最新初中数学锐角三角函数的图文解析
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最新初中数学锐角三角函数的图文解析
一、选择题
1.如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的点,过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ,若∠A =30°,则sin ∠E 的值为( )
A .12
B .2
C .3
D .3 【答案】A
【解析】
【分析】 首先连接OC ,由CE 是⊙O 切线,可证得OC ⊥CE ,又由圆周角定理,求得∠BOC 的度数,继而求得∠E 的度数,然后由特殊角的三角函数值,求得答案.
【详解】
如图,连接OC ,
∵CE 是⊙O 的切线,
∴∠OCE=90°,
∵OA=OC ,
∴∠OCA=∠A=30°,
∴∠COE=∠A+∠OCA=60°,
∴∠E=180°-90°-60°=30°,
∴sinE=sin30°=
12
. 故选A.
2.在课外实践中,小明为了测量江中信号塔A 离河边的距离AB ,采取了如下措施:如图在江边D 处,测得信号塔A 的俯角为40︒,若55DE =米,DE CE ⊥,36CE =米,CE 平行于AB ,BC 的坡度为1:0.75i =,坡长140BC =米,则AB 的长为( )(精确到0.1米,参考数据:sin 400.64︒≈,cos400.77︒≈,tan 400.84︒≈)
A .78.6米
B .78.7米
C .78.8米
D .78.9米
【答案】C
【解析】
【分析】 如下图,先在Rt △CBF 中求得BF 、CF 的长,再利用Rt △ADG 求AG 的长,进而得到AB 的长度
【详解】
如下图,过点C 作AB 的垂线,交AB 延长线于点F ,延长DE 交AB 延长线于点G
∵BC 的坡度为1:0.75
∴设CF 为xm ,则BF 为0.75xm
∵BC=140m
∴在Rt △BCF 中,()2220.75140x x +=,解得:x=112
∴CF=112m ,BF=84m
∵DE ⊥CE ,CE ∥AB ,∴DG ⊥AB ,∴△ADG 是直角三角形
∵DE=55m ,CE=FG=36m
∴DG=167m ,BG=120m
设AB=ym
∵∠DAB=40°
∴tan40°=1670.84120
DG AG y ==+ 解得:y=78.8
故选:C
【点睛】
本题是三角函数的考查,注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.
3.图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2,它的双翼展开时,双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ,双翼的边缘AC =BD =54cm ,且与闸机侧立面夹角∠PCA =∠BDQ =
30°.当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为()
A.(543+10) cm B.(542+10) cm C.64 cm D.54cm
【答案】C
【解析】
【分析】
过A作AE⊥CP于E,过B作BF⊥DQ于F,则可得AE和BF的长,依据端点A与B之间的距离为10cm,即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度.
【详解】
如图所示,
过A作AE⊥CP于E,过B作BF⊥DQ于F,则
Rt△ACE中,AE=1
2
AC=
1
2
×54=27(cm),
同理可得,BF=27cm,
又∵点A与B之间的距离为10cm,
∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64(cm),
故选C.
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角函数值,特殊角的三角函数值应用广泛,一是它可以当作数进行运算,二是具有三角函数的特点,在解直角三角形中应用较多.
4.同学们参加综合实践活动时,看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角,其作法是:如图:
(1)作线段AB,分别以点A,B为圆心,AB长为半径作弧,两弧交于点C;
(2)以点C为圆心,仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D;
(3)连接BD,BC.
根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是()
A.∠ABD=90°B.CA=CB=CD C.sinA=3
D.cosD=
1
2
【答案】D
【解析】
【分析】
由作法得CA=CB=CD=AB,根据圆周角定理得到∠ABD=90°,点C是△ABD的外心,根据三角函数的定义计算出∠D=30°,则∠A=60°,利用特殊角的三角函数值即可得到结论.
【详解】
由作法得CA=CB=CD=AB,故B正确;
∴点B在以AD为直径的圆上,
∴∠ABD=90°,故A正确;
∴点C是△ABD的外心,
在Rt△ABC中,sin∠D=AB
AD
=
1
2
,
∴∠D=30°,∠A=60°,
∴sinA=
3
2
,故C正确;cosD=
3
2
,故D错误,
故选:D.
【点睛】
本题考查了解直角三角形,三角形的外接圆与外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理和解直角三角形.
5.为了方便行人推车过某天桥,市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道(如图所示),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是( )
A.
B.