2019研究生数学考试数一真题

2019年考研数学—真题及答案解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。（1）当时，若与是同阶无穷小，则0x →tan x x -k x k =（A ）1.（B ）2.（C ）3.

（D ）4.

（2）设函数则是的

(),0,

ln ,0,

x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩0x =()f x A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点.

（3）设是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是

{}n u A. B.1m

n

n u n

=∑()

1

11m

n

n n

u =-∑C. D.111m

n n n u u =+⎛⎫

- ⎪

⎝

⎭∑()

22

11

m

n n n u u +=-∑（4）设函数.如果对上半平面内的任意有向光滑封闭曲线都有()2,x

Q x y y

=

()0y >C ，那么函数可取为

()(),,0C

P x y dx Q x y dy +=⎰A (),P x y A..

B..2

3x y y

-231x y y

-C.. D..11x y

-1

x y

-

（5）设是3阶实对称矩阵，是3

阶单位矩阵。若，且，则二次型

A E 22A A E +=4A =的规范形为

T x Ax A.. B.222123y y y ++22212

3y y y +-C. D.22212

3y y y --22212

3y y y ---（6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，他们的方程

()

1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++=组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为，则

,A A

n g

A. B.()()

2,3r A r A ==()()

2,2r A r A ==C.

D.()()1,2r A r A ==()()

1,1

r A r A ==（7）设，为随机事件，则的充分必要条件是A B ()()P A P B =

A. B. ()()()P A B P A P B =+ ()()()P AB P A P B =C.

D.()()

P AB P B A =()()

P AB P AB

=（8）设随机变量与相互独立，且都服从正态分布，则X Y ()2,N μσ{}

1P X Y -

μ2σμ2σC.与都有关

. D.与都无关.

2,μσ2,μσ二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

设函数可导，，则

()9()f u ()sin sin z f y x xy =-+11cos cos z z

x x y y

∂∂⋅+⋅=∂∂（10）微分方程满足条件的特解

22220yy y --=()01y =y =（11）

幂级数在内的和函数()()012!

n

n

n x n ∞

=-∑()0,+∞()S x =设为曲面的上侧，则()12∑()222

440x y z z ++=≥z

=

设为三阶矩阵，若线性无关，且。则线性方程组

()13()123,,A ααα=12,αα312=2ααα-+的通解为

0Ax =设随机变量的概率密度为为的分布函数，为的数学()14X (),02,

2

0,x

x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，

()F x X EX x 期望，则(){

}1P F X EX >-=

三、解答题：15——23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（本题满分10分）设函数是微分方程满足条件的特解.

()15()y x 22

x y xy e -

'+=()00y = 求()1()

y x 求曲线的凹凸区间及拐点

()2()y y x =本题满分10分)设为实数，函数在点处的方向导数中，沿方向

()16,a b 222z ax by =++()3,4的方向导数最大，最大值为.34l i j =--10 求；

()1,a b

求曲面的面积；

()2()2220z ax by z =++≥(本题满分10分)，求曲线与轴之间图形的面积

()17()sin 0y e x x x =-≥x （18）（本题满分10分）设()

1

01,2,3...n a x n ==⎰（1）证明：单调递减，且{}n a ()21

2,3 (2)

n n n a a n n --=

⋅=+（2）1

lim

n

n n a a →∞-（19）（本题满分10分）设是由锥面与平面围成的锥体，

Ω()()2

2

21(01)x y z z z +---≤≤0z <求的行心坐标。

Ω（20）（本题满分11分）已知向量组

（Ⅰ），（Ⅱ），若向量组12321111,0,2443a ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦12321011,2,3313a a a βββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦

（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，求的取值，并将用线性表示

α3β123,ααα