空间点、线、面位置关系的判断与证明

空间点、线、面位置关系的判断与证明
1．给出下列四个命题：
①垂直于同一平面的两条直线相互平行；
②垂直于同一平面的两个平面相互平行；
③若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；
④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面．
则以上命题正确的是________(填序号)．
解析：由直线与平面垂直的性质，可知①正确；正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面，而不平行，故②错；由直线与平面垂直的定义知④正确；③显然正确．
答案：①③④
2.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC
的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直
的直线有________．
解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴与AP垂直的直线是AB.
答案：AB，BC，AC AB
3．在正三棱锥P­ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．
解析：如图，∵P­ABC为正三棱锥，
∴PB⊥AC；又∵DE∥AC，
DE⊂平面PDE，AC⊄平面PDE，
∴AC∥平面PDE.故①②正确．
答案：①②
4．给出以下命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中命题不正确的是________(填序号)．
解析：①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面．这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③显然不正确；
④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．
答案：②③④
5．四棱锥P­ABCD的所有侧棱长都为5，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为________．
解析：因为四边形ABCD为正方形，故CD∥AB，则CD与PA所成的角即为AB 与PA所成的角，即为∠PAB.
在△PAB内，PB＝PA＝5，AB＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB＝
PA2＋AB2－PB2 2×PA×AB ＝
5＋4－5
2×5×2
＝
5
5
.
答案：
5 5
6.对于四面体ABCD，下列命题：
①相对棱AB与CD所在直线异面；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在
的直线异面；
④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．
其中正确的是________(填序号)．
解析：对于①，由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故①正确；对于②，由顶点A作四面体的高，当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其垂足是△BCD的三条高线的交点，故②错误；对于③，当DA＝DB，CA＝CB时，这两条高线共面，故③错误；对于④，设AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，M，N，易证四边形EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组
对棱中点连线也过它们的交点，故④正确．
答案：①④
7.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上
的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；
④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是________．
解析：由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，
∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正确．
答案：①②③
8．已知m，n是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：
①若α⊥β，m⊥α，则m∥β；
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若m∥α，m⊥n，则n⊥α；
④若m∥α，m⊂β，则α∥β.
其中所有真命题的序号是________．
解析：若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，①是假命题；
若m⊥α，m⊥β，则α∥β，②是真命题；
若m∥α，m⊥n，则n⊥α或n∥α或n⊂α或n，α相交(非垂直)，③是假命题；
若m∥α，m⊂β，则α∥β或α，β相交，④是假命题．
故其中所有真命题的序号是②.
答案：②
9.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是
PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只
要填写一个你认为正确的条件即可)．
解析：连结AC，∵四边形ABCD各边相等，∴BD⊥AC.又PA⊥底面ABCD，BD ⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)
10.如图，已知六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，PA
⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC
⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.
其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．
解析：由PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得PA⊥AE，
又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴AE⊥PB，①正确；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确．
答案：①④
11.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，
设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.
求证：(1)DE∥平面AA1C1C；
(2)BC1⊥AB1.
证明：(1)由题意知，E为B1C的中点，
又D为AB1的中点，因此DE∥AC.
又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，
所以DE∥平面AA1C1C.
(2)因为棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC.
因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.
又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，
BC⊂平面BCC
1B
1
，BC∩CC1＝C，
所以AC⊥平面BCC1B1.
又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以BC 1⊥AC .
因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，
因此BC 1⊥B 1C .
因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ，
所以BC 1⊥平面B 1AC .
又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1.
12.如图，已知△ABC 是正三角形，EA ，CD 都垂直于平面ABC ，
且EA ＝AB ＝2a ，DC ＝a ，F 是BE 的中点，求证：
(1)FD ∥平面ABC ；
(2)AF ⊥平面EDB .
证明：(1)取AB 的中点M ，连结FM ，MC .
∵F ，M 分别是BE ，BA 的中点，
∴FM ∥EA ，FM ＝12
EA ＝a . ∵EA ，CD 都垂直于平面ABC ，
∴CD ∥EA ，∴CD ∥FM .
又∵DC ＝a ，∴FM ＝DC ，
∴四边形FMCD 是平行四边形，
∴FD ∥MC .
∵FD ⊄平面ABC ，MC ⊂平面ABC ，∴FD ∥平面ABC .
(2)∵M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形，∴CM ⊥AB .
又∵CM ⊥AE ，AB ∩AE ＝A ，
∴CM ⊥平面EAB ，∴CM ⊥AF .
又∵CM ∥FD ，∴FD ⊥AF .
∵F 是BE 的中点，EA ＝AB ，∴AF ⊥BE .
又∵FD ∩BE ＝F ，∴AF ⊥平面EDB .
13．(四川高考)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥CD ，AD
∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12
AD . (1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由；
(2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .
解：(1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求
的一个点．理由如下：连结MC ，
因为AD ∥BC ，BC ＝12
AD ， 所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .
所以四边形AMCB 是平行四边形，所以CM ∥AB .
又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ，
所以CM ∥平面PAB .
(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)
(2)证明：由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，
因为AD ∥BC ，BC ＝12
AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD .
连结BM .因为AD ∥BC ，BC ＝12
AD ，M 为AD 的中点，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ， 所以四边形BCDM 是平行四边形，
所以BM ＝CD ＝12
AD ，所以BD ⊥AB . 又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB .
又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD .
14.如图，正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′的棱长为1，B ′C
∩BC ′＝O ，求：
(1)AO 与A ′C ′所成角的大小；
(2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值；
(3)平面AOB 与平面AOC 所成角的大小．
解：(1)∵A ′C ′∥AC ，
∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC .
∵OC ⊥OB ，AB ⊥平面BCC ′B ′，
∴OC ⊥AB .又AB ∩BO ＝B ，
∴OC ⊥平面ABO .。