数字信号处理第四章分析

第四章线性时不变离散时间系统的频域分析

一、传输函数和频率响应

例4.1传输函数分析

Q4.1

clear;

M = input('Enter the filter length M: ');

w = 0:2*pi/1023:2*pi;

num = (1/M)*ones(1,M);

den = [1];

h = freqz(num, den, w);

subplot(2,1,1)

plot(w/pi,abs(h));grid

title('Magnitude Spectrum |H(e^{j\omega})|')

xlabel('\omega /\pi');

ylabel('Amplitude');

subplot(2,1,2)

plot(w/pi,angle(h));grid

title('Phase Spectrum arg[H(e^{j\omega})]')

xlabel('\omega /\pi');

ylabel('Phase in radians');

M=2 M=10 M=15

幅度谱为偶对称，相位谱为奇对称，这是一个低通滤波器。M越大，通带越窄且过渡带越陡峭。

Q4.2使用修改后的程序P3.1，计算并画出当w=[0,pi]时传输函数的因果线性时不变离散时间系统的频率响应。它表示哪种类型的滤波器？

w = 0:pi/511:pi;

num = [0.15 0 -0.15];

den = [1 -0.5 0.7];

如下图1这是一个带通滤波器。

图1 图2

Q4.3对下面的传输函数重做习题Q4.2：，式（4.36）和式（4.37）给出的两个滤波器之间的区别是什么？你将选择哪一个滤波器来滤波，为什么？

w = 0:pi/511:pi;

num = [0.15 0 -0.15];

den = [0.7 -0.5 1];

如上图2也是一个带通滤波器，这两个滤波器的幅度谱是一样的，相位谱不太一样，我会选择第一个带通滤波器，因为它的相位谱更加平滑，相位失真小。

Q4.4 使用MATLAB计算并画出当w=[0,pi]时因果线性时不变离散时间系统的群延迟。系统

的传输函数为。

clf;

w = 0:pi/511:pi;

num = [1 -1.2 1];

den = [1 -1.3 1.04 -0.222];

h= grpdelay(num,den,w);

plot(w/pi,h);

xlabel('w/pi');

ylabel('群延迟');

Q4.5 使用Q3.50中编写的程序，分别计算并画出式（4.36）和式（4.37）确定的两个滤波器的冲激响应中的前一百个样本。讨论你的结果。

clf;

num = [0.15 0 -0.15];

den = [0.7 -0.5 1];

L = input('输入样本数 L: ');

[g t] = impz(num,den,L);

stem(t,g);

title(['前 ',num2str(L),' 脉冲响应的样本']);

xlabel('时间序号 n');

ylabel('h[n]');

（4.36）式（4.37）式

由图可知：这些情节由impz给生成的因果的脉冲响应实现的H(z)。我们观察到Q4.3因果滤波器与H(z)在(4.36)稳定,这意味着H[n]是绝对可和,我们看到交替和指数衰减的脉冲响应。在另一方面,因果编档人员与H(z)在(4.37)极点以外的单位圆,是不稳定的。不足为奇的是,相应的h[n]上图显示与n指数增长。

Q4.6 传输函数的极零点图同样能分析线性时不变离散时间系统的性质。使用命令zplane 可以很容易地得到系统的极零点图。使用zplane分别生成式（4.36）和式（4.37）确定的两个滤波器的极零点图。讨论你的结果。

clf;

num = [0.15 0 -0.15];

den = [1 -0.5 0.7];

[z p k] = tf2zpk(num,den);

disp('Zeros:');

disp(z);

disp('Poles:');

disp(p);

input('Hit to continue...');

[sos k] = zp2sos(z,p,k)

input('Hit to continue...');

zplane(z,p);

式（4.36）

式（4.37）

由图可知：过滤器在(4.36)在单位圆和两极因此它的因果实现稳定；较低的图显示过滤器

(4.37)极点在单位圆外,其因果关系的实现是不稳定的。

二、传输函数的类型

例4.2滤波器

Q4.7

clf;

fc = 0.25;

n = [-6.5:1:6.5];

y = 2*fc*sinc(2*fc*n);k = n+6.5;

stem(k,y);title('N = 14');axis([0 13 -0.2 0.6]);

xlabel('Time index n');

ylabel('Amplitude');

grid;

图1 图2

如图1低通有限冲激滤波器的长度为14，决定滤波器长度的语句为n = [-6.5:1:6.5]，而控制截止频率的参数是fc = 0.25。

Q4.8

fc = 0.45;

n = [-9.5:1:9.5];

y = 2*fc*sinc(2*fc*n);k = n+9.5;

stem(k,y);title('N = 20');axis([0 19 -0.2 0.7]);

xlabel('Time index n');

ylabel('Amplitude');

grid;

修改参数fc和n，得到如上图2，可知低通有限冲激滤波器的长度变为20.

Q4.9

clf;

fc = 0.65;

n = [-7.0:1:7.0];

y = 2*fc*sinc(2*fc*n);k = n+7.0;

stem(k,y);title('N = 14');axis([0 14 -0.4 1.4]);

xlabel('Time index n');

ylabel('Amplitude');

grid;