柱锥台球的表面积和体积习题课

B
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C
例 3.如图是一个奖杯的三视图. 求这个奖杯 的体积. （精确到 0.01 cm3） 解：由三视图可以得到奖杯的结构，底座是 一个正四棱台， 杯身是一个长方体， 顶部是球 体. 由
1 V正四棱台 5 （ 152 15 11 112） 851.667， 3 4 V长方体 6 8 8 864， V球 33 113.097, 3
R lr l r 2 2 r lr l r
②
lr lr 由②得：R2＝r2· 代入①得：r2＋rl＝8r2· ， lr lr
得：l＝3r∴
S锥侧 rl l 2 3 S底 r r
∴圆锥侧面积与底面积之比为 3∶1. 例 2 如图（单位：cm），求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的表面 积和体积. 解：由题意知, 所求旋转体的表面积由三部分组成： A 2 D 圆台下底面、侧面和一半球面. S 半球=8π ， S 圆台侧=35π ，S 圆台底=25π. 故所求几何体的表面积为 68π .
所以，这个奖杯的体积为 V V正四棱台 V长方体 V球 1828.76 (cm3 ) . 例 4 如下的三个图中， 上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它 的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）． （Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该 多面体的俯视图； （Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
1 由 V圆台 [ 22 （ 22） （ 52） 52 ] 52 ， 3 4 1 16 V半球 23 . 3 2 3 16 140 所以旋转体的体积为 V圆台 V半球 52 (cm3 ) . 3 3
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柱锥台球的表面积和体积习题课 教学目标：了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公 式）；会求一些几何体的表面积和体积 教学重难点：了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式，会求一些 简单几何体的表面积和体积，体会积分思想在计算表面积和体积的运用． 例 1： 已知圆锥的全面积是它内切球表面积的 2 倍，求圆锥侧面积与底面积之比. 解：过圆锥的轴作截面截圆锥和内切球分别得轴截面 SAB 和球的大圆⊙O， 且⊙O 为△ SAB 的内切圆. 设圆锥底面半径为 r,母线长为 l;内切圆半径为 R，则 S 锥全＝πr2＋πrl，S 球＝4πR2，∴r2＋rl＝8R2 ① 又∵△SOE∽△SAO1 ∴
1 1Baidu Nhomakorabea284 Ⅱ） 所求多面体的体积 V V长方体 V正三棱锥 4 4 6 2 2 2 cm3 3 2 3
例 5： 从一个正方体中， 如图那样截去 4 个三棱锥后， 得到一个正三棱锥 A—BCD， 求它的体积是正方体体积的几分之几？ 分析：在准确识图的基础上，求出所截得的每个三棱锥 的体积和正三棱锥 A—BCD 的体积即可. 解：设正方体体积为 Sh,则每个截去的三棱锥的体积 1 1 1 为 3 · Sh ＝ 2 6 Sh. ∵三棱锥 A—BCD 的体积为 1 1 Sh－4· 6 Sh＝3 Sh. 1 ∴正三棱锥 A—BCD 的体积是正方体体积的3 . 练习： 1. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱 AA1 = 8. 若 AA1 B1 B 水平放置时，液面恰好过 AC, BC, A 1C 1, B 1C 1 的中点，则 当底面 ABC 水平放置时，液面的高为多少？答案：6 2.已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形， 正视图 （或 称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视 图 （或称左视图） 是一个底边长为6、 高为4的等腰三角形． （1）求该几何体的体积V； （2）求该几何体的侧面积S。 【解析】本小题只要考查三视图、几何体体积、等腰三角 形性质、三角形面积等基础知识，以及空间想象能力、运 算求解能力 由题设可知，几何体是一个高为 4 的四棱锥，其底面是长为、宽分别为 8
1 1 故几何体的侧面面积为： S 2 ( 8 5 6 4 2 ) 40 24 2 ． 2 2
和 6 的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为 8，高为 h1 的等腰三角形，左、 右侧面均为底边长为 8，高为 h2 的等腰三角形，如解答图 1。
1 1 （1）几何体的体积为 V S矩形 h 6 8 4 64 。 3 3
（2）正侧面及相对侧面底边上的高为： h1 42 32 5 。 左、右侧面的底边上的高为： h2 42 42 4 2 。