多元函数积分学检测题

2010级《多元函数积分学》检测题

班级_____________________ 学号_______ 姓名________________ 成绩________ 一、选择题( 15分

)

1

40

0000

2222222212(,),(cos ,sin )(

).

()(,);()(,);()(,);

()(,).

:,0:,0,0,0,().

(x y

f x y d f r r rdr A f x y dy B f x y dy C f x y dx D f x y dx V x y z R z V x y z R x y z πθθθ=++≤≥++≤≥≥≥⎰⎰⎰⎰⎰

⎰

⎰

⎰

⎰⎰

1.设为连续函数则

2.设空间区域和则1

2

1

2

1

2

1

2

2222222222)4;

()4;

()

4;

()

4.

3.(0)().

()4;

()2;()2(2);()(2).

4.[()]sin ()cos V V V V V V V V x L

A xdV xdV

B ydV ydV

C zdV zdV

D xyzdV xyzdV x y ax a x y z a A a B a C a D a f x e ydx f x ydy ππ====+=>++=----⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰圆柱面位于球面内的面积是设(

)2222333

555

5

()(0)0()().

();();()1;()1.

2222

5..

1212()4;()4;()

;().5

5

x x x x x x x x S

f x f f x e e e e e e e e A B C D S x y z R x dydz y dzdx z dxdy A R B R C R D R ππππ----==--++--++=++=--

⎰⎰Ò与路径无关，且有一阶连续导数，，则设为球面的内侧，则曲面积分二、填空题( 15分 ) 2222

112

2222

2221.:(,)________________________________.

2.(),()(),()_________________.

3.1,,(234)________________.43

4.y x y z t L dy f x y dx f u F t f x y z dxdydz F t y x L a xy x y ds L --++≤='=

++=+=++=⎰⎰

⎰⎰⎰

⎰Ñ交换积分次序设连续则设为椭圆其周长为则设为一22

222,,,-________________.

25.11,(-)(-)()____________.

L

S

L xdy ydx

x y S x y z x y z x y dydz y z dzdx z x dxdy =+++=++=++-=⎰

⎰⎰Ñ条不过原点的光滑闭曲线且原点位于内部其走向为逆时针方向则曲线积分设为平面位于球面内的上侧则曲面积分

三、（8分）设l 是过原点，方向为(,,)αβγ（其中222

1αβγ++=）的直线，均匀椭球

222

2221x y z a b c

++≤（其中0c b a <<<，密度为1）绕l 旋转. （1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值.

四、( 8分

)222 1. 2.V z x y z V V +=设是由所围成的立体,求：的体积；的表面积.

22222(sin ),(0)(,0)(,0).

L

x x y dx xy dy L x y a a A a B a -++=>-⎰五、(8分)计算其中为上半圆周从点到点

的弧段

六、( 8分 )220.L xdx aydy

L a x y

-=+⎰Ñ已知是平面上任意一条简单闭曲线，问为何值时曲线积分

2,(,),0,(,)(,),:,(,)(,)0.

L

D f x y t f tx ty t f x y D L yf x y dx xf x y dy -∀>=-=⎰Ñ七、(8分)设在上半平面内有连续偏函数且对都有证明对内任意分段光滑的有向简单闭曲线有

(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)(,,),{,,},,,,?

A B C M a b c F yz zx xy a b c F =r r

八、(10分)设质点从原点出发沿直线运动到以为顶点的三角形内某

一点在此过程中受到力的作用问取何值时对质点作功最大

九、( 10分

)22222计算是球面的下半部分的上侧.S

S x y z a ++=

22

22()(),()()(,),(0.9),130?

x y h t t z h t h t cm cm +=-

十、(10分)设有一高度为为时间的雪堆在融化过程中其侧面满足方程长度单位为时间为小时已知体积减少的速度与侧面面积成正比比例系数问高度为的雪堆全部融化需多少小时