轴对称全章复习与巩固提高知识讲解

轴对称全章复习与巩固（提高）

【学习目标】

1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；

2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质；

3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法 【知识网络】

【要点梳理】 要点一、轴对称 1. 轴对称图形和轴对称

（1） 轴对称图形

如果一个图形沿着某一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形就叫做轴

对称图形，这条直线就是它的对称轴 .轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一

对对应点所连线段的垂直平分线 .

（2） 轴对称

定义：把一个图形沿着某一条直线折叠， 如果它能够与另一个图形重合， 那么就说这两 个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴

•成轴对称的两个图形的性质：

① 关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；

② 如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分 线； ③ 两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交， 那么它们的交点在

对称轴上•

（3） 轴对称图形与轴对称的区别和联系

区别：轴对称是指两个图形的位置关系， 轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形； 轴

对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的 .联系：如果把一个轴对称图形沿对 称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称； 如果把成轴对称的两个图形看成一个

整体，那么它就是一个轴对称图形. 2. 线段的垂直平分线

线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 .反

过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 要点二、作轴对称图形 1. 作轴对称图形

生活中的铀对称

（ 1 ）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；

（ 2 ）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.

2. 用坐标表示轴对称

点（x,y ）关于x轴对称的点的坐标为（x,—y ）；点（x,y ）关于y轴对称的点的坐标为（一x , y ）;点（x , y ）关于原点对称的点的坐标为（一x , —y ）. 要点三、等腰三角形

1. 等腰三角形

（ 1 ）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.

（ 2 ）等腰三角形性质

①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；

②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三

线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.

（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.

2. 等边三角形

（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60 °.

（3）等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角为60 °的等腰三角形是等边三角形.

3. 直角三角形的性质定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

【典型例题】

类型一、轴对称的性质与应用

1、如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC 的顶点都是小正方形的顶点．在田字格

上画与△ ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形

（不包含厶ABC本身）共有（）

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

【思路点拨】分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴，来找三角形.

【答案】C；

【解析】先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数．△ HEC 与厶ABC关于CD对称；△ FDB 与厶ABC关于BE对称；△ GED 与厶ABC 关

于HF 对称；关于AG 对称的是它本身．所以共 3 个．

【总结升华】本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键．举一反三：

【变式】如图，△ ABC的内部有一点P,且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴

的对称点.若△ ABC 的内角/ A = 70 °，/ B = 60 °，/ C = 50 °，则/ ADB +

/ BEC +Z CFA =( )

A.180 °

B.270 °

C.360

D.480

【答案】C ；

解：连接AP , BP , CP ,

•/ D , E , F是P分别以AB , BC , AC为对称轴的对称点

•••/ ADB =Z APB，/ BEC =Z BPC，/ CFA =Z APC ,

•••/ ADB +Z BEC +Z CFA =Z APB +Z BPC +Z APC = 360

2、已知/ MON = 40 ° , P为/ MON内一定点，OM 上有一点A, ON上有一点B,当△ PAB的周

长取最小值时，求/ APB的度数.

【思路点拨】求周长最小，禾U用轴对称的性质，找到P的对称点来确定A、B的位置，角度

的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算

【答案与解析】解：分别作P关于OM、ON的对称点R , F2，连接RP2交OM于A, ON于B.则厶PAB

为符合条件的三角形•

•••/ MON = 40 °

P PP2 = 140 °.

1 1

/ RPA = - Z PAB, / P2PB = - Z PBA.

2 2

1

•一(Z PAB +Z PBA) +Z APB = 140 °

2

•Z PAB +Z PBA + 2 Z APB = 280 °

vZ PAB =Z R + Z RPA, Z PBA =Z P2 + Z P2PB

•Z P + Z P2 + Z P| PP2 = 180 °

•Z APB = 100 °

【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，

这样取得周长的最小值•

举一反三：

【变式】如图，在五边形ABCDE 中，Z BAE = 120 ° ,Z B = Z E = 90 ° , AB = BC , AE =DE，在BC , DE上分别找一点M , N，使得△ AMN的周长最小时，则Z AMN + Z ANM 的度数为（）.

A. 1 00 ° B . 110 °C. 120 °D. 130 °

【答案】C ；

提示：找A点关于BC的对称点A，关于ED的对称点A2，连接A1A2，交BC于点，ED

于N点，此时△ AMN 周长最小./ AMN +Z ANM = 180 ° -Z MAN，而