D五两个重要极限
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2、 两个重要极限
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1
x
oC
A
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
1 2
sin
x
1 2
tan
x
故有 sin x x tan x (0 x 2)
显然有
cos x sin x 1 x
(0
x
2
)
第1页/共13页
例 1 计算 lim sin5x .
解
1
1 2
lim(1 2x) x lim(1 2x)2x
x0
x0
e2 .
第9页/共13页
练习. 求
解:
原式 =
lim[(sin
x
cos
x
)
2
]
1 2x
x0
lim(1 sin 2x) 1 sin2x sin2 x 2 x x0
e
第10页/共13页
小结: 两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
第11页/共13页
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. lim sin x __0___ ;
x x
3. lim xsin 1 __0__ ;
x0 x
2.
lim
x
x
sin
1 x
_1___
;
4. lim (1 1)n _e__1_; n n
第12页/共13页
感谢您的欣赏！
第13页/共13页
解：
x0 3 x
s in 5 x
s in 5 x
lim
lim
x0 3x
x0 3 5x
5 sin5x 5 5 lim 1 .
3 5x0 5x 3 3
5
例 2 计算 lim sin 5x .
x0 sin 3x
解：
lim sin 5x lim
sin 5x 5x 5x
Leabharlann Baidu
5
x0 sin 3x
x0 sin 3x 3x
例6. 求
解: 令 t x, 则
lim (1
t
1t )t
lim 1
t
说明
：若利用 lim (1
( x)
(1x)) (x)
e,
则
原式
lim
x
(1
1x ) x
1
e1
第7页/共13页
说明: 此极限也可写为
1
lim (1 z) z e
z0
第8页/共13页
1
例 7 计 算 lim(1 2x) x . x0
3
3x
第2页/共13页
练习： 计算 lim sin3x sin x .
x0
x
解
sin 3x sin x sin 3x sin x
lim
lim lim
x0
x
x0 x
x0 x
31 2
第3页/共13页
例3. 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim
x0
sin x
2.
lim (1
x
1 x
)
x
e
证: 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则
(1
n11)n
(1
1 x
)
x
(1
1n)n1
lim (1
n
n11)
n
lim
n
(1 n11)n1 e
1
1 n1
lim (1
n
1n ) n 1
lim [(1
n
1 n
)n（1
1n）]
e
lim (1
x
1 x
)
x
e
第6页/共13页
x
lim
x0
1 cos
x
1
例4. 求
解: 令 t arcsin x, 则 x sin t ,因此
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
t
第4页/共13页
例5. 求
解:
原式 =
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lxim0sin2x
x 2
2
1 2
12
说明: 计算中注意利用
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证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1
x
oC
A
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
1 2
sin
x
1 2
tan
x
故有 sin x x tan x (0 x 2)
显然有
cos x sin x 1 x
(0
x
2
)
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例 1 计算 lim sin5x .
解
1
1 2
lim(1 2x) x lim(1 2x)2x
x0
x0
e2 .
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练习. 求
解:
原式 =
lim[(sin
x
cos
x
)
2
]
1 2x
x0
lim(1 sin 2x) 1 sin2x sin2 x 2 x x0
e
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小结: 两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
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思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. lim sin x __0___ ;
x x
3. lim xsin 1 __0__ ;
x0 x
2.
lim
x
x
sin
1 x
_1___
;
4. lim (1 1)n _e__1_; n n
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感谢您的欣赏！
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解：
x0 3 x
s in 5 x
s in 5 x
lim
lim
x0 3x
x0 3 5x
5 sin5x 5 5 lim 1 .
3 5x0 5x 3 3
5
例 2 计算 lim sin 5x .
x0 sin 3x
解：
lim sin 5x lim
sin 5x 5x 5x
Leabharlann Baidu
5
x0 sin 3x
x0 sin 3x 3x
例6. 求
解: 令 t x, 则
lim (1
t
1t )t
lim 1
t
说明
：若利用 lim (1
( x)
(1x)) (x)
e,
则
原式
lim
x
(1
1x ) x
1
e1
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说明: 此极限也可写为
1
lim (1 z) z e
z0
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1
例 7 计 算 lim(1 2x) x . x0
3
3x
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练习： 计算 lim sin3x sin x .
x0
x
解
sin 3x sin x sin 3x sin x
lim
lim lim
x0
x
x0 x
x0 x
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例3. 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim
x0
sin x
2.
lim (1
x
1 x
)
x
e
证: 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则
(1
n11)n
(1
1 x
)
x
(1
1n)n1
lim (1
n
n11)
n
lim
n
(1 n11)n1 e
1
1 n1
lim (1
n
1n ) n 1
lim [(1
n
1 n
)n（1
1n）]
e
lim (1
x
1 x
)
x
e
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x
lim
x0
1 cos
x
1
例4. 求
解: 令 t arcsin x, 则 x sin t ,因此
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
t
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例5. 求
解:
原式 =
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lxim0sin2x
x 2
2
1 2
12
说明: 计算中注意利用
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