正比例函数的意义
正比例函数的意义
正比例函数的意义
嘿，咱今天来聊聊正比例函数的意义哈！
就说我之前去买糖果吧，我发现我买的糖果数量越多，花的钱也就越多。
这就很像正比例函数呀！比如说，一颗糖果 5 毛钱，那我买两颗糖果就得花 1 块钱，买三颗就 1 块 5 毛钱，买四颗就 2 块钱，你看，糖果数量增加，花费也跟着正比例增加呢！就好像正比例函数里的两个变量，一个变了，另一个也跟着按一定比例变化。
我每次站在糖果摊前，心里就会默默地算着，买多少颗合适呢，多买几颗就得多掏不少钱呢，但又实在是想吃呀！这就跟正比例函数一样，能让我清楚地看到数量和花费之间的关系。
总之呢，正比例函数就像是我们生活中的这种小事情一样，很实在地体现着两个量之间的那种正比例变化的关系。
嘿嘿，是不是还挺有意思的呀！这就是我对正比例函数意义的理解啦，简单又明了！。
正比例函数教材分析
14．2．1 正比例函数
设计人李延文
1、教材分析：
本节课是人民教育出版社八年级数学《第十四章一次函数》《14．2一次函数》的第一课时。
函数是初中数学学习的重要内容，而正比例函数是最简单的函数。
通过学习正比例函数，培养学生利用函数解决生活中的实际问题，培养学生函数的数学思想，培养学生体会“数学来源于生活，同时也为生活服务”的数学意识；通过画正比例函数图象，培养学生的动手画图能力，数形结合的数学思想，通过函数图象研究正比例函数的性质，这些都是初中函数学习是主要目标，也是数学教学的重要目标。
2、学情分析
学生在前面学完平面直角坐标系、变量和常量、函数的概念、列函数关系式、函数的图象后，教材安排了正比例函数，本节课是对前面知识的一个小结与概括，也是前面知识的延伸与拓展，同时也是后面学习一次函数、二次函数、反比例函数的基础。
教科书通过生活实例引出正比例函数的意义，然后借助平面直角坐标系得到正比例函数图象，最后通过图象研究正比例函数的性质。
3．教学目标
１．认识正比例函数的意义．
２．掌握正比例函数解析式特点．
３．理解正比例函数图象性质及特点．
４．能利用所学知识解决相关实际问题．
4.教学重点
1．理解正比例函数意义及解析式特点．
2．掌握正比例函数图象的性质特点．
3．能根据要求完成转化，解决问题．
教学难点
正比例函数图象性质特点的掌握．。
物理中的正比例反比例函数关系
物理中的正比例反比例函数关系正比例函数和反比例函数是物理学中非常重要的概念，被广泛应用于各种物理学问题中。
正比例函数指的是两个变量之间存在着线性关系，而反比例函数则指的是两个变量之间存在着倒数的关系。
在物理学中，这些函数关系经常出现在各种实验测试和数据记录中，因此了解和理解这些函数关系是非常重要的。
一、正比例函数的定义正比例函数是指，存在两个变量之间的线性关系，即当一个变量的值增加时，另一个变量也随之增加，且两个变量在图表上形成一条直线。
具体地说，一个变量的值随着另一个变量的值增加而增加，且增加的幅度与另一个变量的值成比例。
当我们测量一个运动物体的速度时，如果我们将时间和速度作为两个变量绘制成图表，我们会发现，当时间增加时，速度也随之增加，并形成一条经过原点的直线。
这种关系就是正比例函数关系，表达式为：v = k*t，其中v表示速度，t表示时间，k是速度和时间的比例系数。
三、正比例函数和反比例函数的应用正比例函数和反比例函数在物理学中有广泛的应用，下面分别介绍一些常见的应用：（1）正比例函数的应用在机械学中，正比例函数关系最广泛地应用于速度和加速度之间的关系。
当一个物体的速度越快，它的加速度也会越大，它受到的阻力也会越大。
而这种关系可以用正比例函数来表示，表达式为：a = k*v，其中a表示加速度，v表示速度，k是加速度和速度的比例系数。
在空气中飞行的飞机所受到的空气阻力就是一个正比例函数关系。
电阻与电流的关系也可以用正比例函数来表示。
当电路中的电流增加时，电阻也会随之增加，这是因为电流的增加会导致电路中的热量增加，而热量又会引起电阻的增加。
这种关系可以用欧姆定律来表示，即R = V/I，其中R表示电阻，V表示电压，I表示电流。
压力和体积之间的关系也可以用反比例函数来表示。
根据波义尔定理，当温度不变时，气体的体积和压力呈反比例关系，即P1V1 = P2V2，其中P1和V1表示气体压力和体积的初始值，P2和V2表示气体压力和体积的末值。
[整理版]正比例函数K的几何意义专
![[整理版]正比例函数K的几何意义专](https://img.taocdn.com/s3/m/299fe77a82c4bb4cf7ec4afe04a1b0717fd5b32a.png)
当k>0时，直线从左下方向右上方倾斜，倾斜角α为锐角；当k<0时，直线从左 上向右下方倾斜，倾斜角α为钝角。
直线斜率与面积关系
斜率K与三角形面积
在直角坐标系中，若直线y=kx与x轴、y轴围成一个三角形，则该三角形的面积S 与斜率k之间存在关系S=1/2*|k|。
斜率K与平行四边形面积
VS
方法二
利用相似三角形的性质，若两个三角形相 似，则它们的对应边成比例。设两个相似 三角形的对应边分别为$l_1, l_2$和$l_1', l_2'$，则有$frac{l_1}{l_1'} = frac{l_2}{l_2'}$。若这两个三角形的一条 边与x轴平行，那么这条边的长度比就等 于两三角形的斜率之比，即$frac{k}{k'} = frac{l_1}{l_1'} = frac{l_2}{l_2'}$。
工程学中效率与工作量关系
工作效率与工作量关系
在工程学中，工作效率η通常与工作量W成正比关系。高效率意味着在相同时间内可以完成更多的工 作，即η=kW，其中k为比例系数。
机器性能与工作负载关系
机器的性能表现通常与其工作负载成正比。当机器承受的负载增加时，其性能表现也会相应提升，以 保持稳定的工作效率，即P=kW，其中k为比例系数。
正比例函数与反比例函数关系
01
正比例函数和反比例函数是两种不同类型的函数，它
们之间没有直接的转化关系。
02
正比例函数的自变量和因变量之间是线性关系，而反
比例函数的自变量和因变量之间是倒数关系。
03
在平面直角坐标系中，正比例函数的图像是一条过原
点的直线，而反比例函数的图像是一条双曲线。
正比例的意义
如果两个量x和y满足关系xy=k（k为常数），则x和y成正比。这是因为无论x和y各 自如何变化，它们的乘积始终等于k，这是正比例关系的另一种表达方式。
观察它们是否满足正比例的定义和性质
总结词
如果两个量满足正比例的定义和性质， 则它们成正比。
详细描述
正比例是指两个量之间的特定关系， 其中一个量是另一个量的常数倍。它 具有方向性、对称性和传递性。如果 两个量满足这些性质，则它们成正比。
体重与饮食
摄入的食物量与体重之间存在正比例关系，摄入的食物越多 ，体重增加的可能性越大。
时间与速度
在匀速运动中，时间与速度之间存在正比例关系，时间越长 ，速度越快。
科学中的正比例例子
电流与电阻
在欧姆定律中，电流与电压成正比，而与电阻成反比，但电压保持不变时，电流与电阻之间存在 正比例关系。
密度与质量
$number {01}
正比例的意义
目 录
• 正比例的定义 • 正比例的应用 • 正比例的性质 • 正比例与其他数学概念的关系 • 如何判断两个量是否成正比 • 正比例的意义和重要性
01
正比例的定义
什么是正比例
正比例是指两个量之间的比值保 持恒定，即当一个量增加或减少 时，另一个量也按照相同的比例
客户数量与销售额
客户数量越多，购买商品 的可能性越大，从而促进 销售额的增加，两者之间 存在正比例关系。
03
正比例的性质
当两个量成正比例时，它们的比值是常数
描述
当两个量x和y成正比例时，它们 的比值x/y是一个常数，这个常数 被称为比例常数。
数学表达
如果x和y成正比例，则存在一个常 数k，使得x/y=k。
增加或减少。
19.2.1正比例函数的概念 课件
问题引入
问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km． 设列车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上 海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
（2）京沪高铁列车的行程 y（单位：km）和运行时间 t（单位：h）之间有何数量关系？
出发站1 100 km的南京站．
新知讲解
函数解析式：y＝300t ． 这个函数解析式有什么特点？ 常量与自变量是乘积关系．
新知讲解
问题2 下列问题中，变量之间的对应关系是函数 关系吗？如果是，请写出函数解析式．
（1）圆的周长 l 随半径 r 的变化而变化；
l=2πr
（2）铁的密度为7.9 g/cm3，铁块的质量 m （单位：g）随它的体积 V（单位：cm3）的变化而变化；
会超过全程运行时间4.4 h．
新知讲解
问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km． 设列车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：
（3）乘京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已 经过了距始发站1 100 km 的南京南站？
y = 300 t
当 t =2.5 时
这时列车尚未到达距离
新知讲解
问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km． 设列车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：
（2）京沪高铁列车的行程 y（单位：km）和运行时间 t（单位：h）之间有何数量关系？
y = 300 t
(0≤t≤4.4）
分析：1．运行时间 t 必须大于等于0；
2．由第一问知道运行时间 t 不
注意
再见
（3）乘京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已 经过了距始发站1 100 km 的南京南站？
正比例函数的定义
02
正比例函数的应用
物理应用
自由落体运动
在自由落体运动中，物体的速度 与时间成正比，即速度v=gt，其
中g是重力加速度。
弹簧伸长
在弹性限度内，弹簧的伸长量与作 用在其上的力成正比，即x=F/k， 其中F是力，k是弹簧的劲度系数。
电流与电压
在纯电阻电路中，电流与电压成正 比，即I=U/R，其中U是电压，R是 电阻。
数学应用
线性回归分析
函数单调性
在回归分析中，当自变量和因变量之 间存在线性关系时，可以使用正比例 函数进行拟合。
正比例函数在其定义域内是单调递增 或递减的，取决于其系数k的正负。
斜率计算
在平面坐标系中，直线的斜率等于其 上两点间纵坐标差与横坐标差之商， 即m=(y2-y1)/(x2-x1)，当x2=x1时， 斜率不存在。
04
正比例函数与其他函数的区别与 联系
与一次函数的区别与联系
一次函数的一般形式为 $y = ax + b$，其中 $a neq 0$，而正比例函数 是特殊的一次函数，形式为 $y = kx$，其中 $k neq 0$。正比例函数可 以看作是一次函数中 $b = 0$ 的特殊情况。
正比例函数和一次函数的图像都是直线，但正比例函数的图像过原点， 而一次函数的图像不过原点。
类比学习
通过与其他函数进行类比，找出正比例函数的特殊性质和一般规律。
解题技巧
掌握解题技巧，如代数运算、函数代换等，提高解题效率。
学习建议
1 2
注重基础
在学习正比例函数时，应注重基础知识的学习， 不要急于求成。
多做练习
通过大量的练习，加深对正比例函数的理解和掌 握。
3
及时复习
正比例函数
正比例函数一般地，•形如y=•kx•（k 是常数，•k ≠0•）的函数，•叫做正比例函数（proportional function ），其中k 叫做比例系数．也就是说，形如y=•kx+b ，且b ≠0的函数是正比例函数。
[正比例函数图象和性质]一般地，正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点和（1，k ）的直线．我们称它为直线y=kx.•当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0）(2) 必过点：（0，0）、（1，k ）(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限(4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴[正比例函数解析式的确定]——待定系数法一次函数[一次函数]一般地，形如y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0)函数，叫做一次函数. 当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以正比例函数是一种特殊的一次函数．[一次函数的图象及性质]一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb ，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） （1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-k b ，0） （3）走向： k>0，图象必经过第一、三象限；k<0，图象必经过第二、四象限b>0，图象必经过第一、二象限；b<0，图象必经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.[直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的位置关系]（1）两直线平行：k 1=k 2且b 1 ≠b 2 （2）两直线相交：k 1≠k 2 （3）两直线重合：k 1=k 2且b 1=b 2[确定一次函数解析式的方法]：待定系数法（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数解析式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数解析式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数解析式中得出结果.[一次函数建模]函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案、最佳策略等问题. 建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知识解决实际问题.正比例函数的图象和一次函数的图象在赋予实际意义时，其图象大多为线段或射线. 这是因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定的限制条件的，即自变量必须使实际问题有意义.从图象中获取的信息一般是：（1）从函数图象的形状判定函数的类型；（2）从横、纵轴的实际意义理解图象上点的坐标的实际意义.解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中某个变量作为自变量，再根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.反比例函数知识梳理知识点l. 反比例函数的概念重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xk y =或y=kx -1（k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。
正比例函数
B.-2
C. 1
2
D.2
2.关于函数 y=-2x,下列判断正确的是(C) A.图象必经过点(-1,-2) B.图象经过第一、三象限 C. y 随 x 的增大而减小 D.不论 x 为何值,总有 y<0
八年级(下) 人民教育 数学
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*
5.已知函数 y=(|a|-3)x2+2(a-3)x 是关于 x 的正比例函数. (1)求 a 的值; (2)求正比例函数的解析式. 解:(1)由题意得:|a|-3=0,a-3≠0,解得 a=-3;(2)把 a=-3 代入 y=(|a|-3)x2+2(a-3)x,得到 y=-12x.
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解:(1)关系式为 y=5x(0≤x≤10),函数图象如答图 19-2-1-3 所示.
答图 19-2-1-3
(2) 50 =5(元 ), 70-50 =5(kg).
10 5-1
所以共购进草莓为 10+5=15(kg). 共捐款为 70-15× 3=25(元).
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正比例函数
请多指点!
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1.认识正比例函数的意义. 2.掌握正比例函数解析式特点.(重点) 3.理解正比例函数图象的性质及特点.(难点)
八年级(下) 人民教育 数学
一、知识回顾 1.写出下列各题中 y 与 x 的关系式,并判断 y 是否是 x 的函数? (1)电报收费标准是每个字 0.1 元,电报费 y(元)与字数 x(个)之间的关 系; (2)地面气温是 28 ℃,如果每升高 1 km,气温下降 5 ℃,则气温 y(℃) 与高度 x(km)的关系; (3)圆面积 y(cm2)与半径 x(cm)的关系. (1)y=0.1x,是 (2)y=28-5x,是 (3)y=πx2,是 2.画函数图象的步骤: 列表 、 描点 、 连线 .Βιβλιοθήκη 八年级(下) 人民教育 数学
八年级数学19.2.1 正比例函数教案
§19．2．1 正比例函数教学目标１．认识正比例函数的意义．２．掌握正比例函数解析式特点．３．理解正比例函数图象性质及特点．４．能利用所学知识解决相关实际问题．教学重点１．理解正比例函数意义及解析式特点．２．掌握正比例函数图象的性质特点．３．能根据要求完成转化，解决问题．教学难点：正比例函数图象性质特点的掌握．教学过程:Ⅰ．提出问题，创设情境一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环．４个月零１周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．１．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？３．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？我们来共同分析：一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：25600÷（30×4+7）≈200（km）若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：y=200x（0≤x≤127）这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即y=200×45=9000（km）以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习．Ⅱ．导入新课首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？１．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．答:１．根据圆的周长公式可得：L=2 r．２．依据密度公式p=mV可得：m=7．8V．３．据题意可知： h=0．5n．４．据题意可知：T=-2t．我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x 的形式一样．一般地，•形如y=•kx•（k•是常数，•k•≠0•）的函数，•叫做正比例函数（proportional func-tion ），其中k 叫做比例系数．我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？ [活动一]画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．１．y=2x ２．y=-2x结论：１．函数y=2x 中自变量x 可以是任意实数．列表表示几组对应值：画出图象如图（1）．２．y=-2x 的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：x -3 -2 -1 0 1 2 3 y642-2-4-6画出图象如图（2）．３．两个图象的共同点：都是经过原点的直线． 不同点：函数y=2x 的图象从左向右呈上升状态，即随着x 的增大y 也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x 的图象从左向右呈下降状态，即随x 增大y 反而减小；•经过第二、四象限．让学生在完成上述练习的基础上总结归纳出正比例函数解析式与图象特征之间的规律：正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线．•当x>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．正是由于正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条直线，•我们可以称它为直线y=kx ． [活动二]经过原点与点（1，k ）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，•怎样画最简单？为什么？经过原点与点（1，k ）的直线是函数y=kx 的图象．画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k ）．因为两点可以确定一条直线．Ⅲ．随堂练习用你认为最简单的方法画出下列函数图象：１．y=32x ２．y=-3xⅣ．课时小结本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考、尝试，知道了正比例函数不同表现形式的转化方法，及图象的简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础．x -3 -2 -1 0 1 2 3y -6 -4 -2 0 2 4 6§19．2．2 一次函数(一)教学目标：1、掌握一次函数解析式的特点及意义2、知道一次函数与正比例函数的关系3、理解一次函数图象特点与解析式的联系规律教学重点：一次函数解析式特点 2.一次函数图象特征与解析式的联系规律 教学难点1、一次函数与正比例函数关系 2、根据已知信息写出一次函数的表达式。
正比例函数课件
正比例函数课件正比例函数课件教学内容1.什么是正比例函数2.正比例函数的表达式3.正比例函数的性质和特点4.正比例函数的图象5.正比例函数与线性函数的区别和联系教学准备1.教材：标准版数学教材2.教具：黑板、白板、彩色粉笔、投影仪3.学具：练习册、计算器4.其他：实例讲解的相关素材教学目标1.理解正比例函数的概念和基本特点2.掌握正比例函数的表达式和图象的绘制方法3.能够解决与正比例函数相关的实际问题4.能够区分正比例函数和线性函数的区别设计说明1.通过具体的实例引入正比例函数的概念，增加学生对知识的兴趣和理解2.结合图象绘制和实际问题求解的应用，帮助学生理解和掌握正比例函数的特点和使用方法3.设计一些练习题和思考题，提高学生解决问题的能力和拓展思维教学过程第一节：什么是正比例函数（15分钟）1.介绍正比例函数的概念和定义2.通过一些具体的例子，引导学生理解正比例函数的概念和特点第二节：正比例函数的表达式（15分钟）1.讲解正比例函数的一般形式：y = kx，其中k为常数2.通过几个例子，让学生认识到k的作用和意义第三节：正比例函数的性质和特点（15分钟）1.讲解正比例函数的性质：图象经过原点，图象是一条直线，斜率为常数2.引导学生理解这些性质，并通过图象展示和实例解析加深记忆第四节：正比例函数的图象（20分钟）1.讲解如何根据已知条件绘制正比例函数的图象2.演示绘制过程，并要求学生进行跟随练习第五节：正比例函数与线性函数的区别和联系（15分钟）1.比较正比例函数和线性函数的共同点和不同点2.引导学生理解两者之间的关系，并通过实例加深印象课后反思本节课通过引入实例、展示图象和实际问题的应用，帮助学生理解和掌握了正比例函数的概念和基本特点。
同时，通过比较正比例函数和线性函数，培养学生的分析问题和解决问题的能力。
在教学过程中，学生参与度较高，效果较好。
但仍有部分学生在绘制图象和解决实际问题方面存在困难，需要在接下来的教学中加强相关训练和巩固。
人教初中数学《正比例函数》教案(高效课堂)2022年人教版数学精品
正比例函数年级八年级课题正比例函数课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.认识正比例函数的意义。
2.掌握正比例函数解析式特点。
3.理解正比例函数图像性质及特点。
4.能利用所学知识解决相关实际问题。
过程方法1.体验数形之间联系，逐步学会利用数形结合思想分析解决有关问题。
2.体会解决问题的多样性。
开展实践能力与创新意识。
情感态度1.结合描点作图，培养学生认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯。
2.通过正比例函数的引入，使学生认识到数学与现实世界密切相关。
同时渗透热爱自然和生活的教育。
教学重点正比例函数的概念教学难点正比例函数的特征教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、情境引入用函数关系式表示以下问题中变量之间的关系。
1、正方形的边长为x，周长为y，写出y关于x的函数关系式。
2、电报收费标准是每个字元，电报费y〔元〕与字数x〔个〕之间的函数关系。
二、探究新知〔一〕出示教材思考(1)圆的周长l随半径r的大小变化而变化；(2)铁的密度为/cm3，铁块的质量m(单位：g)随它的体积V(单位：cm3)的大小变化而变化；(3)每个练习本厚，一些练习本摞在一起的总厚度h(单位：cm)随这些本的本数n的变化而变化;(4)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体温度T(单位：℃)随冷冻时间t(单位：分)的变化而变化；〔二〕观察所列函数关系式，看看有何共同特点？y=4x y=0.1x l=2r m=7.8V h=0.5n T=－2t 〔三〕揭示正比例函数的概念一般地，形如y=kx〔k是常数，k≠0〕的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例函数。
〔四〕揭示正比例函数图象的特征教师给出问题学生观察思考列关系式教师在学生答复后板书学生认真读题思考写出答案，并对六个关系式加以比照。
观察所列关系式，找它们的共同特点，并阐述。
教师引导点拨，可从函数自变量，常量之间的关系考虑。
体会函数概念的实际背景，反映数学与实际的关系通过大量问题，让学生对正比例函数形式有初步的认识。
19.2.1正比例函数的概念
活动一：情境创设
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后， 是否已经过了距始发站1 100 km的南京站？ y=300×2.5=750（km）, 这时列车尚未 到 达 距 始 发 站 1 100km的南京站.
问题思考：
• 请写出下列问题中的函数解析式：
（1）圆的周长l 随半径r的变化而变化．l=2πr
活4.正动三比：例形函成数概y念=kx(k≠0)关键是由哪个量确 定？怎样确定k呢？
由比例系数k，k一确定，正比例函数 就确定了； 只需知道两个变量x、y的一对对应值即可
确定k值．
例2，
若y=(k-1)xk2 是关,于x的正比例函
数，求k的值.
提高练习：
1.如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例 函数，则k满足___k_≠_1___________.
时间t（单位：min）的变化而变化．T=-2t
（1）l = 2π r （2）m = 7.8 V
（3）h = 0.5 n
（4）T = -2 t
（5）y = 250 t
y K x = (常数)
数与自变量的乘积的形式
正比例函数的定义：
一般地，形如 y=kx（k是常数 且k≠0）的函数，叫做正比例函 数，其中 k 叫做比例系数.
（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位： g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．
m=7.8v
（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练 习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随
练习本的本数n的变化而变化．h=0.5n
（4）冷冻一个0°C的物体，使它每分钟下 降2°C，物体温度T（单位：°C）随冷冻
最大值与最小值.
人教版数学八年级下册19.2第1课时正比例函数优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，正比例函数是学生接触到的第一个具有明显线性特征的函数类型，对于培养他们的数学思维与解决实际问题的能力具有重要意义。本教学案例以人教版数学八年级下册19.2第1课时正比例函数为主题，通过设计丰富多样的教学活动，旨在帮助学生理解正比例函数的概念、图像及性质，并能将其应用于解决生活中的实际问题。
在教学正比例函数这一课时，我将通过创设贴近学生生活的情景，激发他们的学习兴趣。例如，可以引入购买商品时的单价与总价关系、速度与时间关系等实例，让学生在具体情境中感知正比例函数的存在。这样既能帮助学生理解正比例函数的定义，又能使他们体会到数学知识在实际生活中的应用。
（二）问题导向
以问题为导向的教学策略，可以引导学生主动探究、积极思考。在教学中，我将设计一系列具有启发性和挑战性的问题，如“如何表示两个变量的正比例关系？”“正比例函数的图像有什么特点？”等。通过这些问题，让学生在解答过程中掌握正比例函数的知识点，培养他们分析问题和解决问题的能力。
4.反思与评价的有机结合
本案例注重学生的反思与评价，引导他们在学习过程中及时总结经验教训，调整学习策略。同时，教师采用多元化的评价方式，关注学生的全面发展。这种反思与评价的有机结合，有助于提高学生的学习效率，增强他们的自信心。
5.丰富的教学内容与过程设计
本案例在教学内容与过程设计方面，充分考虑了学生的认知规律和教学目标。从导入新课、讲授新知、小组讨论、总结归纳到作业小结，各个环节紧密相连，层层递进。这种设计有助于学生系统、全面地掌握正比例函数的知识，提高他们的数学素养。
3.引导学生运用数形结合的思想，将正比例函数的图像与性质相结合，提高他们解决问题的直观想象和逻辑推理能力。
19.2.1正比例函数的概念(教案)
1.语言表达要更加简洁明了，避免使用复杂的术语和概念，让学生更容易理解。
2.课堂氛围要活跃，鼓励学生积极参与，提高他们的学习热情。
3.注重培养学生的数据分析能力，让他们在实际问题中学会运用正比例函数。
关于小组讨论，我觉得可以适当增加一些具有挑战性的问题，让学生在讨论中深入探讨正比例函数的内涵和实际应用。同时，我要关注每个小组的讨论进度，适时给予引导，帮助他们解决问题。
在总结回顾环节，我发现部分学生对正比例函数的知识点掌握不够扎实。因此，我需要在课后加强个别辅导，关注这部分学生的学习情况，确保他们能够跟上教学进度。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正比例函数的定义和性质这两个重点。对于难点部分，比如比例系数k的理解，我会通过实际案例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正比例函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如测量物体质量和重力之间的关系，演示正比例函数的基本原理。
4.培养学生的逻辑推理核心素养，让学生在学习过程中学会运用严密的数学逻辑进行推理，提高思维品质。
5.培养学生的数据分析核心素养，通过对正比例函数实例的分析，学会收集、整理、分析数据，提高数据解读能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-正比例函数的定义：y=kx（k为常数，k≠0），这是本节课的核心内容。教师应重点讲解比例系数k的意义，以及自变量x与因变量y的关系。
(1)如果一辆自行车的速度保持不变，那么它行驶的距离与时间之间的关系可以用正比例函数表示。
(2)当物体的质量与重力的关系遵循正比例函数时，可以通过测量质量来计算重力，反之亦然。
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回答下面的问题：
（1）表中有哪两种量？ 它们是相关联的量吗？
（2）仔细观察，路程是怎样随着时间变化的？
（3）相对应的路程和时间的比分别是多少？5比值是多少？
60 = 60 1
180 = 60 3
300 = 60 5
这里的60 就表示刘邦庆同学步行的速度。
时间（分钟）
例2 星期六，姚为贤同学帮助王老师买红圆珠笔。
3、王老师的体重与身高成正比例吗？为什么？
遇到判断这样两种量能否成正比例的问题， 只要看什么就可以一票否决了？
这堂课你有哪些收获？ 你对自己的表现满意吗？
满意
比较满意
六（3）班的总人数一定，满意的人数和 比较满意的人数成正比例吗？为什么？
你还有什么关于正比例意义的问题要问吗？
1、是不是所有相关联的两种量都能成正比例？ 2、是不是所有成正比例的两种量都是相关联的量？
棋盘山 赵晓敏
大家来上学,哪些同学是走路来的?哪 些同学是坐汽车来的?
1、你们离开家，走得越远，距离紫小就怎么样？
2、你们走的越慢，到学校的时间就怎么样？
3、刘邦庆家住在新门口，王绪浩家住在中阜路2号大院里。 他们每分钟走的米数相同，谁先到学校？
4、姚为贤、吴波分别帮助王老师去买1.6元一枝的红圆珠笔， 姚为贤花了16元钱，吴波花了8元钱。谁买的枝数多？
2
数量（枝） 1 2 3 4 5 …... 总价（元） 1.6 3.2 4.8 6.4 8 …...
观察上表，回答下面的问题：
（1）表中有哪两种量？ 它们是相关联的量吗？
（2）总价是怎样随着枝数的变化而变化的？
（3）相对应的总价和枝数的比分别是多少？5比值是多少？
1.6 = 1.6 1
4.8 = 1.6 3
8 = 1.6 5
这里的1.6就表示红圆珠笔的单价。
例3 1、家到学校的距离是一定的，已行的与未行的 成正比例吗？为什么？
那么我们判断两个量能否成正比例时， 你想提醒大家注意什么？
2、每小时生产的零件个数一定，生产零件总数和 时间成正比例吗？为什么？
那么我们判断两个量能否成正比例时， 最重要的依据是什么？
它们是相关联的量吗？
1、张浩然买《扬子晚报》，数量与总价 2、王老师的体重和身高 3、同样一台织布机，工作时间和工作总量 4、圆的直径和周长
时间（分钟）
例1 早晨7：10，刘邦庆同学走2 在上学的路上。
时间（分） 1 路程（米） 60
2 3 4 5 …... 120 180 240 300 …...
1、张浩然同学买《扬子2 晚报》。（答题纸）
数量（份） 1 2 3 4 5 …... 总价（元） 0.5 1 1.5 2 2.5 …...
观察上表，回答下面的问题： （1）表中有哪两种量？ 它们是相关联的量吗？ （2）总价是怎样随着份数变化而变化的？ （3）写出二组相对应的总价和份数的比，分5别求出比值。
（ 4） 比例尺一定，图上距离与实际距离。
（
）
（ 5） 圆的周长与它的半径。
（）
（ 6） 圆的半径持一定吗？这个比值表示的意义是什么？ （4）表中的这两种量成正比例吗？为什么？
2、判断下面各题中的两种量是否成正比例。（答题纸）
（ 1） 神州6号在轨道上飞行的速度是一定的，
飞行的路程与飞行的时间。
（）
（ 2） 长方形的长是一定的，它的宽与面积。 （ ）
（ 3） 被减数一定，减数与差。
（）