2020-2021年高一数学 分期付款中的有关计算 第十一课时 第三章

2019-2020年高一数学分期付款中的有关计算第十一课时第三章●课题

§3.6.1 分期付款中的有关计算（一）

●教学目标

（一）教学知识点

1.等比数列的通项公式.

2.等比数列的前n项求和公式.

（二）能力训练要求

将等比数列的通项公式和前n项求和公式应用到分期付款中的有关计算中去.

（三）德育渗透目标

1.增强学生的应用意识.

2.提高学生的实际应用能力.

●教学重点

等比数列通项公式和前n项和公式的应用.

●教学难点

利用等比数列有关知识解决一些实际问题.

●教学方法

启发诱导式教学法

●教学过程

Ⅰ.复习回顾

［师］近几天来，我们学习了有关等比数列的哪些知识？

［生］定义式：=q (n≥2,q≠0)

通项公式：a n=a1q n－1(a1,q≠0)

前n项和公式：

S n=(q≠1)，

Ⅱ.讲授新课

［师］这节课我们共同来探究一下它在实际生活中的应用.如今，在社会主义市场经济的调节之下，促销方式越来越灵活，一些商店为了促进商品的销售，便于顾客购买一些售价较高的商品，在付款方式上也很灵活，可以一次性付款，也可以分期付款.

首先我们来了解一下何为分期付款?也就是说，购买商品可以不一次性将款付清，而可以分期将款逐步还清，具体分期付款时，有如下规定：

1.分期付款中规定每期所付款额相同.

2.每月利息按复利计算，是指上月利息要计入下月本金.例如：若月利率为0.8%，款额a元，过1个月增值为a(1+0.8%)=1.008a(元)，再过1个月则又要增值为1.008a(1+0.008)=1.0082a(元)

3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和.

［师］另外，多长时间将款付清，分几次还清，也很灵活，它有多种方案可供选择，下面我们以一种方案为例来了解一下这一种付款方式.

例如，顾客购买一件售价为5000元的商品时，如果采取分期付款，总共分六次，在一年内将款全部付清，每月应付款多少元?

首先，我们来看一看，在商品购买后1年,即货款全部付清时，其商品售价增值为多少？

［生］若按月利率为0.8%计算，在商品购买后1个月时，该商品售价增值为：

5000(1+0.008)=5000×1.008(元)，

由于利息按复利计算，在商品购买后2个月，商品售价增值为：

5000×1.008×(1+0.008)=5000×1.0082(元)，

……

在商品购买12个月(即货款全部付清时)，其售价增值为：

5000×1.00811×(1+0.008)=5000×1.00812(元)

［师］下面，我们来看，在货款全部付清时，各期所付款额的增值情况如何.

假定每期付款x元.

第1期付款(即购买商品后2个月)付款x元，过10个月即到货款全部付清时，则付款连同利息之和为：1.00810x(元)，

第2期付款(即购买商品后4个月)付款x元，过8个月即到款全部付清时，所付款连同利息之和为：1.0088x(元)

［师］依此类推，可得第3，4，5，6期所付的款额到货款全部付清时连同利息的和.

［生］可推得第3，4，5，6期所付的款额到货款全部付清时，连同利息的和依次为：1.0086x(元)，1.0084x(元)，1.0082x(元)，x(元)

［师］如何根据上述结果来求每期所付的款额呢?

根据规定3，可得如下关系式：x+1.0082x+1.0084x+…+1.00810x=5000×1.00812

即：x(1+1.0082+1.0084+…+1.00810)=5000×1.00812

［生］观其特点，可发现上述等式是一个关于x的一次方程，且等号左边括弧是一个首项为1，公比为1.0082的等比数列的前6项的和.由此可得

x·=5000×1.00812，

即x=

1

008

.1)1

008

.1(

008

.1

5000

122

12

--

⨯

⨯

解之得x≈880.8(元)，即每次所付款额为880.8元，6次所付款额共为880.8×6=5285(元)，它比一次性付款多付285元.

Ⅲ.课堂练习

［生］分组对另外两种方案进行练习.

第一组：方案A：分12次付清，即购买后1个月第一次付款，再过1个月第二次付款…购买后12个月第12次付款.

解：设每次付款为x元，则第一次付款到款付清时连同利息为x(1+0.008)11

第二次所付款到款付清时连同利息总和为x(1+0.008)10

……

第三次至第十二次付款到款付清时连同利息分别为：x(1+0.008)9,x(1+0.008)8,x(1+0.008)7,x(1+0.008)6,……,x(1+0.008),x(元)

由此可得x(1+0.008)11+x(1+0.008)10+…+x(1+0.008)+x=5000×(1+0.008)12

即x(1.00811+1.00810+…+1.008+1)

=5000(1+0.008)12,

x=

解之得：x≈438.6(元)，付款总额为438.6×12=5263(元)

第二组：方案B：分3次付清，即购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付清款.

解：设每次付款为x元

则第1、2、3次付款到款付清时连同利息之和为：x(1+0.008)8,x(1+0.008)4,x(元)

由此可得：x(1+0.008)4+x(1+0.008)4+x=5000×(1+0.008)12

即x(1.0088+1.0084+1)=5000×1.00812

x=

1

008

.1)1

008

.1(

008

.1

5000

124

12

--

⨯

≈1775.8(元)

付款总额为1775.8×3=5327(元)

Ⅳ.课时小结

［师］解决实际应用问题时，应先根据题意将实际问题转化为数学问题，即数学建模，然后根据所学有关数学知识求得数学模型的解，最后根据实际情况求得实际问题的解.

Ⅴ.课后作业

（一）熟练解决分期付款问题的基本方法和步骤.