新人教版九年级数学《垂径定理》

O E A 9 0 o E A D 9 0 o O D A 9 0 o
∴四边形ADOE为矩形，
AE1AC， AD1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
E
·O
大家好
A
D
B
32
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石
大家好
37
解：如图，用半圆O表示通道上面的
半圆，AB为直径，弦CD平行AB，
过O作于E，连结OD，据垂径定理
知：
ED CE
1 CD
2
C A
在 Rt OED 中，依题意知：
OD ＝1.3 米， OE ＝ 2.5 - 2＝ 2.5 米
ED ＝ （1.3 ）2 （- 0.5 ）2 ＝ 7.2 米 CD ＝ 2ED ＝ 2.4 米 2 .3米 这辆卡车能通过通道。
大家好
13
二、填空：
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm。
O AE B
2． ⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。
O AE B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 2 3cm。
O
AE
B
大家好
变式４：在变式１题图的基础上，将小圆隐去， 得到下图，设ＯC＝ＯD，试证明ＡＣ＝ＢＤ。
O
AC
DB
C A
O
D B
变式３题图
大家好
变式４题图
27
学生练习
已知：AB是⊙O直径，CD 是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
B
O.
求证：EC＝DF
A
EC
DF
大家好
28
试一试
如图,A、B、C在圆上,且AB=AC=5厘米,
C
O
A
E
D
是
c
C
A
D
B
O
O
B
A
E
不是 是
C
BA
O EB D
不是
大家好
6
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
E
BA
D
CD过圆心 CD⊥AB于E
A
O
D
B
D
B
O
A
C
C
AE=BE
AC=BC AD= 大家好 BD
O
C
B
7
•思考：平分弦（不 是直径）的直径有 什么性质？
大家好
8
垂径定理的推论
如图: AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM 连接OA,OB,则OA=OB.
A O 2O E2A E2
E
B
·
O
A O O E 2 A E 2=3 2+ 4 2= 5 c m
答：⊙O的半径为5cm.
大家好
பைடு நூலகம்
17
2：已知：如图，在以O为圆心的两 个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C，D两点。
求证：AC＝BD。
O.
A
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
E C
DB
则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧
（4） …（5）… （6）…
（7）… （8）… （9）…
大家好
11
结论
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和 一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以 推出其他三个结论
拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧
形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦
的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
大家好
33
解决求赵州桥拱半径的问题
⌒ 如图，用
ＡＢ
表
示
主
桥
拱
，» A
B
设
Ａ⌒Ｂ所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC
大家好
弦,并且平分弦所对的两条弧.
9
讨论
（1）过圆心（2）垂直于 弦 （3）平分弦 （4）平 分弦所对优弧 （5）平分 弦所对的劣弧
C
A M└
B
●O
D
（1） （3）
（2） （4）
（2） （4） （1） （5） （4）
（2） （1） （3） （5） （5）
（2） （3） （4）
（2） （3）
（1（）2） （3（）5） （5）
大家好
12
一、判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦
C
A M└
B
●O
④平分弦的直径垂直于这条弦
D
⑤弦的垂直平分线是圆的直径
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧
⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分
E
B
.
O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
大家好
25
例１、图示，在圆Ｏ中，弦ＡＢ的长为８厘米， 圆心Ｏ到ＡＢ的距离为３厘米，求圆Ｏ的半径。
A
B
O
AB
CD O
E
AC
DB O
F
例１题图
变式１题图
变式２题图
变式１：若以Ｏ为圆心，再画一个圆交ＡＤ与Ｂ、Ｃ两点， 则ＡＢ与ＣＤ之间存在怎样的大小关系？
变式２：若以Ｏ为圆心，在变式１题图的基础上再画一个
圆，则ＥＡ与ＢＦ，ＥＣ与ＤＦ之间存在怎样的大小关系？
大家好
26
变式３：在变式１题图的基础上，连结ＯＡ、Ｏ Ｂ，将大圆隐去，得到下图，设ＯＡ＝ＯＢ，试 证明ＡＣ＝ＢＤ。
（1）（3） （3）（4） （4）
（1） （2）（3） （5）（5）
（1） （4）
（2） （5）
（4）
每条推论如大何家好用语言表示？
（1） （4） （5） （1） （2） （3）
10
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧
大家好
21
圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来 说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2弧）：线Ａ⌒段Ｃ：＝ＢA⌒EＣ=BE，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
⌒ ⌒ 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
A
点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ 和 ＢＣ
⌒ ⌒ 重合，ＡＤ和 ＢＤ重合．
大家好
C
·O
E B
D
3
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且
平分Ａ⌒Ｂ 及 Ａ⌒ＣＢ
与Ａ⌒AＢB
相交于点D，根据前面的结论，D 的中点，CD 就是拱高．
是AB
的中点，C是
解：因为 AB=37.4，CD=7.2，
A D 1A B 1 3.4 7 1.7 8 ,
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
C
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
18.7 D
A
B
OA2=AD2+OD2
7.2
即
R2=18.72+（R－7.2）2
大家好
30
在直径是20cm的⊙O中，∠AOB的度数是
60°, 那么弦AB的弦心距是 5 3 c m .
圆的圆心到圆上弦的
距离叫做弦心距。
O
ADB
大家好
31
如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条 弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明：Q O E A C O D A B A B A C
所以，AC＝BD
实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的
线段.就可以利用垂径定理来解决有关问题了.
大家好
18
你能讲解 吗？ 你能有一句话概括一下吗？
3、已知：⊙O中弦AB∥CD。
求证：A⌒C＝B⌒D
C
证明：作直径MN⊥AB。
A
∵AB∥CD，∴MN⊥CD。 则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M（垂直平分 弦的直径平分弦所对的弦）
在△OAM和△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM，AM=BM
∴△OAM≌△OBM.
C
∴∠AMO= ∠ BMO.
A M└ ●O
D
B ∴CD⊥AB ∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒⌒
⌒⌒
∴A⌒C =AB⌒CC和, AB⌒DC重=B⌒合D,. AD和BD重合.
平分弦（不是直径）的直径垂直于
在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化 为解直角三角形的问题 。
大家好
22
•垂径定理与 推论的应用
大家好
23
练习
如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P 是弦AB上一个动点， 求OP的取值范围.
O
A
B
P
3≤OP≤5
大家好
24
讲解
例1 如图，已知在⊙O中，弦 A AB的长为8厘米，圆心O到AB 的距离为3厘米，求⊙O的半径.
A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M ∴A⌒C＝B⌒D
M D B
.O
N
夹在两条平行弦间的弧相等.
大家好
19
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
N
小结: 解决有关弦的问题，经常是过圆心作
弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
大家好
20
说出你这节课的收获和体验，让大家 与你一起分享！！！
R O
解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约大为家好27.9m.
34
练习
如图，弓形ABC中，弦AC的长为8厘米，弦 的中点到劣弧中点间的长度是2厘米， 求圆的半径。
B
2
4
A
D
C
x
x-2
O
大家好
35
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些 油后,油面宽AB=600mm,求油的最大深度。
解：
1 2 BC
A
E
F
∵OE⊥AB ∴E为AB的中点
O
∵OF ⊥AC ∴ F为AC的中点 1
∴EF为三角形ABC的中位线∴ 2 BC
B
C
大家好
16
再来！你行吗？
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：Q O EA B
A
AE1AB184
22
在Rt △ AOE 中
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
据由垂题径设定得理,A D是A BB 的7 .中2 ,点C ,C是 D A2 B.4 的,H 中点, CN D1 就M 是拱高 .1 N .5 .
AD
1
AB
1
7.2
2 3.6,
2
2
O D O CD CR2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
BC=8厘米，求圆的半径。
A
B
DC
O
大家好
29
练习
2.已知，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，
AE=6厘米，EB=2厘米，∠BED=30°，
求CD的长。
说明： 解决有关圆的问题，
C
F
A
B OE D
常常需要添加辅助线，
针对各种具体情况，辅助线的添加有一定的规
律，本例和上例中作“垂直于弦的直径”就是
一个很好的例证。
C
即ＡＥ＝ＢＥ
⌒ ⌒⌒ ⌒
ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
·O
E
A
B
D
垂径定理：垂直于弦的
直径平分弦，并且平分
弦所对的两条弧
大家好
4
Ｃ
Ｏ
Ａ
ＥＢ
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
Ｄ
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
大家好
5
下列图形是否具备垂径定理的条件？
大家好
ED
O
B
38
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 m ， 过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘 宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱 桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
C
M
N
H
A
E
DF
B
O
大家好
39
船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱,AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
(1)
OB650(mm)
(2)
2
O E A
EB600(mm) B 2
B OE OB 2EB 2
E
A O
OE=125(mm)
D
D
油的最大深度ED=OD－OE=200(mm)
或者油的最大深度ED=OD + OE=450(mm).
大家好
36
如图，某城市住宅社区，在相邻两楼之间修建一个上面是半 圆，下面是矩形的仿古通道，其中半圆拱的圆心距地面2米， 半径为1.3米，现有一辆高2.5米，宽2.3米的送家具的卡车，问 这辆卡车能否通过通道，请说明理由。
大家好
1
1、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都 是它们的对称轴
2、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？ 圆是中心对称图形，圆心是对称中心
.
大家好
2
活动一
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
OA 2AD 2OD 2,
即 R 23.62(R2.4)2.
解得 R=3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
14
4、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD， AB=16，CD=12，则AB、CD间的 距离是___2cm 或14cm.
1.两条弦在圆心的同侧
2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
大家好
15
练习
如图, △ABC的三个顶点在⊙O上，
OE⊥AB于E，OF ⊥AC于F。
求证：EF∥BC，EF=