第四章 随机过程中的平稳过程

F(t1 ,t2 , ,tn ；x1, x2, , xn )
则称{X(t),t∈T} 为严(强、狭义）平稳过程，或称 {X(t),t∈T} 具有严平稳性。
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
严平稳过程的特点
1） 严平稳过程 X (t) 的一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关，
因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推 移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间 而推移。 注3 正态过程的严平稳与宽平稳是等价的。(定理4.4.1)
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注4 利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过程的平稳 性。
因为 均值函数 m(t)=m 协方差函数
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证 二维
对于二维概率密度，有
f (t1, t2；x1, x2 ) f (t1 , t2 ；x1, x2 )
若令 t2 ，得 f (t1,t2；x1, x2 ) f (t1 t2 ,0；x1, x2 ) f (；x1, x2 )
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4.1 平稳过程的基本概念
1、严平稳过程
定义4.4.1
设随机过程{ X (t) , t T }， 若对任意n，任意 t1，t2 , , tn T 以及使
t1 ，t2 ，…，tn T 的任意τ，有
F (t1, t2 , , tn；x1, x2 , , xn )
其中 t1 t2
同理 二维分布函数也仅与时间差 t1 t2 有关，
而与时间起点无关，即
F (t1,t2；x1, x2 ) F(；x1, x2 )
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2） 若严平稳过程存在二阶矩，则
（1）均值函数为常数： m(t) E[X (t)] m
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第四章 平稳过程
4.1 平稳过程的基本概念 4.2 平稳过程相关函数的性质 4.3 平稳过程的各态历经性 4.4 平稳过程的谱密度 4.5 平稳过程的谱分解 4.6 线性系统中的平稳过程
2008年12月
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说明
当T为整数集 或 { nt ，n=0,1,2,…}时
则称 X (t) 为 平稳时间序列
注1 严平稳过程不一定是宽平稳过程。 因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。 若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。
注2 宽平稳过程也不一定是严平稳过程。
由于在许多工程技术问题中，常常仅在相关理论(一、二 阶矩)的范围内讨论问题，因此划分出广义平稳随机过程来。 而相关理论之所以重要，是因为在实际中，一、二阶矩能给出 有关平稳随机过程平均功率的几个主要指标，比如，如果随机 过程如果代表噪声电压信号，那么在相关理论范围内就可以给 出直流分量、交流分量，平均功率及功率在频域上的分布(我 们将在后面讨论功率谱密度)等。另外，在电子系统中经常遇 到最多的是正态随机过程，对于正态随机过程而言，它的任意 维分布都只由它的一、二阶矩来确定，广义平稳的正态随机过 程必定是严格平稳的。因此，在实际中，我们通常只考虑广义 平稳性，今后除特别声明外，平稳性指的是广义平稳。
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例 1 设随机过程X(t)=At，A为标准正态分布的随机变量。 试问X(t)是否平稳？
（2）相关函数仅是时间差 t1 t2 的函数：
记 R( ) @R(s,t) R(t s)
证 只对连续型的情况
m(t) E[ X (t)] xf (t；x)dx xf (x)dx m
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R(s,t) E[ X (s)X (t)]
x1x2dF
(s,
t；x1,
x2
)
源自文库
x1 x2 dF
(0, t
s；x1 ,
x2
)
@RX (t s)
RX ( )
其中 t s
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2、宽平稳过程
定义2
设随机过程{ X (t) ， t T }， 如果它满足： （1） X (t) 是二阶矩过程；
（2）均值函数为常数，即
m(t) E[X (t)] m
（3）相关函数 R(s,t) 仅依赖 t s ，即
R(s,t) E[ X (s)X (t)] R( )
则称{X(t),t∈T} 为宽（弱、广义）平稳过程，简称宽 平稳过程
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二维概率密度f (t1,t2；x1, x2 ) 仅与时间差 t1 t2有关，
而与时间起点无关。
证 一维
对任意的τ，必有
f (t；x) f (t ；x)
若令 t ，得 f (t；x) f (0；x) f (x)
即一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关。
同理有一维分布函数也与t无关，
即
F(t；x) F(0；x)
C(t ,t ) cov[X (t ), X (t)] E{[ X (t ) m(t )][ X (t) m(t)]}
E{[X (t )X (t)] mE[X (t)] mE[X (t )] m2
R(t ,t ) m2 R( ) m2 @C( )
即表示协方差函数仅依赖于τ，而与t无关，与相关函数 相同。
随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地 说, 所有信号都是非平稳的, 但是, 平稳信号的分析 要容易得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机 过程的主要物理条件在时间的进程中不改变, 或变 化极小, 可以忽略, 则此信号可以认为是平稳的. 如 接收机的噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温 度的变化, 使得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间后, 温度变化趋于稳定, 这时的噪声电 压信号可以认为是平稳的。