1 1 1
3
3
3
得
y1T
1 , 2 , 1 3 3 3
同理得：
y2T
1 , 1 , 2 3 3 3
y3T
1 , 1 , 1 3 3 3
则
2 1 1
E1
11
解
由
1 1
f A() 4
( 1)( 3) 1
得 1 3, 2 1,
1 1 x1 2, x2 2
设A的左特征向量为 y1T , y2T
因为 y1T , y2T
满足
y1T x1 1, y1T x2 0
y2T x1 0, y2T x2 1
可解得
y1T
1
1 , 4
s
(1) A iEi ; i 1
(2)
EiEj Eoi,,
i j i j
s
(3) Ei I i1
谱分解定理的证明
对于特征值i ， x1i,x2i, …,xmii是A的相应的mi
个线性无关的右特征向量，
是A的相应 yii
T
,
y2i
T
,
,
ymi i
T
的mi个线性无关的左特征向量
设 X i x1i , x2i , , xmi i ,Yi y1i , y2i , , ymi i
其中 diag 1, 2 , , n
这表明AT也与对角矩阵相似，故AT也是单纯矩阵
设y1,y2, …,yn是AT的n个线性无关的特征向量.则
( y1,y2, …,yn ) = (PT )-1 = (P-1 ) T
从而
y1T
P 1
y 2T ,
y
T n
y1T
P 1P
y 2T x1
Ei
X iYiT
mi
x
i j
(
y
i j
)T
i1
记
Y1T
P
X1,
X 2 ,
,
X s , P1
Y2T
YsT
从而
1Im1
A PP1 X1, X 2 , , X s
2 I m2
s
i
X iYiT
i1
s
i Ei i1
Y1T
Y2T
s
I
ms
YsT
再由
Y1T
In
P 1P
Y 2T