1.2集合间的基本关系及运算知识讲解

1.2集合间的基本关系及运算

【知识要点】

1、子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.

2、集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一

个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A=B。

3、真子集：如果A ⊆B，且A ≠B，那么集合A称为集合B的真子集,A

⊂≠B .

4、设A ⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作S C A

5、元素与集合、集合与集合之间的关系

6、有限集合的子集个数

（1）n个元素的集合有n2个子集

（2）n个元素的集合有n2-1个真子集

（3）n个元素的集合有n2-1个非空子集

（4）n个元素的集合有n2-2个非空真子集

7、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合叫A与B的交集，记作A⋂B。

8、并集：由所有属于集合A或属于B的元素构成的集合称为A与B的并集，记A⋃B。

9、集合的运算性质及运用

【知识应用】

1.理解方法：看到一个集合A里的所有元素都包含在另一个集合里B，那么A就是B的

子集，也就是说集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A能推出x∈B。

【J】例1.指出下列各组中集合A与集合B之间的关系

（1）A={-1,1}，B=Z （2）A={1,3,5,15}，B={x|x是15的正约数}

【L】例2.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A，求实数m取值范围。

【C】例3. 已知集合A⊆{0,1,2,3}，至少有一个奇数，这样的集合A的子集有几个，请一一写出。

2.解题方法：证明2个集合相等的方法：（1）若A、B两个集合是元素较少的有限集，可

用列举法将元素一一列举出来，比较之或者看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两集合相等。（2）利用集合相等的定义证明A⊆B,且B⊆A，则A=B.

【J】例1.下列各组中的两个集合相等的有（）

（1）P={x|x=2n,n∈Z}, Q={x|x=2(n-1)，n∈Z}

（2）P={x|x=2n-1,n∈N+}, Q={x|x=2n+1,n∈N+}

(3) P={x|2x-x=0}, Q={x|x=1(1)

2

n

+-

,n∈Z}

【L】例2.已知集合A={x|x=1

2

kπ+

4

π

，k∈Z}，B={x|x=

1

4

kπ+

2

π

,k∈Z},判断集合A与

集合B是否相等。

【C】例3.设集合A={x|

3

2

x

x

-

-

≤0},集合B={x|(x-3)(x-2) ≤0},判断A与B相等吗？

3.理解方法：如果集合A中的元素都包含于集合B，并且集合B中有集合A所没有的元素，那么集合A就是集合B的真子集。

【J】例1.设集合A={2,8,a}, B={2, 2a-3a+4},且B ⊂

≠A，求A的值。

【L】例2. 满足{a}⊆M ⊂

≠{a,b,c,d}的集合M有哪几个？

【C】例3. 集合M={x|x=3k-2,k∈Z},P={y|y=3x+1,x∈Z},S={z|z=6m+1,m∈Z}之间的关系是_______________。

4.理解方法：通俗的讲，A⊆S，那么将集合S中的元素去除掉集合A中的元素，所剩余

下来的元素组成的集合就是S的子集A的补集。

【J】例1.设集合A={1,2,3,4,}，集合U={1,2,3,4,5,6}，那么

u

C A=_______

【L】例2.若U=Z，A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k+1.k∈Z},则u C A=_______,u C B=________

【C】例3.不等式组

210

360

x

x

->

⎧

⎨

-≤

⎩

的解集为A，U=R，试求

u

C A

5.理解方法：元素与集合的关系是属于与不属于的关系，用∈表示；集合与集合之间的关

系是包含（⊆）、真包含（⊂

≠），相等（=）的关系。

【J、L】例1.在下列各式中错误的个数是()

①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}⊆{0,1,2}；

④{0,1,2}＝{2,0,1}

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

【C】例2设A、B为两个集合，下列四个命题：

（1）A⊄B⇔对任意x∈A,有x∉B （2）A⊄B⇔A⋂B=∅

(3)A⊄B⇔B⊄A (4)A⊄B⇔存在x∈A，使得x∉B，其中真命题的序号（）

A.（1）（2）

B. (3)(4)

C. (1)(2)(3)

D. (4)

6.应用类。主要记住子集个数，那么真子集的个数就是子集个数减去本身（也就是1个），非空子集个数就是子集个数减去空集（也是1个），非空真子集个数就是子集个数减去空集和本身（也就是减去2个）。如果记忆不牢靠，可以用列举法列举一个或多个元素较少的集合，来找出它的集合的个数，推出子集个数。

【J】例1集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集的个数是()

A．5 B．6 C．7 D．8

【L】例2集合{a,b,c,,d,e,f}的子集个数______,真子集个数_____,非空子集个数______,非空真子集个数_______.

【C】例3同时满足：（1）M⊆{1,2,3,4,5,}；（2）a∈M，则6-a∈M的非空集合M有个。

7.理解方法：简单的说，就是将集合A与集合B中共有的元素找出来，将这些元素组成的

集合就是集合A与集合B的交集。（注意：不能仅认为A⋂B中的任一元素都是都是A 与B的公共元素，同时还有A与B的公共元素都属于A⋂B的含义，这就是文字定义中“所有”二字的含义，而不是“部分”公共元素。当A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是它们的交集为∅。

【J】例1设集合M={m∈Z|-3

C A）⋂B=______

例2如果集合U={1,2,3，4,5,6,7,8}，A={2,5,8}，B={1,3,5,7}那么（

u 【L】例3已知A={-4,2a-1，2a}，B={a-5,1-a，9}，A⋂B={9}，a=_______