集合的概念、集合之间的基本关系

3.含有三个实数的集合可表示为集合 b {a，，，也可表示为 1} {a 2，a＋b,0}，则 a 1 a 2012＋b2012＝________ b 【解析】因为{a， ，＝ 1} {a 2，a＋b,0}， a b 所以0 {a， ，，因而 1} a 0，故b＝0. a 2 因此由a,0,1＝{a ，a,0}知a＝－1，
示的集合的元素共有 ______ 个．
【解析】因为 N ＝ {i ，－ 1 ，－ i,2} ，而阴 影部分所示的集合的元素是 M 与 N 的公共 元素，有－1和2两个元素，即阴影部分所 示的集合的元素共有2个． 答案：2 选题感悟： 本题主要考查对虚数单位 i 的 计算、集合的表示方法 (韦恩图 )，体现了 集合的几种表示方法之间的转化．
集合的概念
【例1】 用列举法表示下列集合A：
1 A＝{( x，y ) | x＋y＝2，x N，y N}；
6 2 A＝{x | x N， Z}． 3 x
【解析】 1 A＝{( x，y ) | x＋y＝2，x N，y N} ＝{ 0, 2 ， 1,1， 2,0 }； 3 x是6的约数，所以 2 由题意可知，－ 6 A＝{x | x Байду номын сангаас N， Z}＝0,1, 2, 4,5,6,9． 3 x
本题主要考查集合的表示 方法：列举法、描述法及其转 化，注意集合中元素的形式及 元素符合的特征性质．
【变式练习1】 有下列说法： ①所有著名的数学家可以组成一个集合； ②0与0的意义相同； 1 ③集合A＝{x | x＝ ，n N*}是有限集； n ④方程x 2＋2x＋1＝0的解集中只有一个元素． 其中正确的有_____________
【解析】①中的“著名的数学家”著 名的程度无法界定，所以不能构成集 合；②中的 0 是一个数，不是集合， 而{0}表示含有一个元素0的集合，所 以0与{0}的意义不同；③中的集合是 无限集；④中的方程有两个相等的解 x＝1，所以填④.
集合元素的特征
【例2】 设a、b R，A＝{1，a＋b，a}， b B＝{0， ，b}． a 若A＝B，求a、b的值．
【解析】因为相等的集合元素完全相同， 又a 0，所以a＋b b，所以a＋b＝0，则 b a＝－b，故 ＝－1，所以a＝－1，从而b＝1. a 所以符合题意的a、b的值分别为－1、 1.
本题考查集合相等的概念和集合 中元素的互异性特征．对于含有参数 的元素的集合的相等问题，除了对元 素之间的正确分类外，还要注意元素 的互异性特点．一般来讲，首先考虑 元素间的分类，求出元素可能的取值， 再采取排除法确定元素的值．
灌云县陡沟高级中学 李成艳
考纲泛读
①理解集合、子集， 集合交、并、补的概 念及集合运算的性 质． ②了解空集的概念和 意义． ③掌握集合的相关术 语和符号．
高考展望 2012年的高考会在继承 与创新的命题思想下把握好 本章内容的命题，一是保持 以基本概念和运算为主，以 命题的真假判断为切入点， 在知识的选择上关注相关性 和逻辑性，在背景的选择上 更关注教材和课程；
考纲泛读 ④会正确翻译集合语言，掌 握集合与方程、集合与函数 的联系，灵活运用集合知识 解决某些数学问题． ⑤理解逻辑联结词的含义． ⑥掌握四种命题的关系． ⑦理解充分条件、必要条件 、充要条件的意义． ⑧了解全称命题、存在性命 题及反证法思想.
高考展望 二是作为高中数学的 基础，本章知识的考 查会更加体现基础性 和工具性的作用；三 是在试题立意上会选 择不等式、函数和方 程进行知识的包装， 来考查学生最常用的 “数形结合”“分类 讨论”等基本的数学 思想和方法.
2 当a －1时，集合P＝{x | －1 x a}．
由于Q P，所以a 2(等号不成立)； 当a －1时，集合P＝{x | a x －1}， 不合题意． 所以，当Q P时，a (2，＋)．
1. 下 列 集 合 中 ： ① {0} ； ② {(x ， y)|x2 ＋ y2 ＝ 0} ；③ {x|x2 ＋ 3x ＋ 2 ＝ 0 ， x∈N} ； ④ {x∈Z|1 ＜ |x|≤3} ， 表 示 ③ 空集的有______.
(2) 熟悉几种重要集合所表示的意义： 集合{x|f(x)＝0}表示方程f(x)＝0的解集；集 合 {x|y＝ f(x)} 表示函数 y ＝ f(x) 的定义域；集 合 {y|y＝ f(x)} 表示函数 y ＝ f(x) 的值域；集合 {(x，y)|y＝f(x)}表示函数y＝f(x)图象上的点 构成的解集，即表示函数y＝f(x)的图象． (3) 在解决子集、真子集等问题时，不 要忘了空集．
3 ③当a － 时，B＝{x | x －a－3或x a}． 2 因为A B，所以－a－3 －4或a －8(舍去)， 3 解得－ a 1. 2 综上，当A B时，实数a的取值范围是(－4,1)．
选题感悟：集合的知识常与其他知识交 汇，重点考查运用集合的观点解决问题 的能力．
1 5.已知集合M＝{x | x＝m＋ ，m Z}， 6 n 1 N＝{x | x＝ － ，n Z}， 2 3 p 1 P＝{x | x＝ ＋ ，p Z}， 2 6 试确定集合M 、N、P之间满足的关系．
1 【解析】M＝{x | x＝m＋ ，m Z}＝ 6 6m 1 3 2m 1 {x | x＝ ，m Z}＝{x | x＝ ，m Z} 6 6 n 1 3n 2 N＝{x | x＝ － ，n Z}＝{x | x＝ ，n Z}； 2 3 6 p 1 3p 1 P＝{x | x＝ ＋ ，p Z}＝{x | x＝ ，p Z} 2 6 6 3n 2 ＝{x | x＝ ，n Z}＝N . 6 所以M N＝P.
答案：－1<a≤0 选题感悟： 区间与集合是有区别的， 主要是区间左端点必须小于右端点； 借助数轴表示数集，且能够对端点为 整数和不为整数两种情况进行讨论， 这些能力都是学生必须具备的能力．
2． (2010·泰州中学模拟卷) 已知全集U＝R，i
2 1 1 i 是虚数单位，集合M＝Z和N＝{i，i 2，， } i i 的关系韦恩 Venn 图如图所示，则阴影部分所
当讨论S P的关系时，注意是 否有S＝的情形，防止产生漏解．
【变式练习3】 xa 记关于x的不等式 0的解集为P， x 1 不等式 | x－1| 1的解集为Q.
1 若P Q，求实数a的取值； 2 若Q P，求实数a的取值范围．
【解析】 1 集合Q＝{x | 0 x 2}． 因为P Q，只有当P为空集时成立， 所以a＝－1.
3． (2010·南通市期末卷) 已知集合A＝ { y | y＝－2 x，x 2,3}，B＝{x | x 2＋3x －a 2－3a 0}．若A B，求实数a的取 值范围．
【解析】由题意有A＝－ [ 8，－4]， B＝{x | ( x－a)( x＋a＋3) 0}． 3 3 ①当a＝－ 时，B＝{x | x R，x － }， 2 2 所以A B恒成立； 3 ②当a － 时，B＝{x | x a或x －a－3}． 2 因为A B，所以a －4或－a－3 －8， 3 解得a －4或a 5(舍去)，所以－4 a － ； 2
2.若集合 A＝ {x|x2 ＋2ax＋1＝0}的子 集只有一个，则实数a的取值范围为 {a|－1<a<1} ________________.
【解析】因为集合A的子集中只有一个， 所以A＝，＝4a 2－4 0，解得－1 a 1，所以a的取值集合为{a | －1 a 1}．
【例3】 已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0，x∈R}， S ＝ {x|ax ＋ 1 ＝ 0 ， x∈R} ，满足 S P ， 求实数a的取值组成的集合．
【解析】P＝{－3, 2}， 当a＝0时，S＝，满足S P， 即a＝0适合题意； 1 当a 0时，S＝{－ }，要满足S P， a 1 1 1 1 则有－ ＝－3或－ ＝2，解得a＝ 或－ . a a 3 2 1 1 所以所求集合为{0，，－ }． 3 2
【变式练习2】 已知集合 A ＝ {a ＋ 2 ， (a ＋ 1)2 ， a2 ＋ 3a ＋3}．若1∈A，求实数a的值． 【解析】若a＋2＝1，则a＝－1； 若(a＋1)2＝1，则a＝－2或0； 若a2＋3a＋3＝1，则a＝－2或－1. 当a＝－1或－2时，不符合题意，所 以a＝0.
集合间的基本关系
所以a 2012＋b 2012＝1.
4.设集合A＝{x | －2 x 5}， B＝{x | m＋1 x 2m－1}． 若B A，求实数m的取值范围．
【解析】当B＝时，B A，只需m＋1 2m－1， 即m 2. m 1 2m 1 当B 时，B A，只需 m 1 2 , 2m 1 5 解得2 m 3. 综上，m的取值范围为(－， 3]．
本节内容主要考查对集合基础知识 的理解和应用，主要知识有集合中元素 的性质(确定性、互异性、无序性)，集 合的表示方法，元素与集合、集合与集 合的关系，其中集合中元素的互异性、 描述法表示集合以及空集是任何集合的 子集是常考知识点．
(1)集合中元素的互异性：集合中元素 的三性中互异性对解题的影响最大，特别 是带有字母参数的集合，实际上就隐含着 对字母参数的一些要求．在解题时也可以 先确定字母参数的范围后，再具体解决问 题．如已知集合 A ＝ {x ， xy} ，求实数 x ， y 满足的条件．就是考查集合中元素的互异 性，即x≠xy，解得x≠0且y≠1.
1．(2010·徐州信息卷)已知a≤1时，集合[a,2－a] 中有且只有3个整数，则a的取值范围是 __________．
【解析】因为 a≤1 ，所以 2 － a≥1 ，所以 1 必在集合 中，若区间端点均为整数，则 a ＝ 0 ，集合中有 0,1,2 三个整数，所以 a ＝ 0 适合题意；若区间端点 不为整数，则区间长度2<2－ 2a<4 ，解得－1<a<0 ， 此时，集合中有0,1,2三个整数，－1<a<0适合题意， 综上，a的取值范围是－1<a≤0.