高中数学必修五 简单的线性规划问题

在B点取得最小值3.
线性目 标函数
线性约 束条件
x 4 y 3
设z=2x+y,求满足 3x 5 y 25
最优解
x 1
任何一个满足
时,求z的最大值和最小值.
不等式组的 （x,y）
线性规 划问题
可行域 所有的 可行解
有关概念
如果两个变量x，y 满足一组一次不等
式，求这两个变量的一个线性函数的最大 值或最小值，那么我们称这个线性函数为 目标函数。称一次不等式组为约束条件， 像这样的问题叫作二元线性规划问题。满 足线性约束条件的解（x，y）称为可行解。 所有可行解组成的集合称为可行域。使目 标函数取得最大值或最小值的可行解称为 这个问题的最优解。
x+y-1=0
20
x-y 0 1.画出 x y-1 0的区域
y10 y
y-x=0
2.画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
5
3.根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性，
1
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
O1
x
y+1=0
B(-1,-1) -1
A(2,-1) 5
x+y-1=0
19
x-y 0 1.画出 x y-1 0的区域
y10 y
y-x=0
2.画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
5
3.根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性，
1
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
O1
x
y+1=0
B(-1,-1) -1
A(2,-1) 5
A(2,-1) 5
x+y-1=0
12
x-y 0 1.画出 x y-1 0的区域
y10 y
y-x=0
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
5
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性，
1
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
O1
x
y+1=0
B(-1,-1) -1
x+y-1=0
22
x-y 0 1.画出 x y-1 0的区域
y10 y
y-x=0
2.画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
5
3.根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性，
1
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
O1
x
y+1=0
B(-1,-1) -1
A(2,-1) 5
Y
结论 : 形如2x + y = z(z ≠0) 的直线与2x + y = 0平行.
o
x
把上面问题综合起来:
设z=2x+y,求满足
x 4 y 3 3x 5y 25 x 1
时,求z的最大值和最小值.
解：
y
5
O
x 4 y 3 1.先作出3x 5 y 25
x 1
A: (5, 2) B: (1, 1)
A(2,-1) 5
x+y-1=0
15
y
y-x=0
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
5
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性，
1
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
O1
x
y+1=0
B(-1,-1) -1
A(2,-1) 5
Zmax=2x+y=2x2+(-1)=3
x
A(2,-1) 5
x+y-1=0
11
x-y 0 1.画出 x y-1 0的区域
y10 y
y-x=0
2.画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
5
3.根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性，
1
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
O1
x
y+1=0
B(-1,-1) -1
x+y-1=0
17
x-y 0 1.画出 x y-1 0的区域
y10 y
y-x=0
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
5
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性，
1
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
O1
x
Biblioteka Baidu
y+1=0
B(-1,-1) -1
A(2,-1) 5
通过本节课,你学会了什么?
解线性规划问题的步骤: （1）画：画出可行域； （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线； （3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
值最大;经过点 B(1,1)的直线所对 应的z值最小.
Zmax 2 5 2 12, Zmin 2 1 1 3
法2：
分别联立方程，将A、B、C的坐标求出来： A(5，2)，B(1，1)，C(1，4.4)
将A(5，2)代入z=2x+y得： z=12 将B(1，1)代入z=2x+y得： z=3 将C(1，4.4)代入z=2x+y得：z=6.4 综上所述: z=2x+y在A点取得最大值12；
x+y-1=0
18
x-y 0 1.画出 x y-1 0的区域
y10 y
y-x=0
2.画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
5
3.根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性，
1
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
O1
x
y+1=0
B(-1,-1) -1
A(2,-1) 5
1
O1
x
y+1=0
B(-1,-1) -1
A(2,-1) 5
x+y-1=0
10
x-y 0 1.画出 x y-1 0的区域
y10 y
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
5
3、根据b的正负值判断向上向下
平移时Z的增减性，
1
y+1=0
O1
B(-1,-1) -1
y-x=0
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
C C: (1, 4.4)
所 表 示 的 区 域. 2.作直线l0 : 2x y 0
.
x-4y+3=0
3.作一组与直线l0平行的 直线l : 2x + y = z, z ∈ R
A B
直线L越往右平 移,z随之增大.
1
x 所以经过点A(5,2)
5
3x+5y-25=0 的直线所对应的z
x=1
2x y 0
A(2,-1) 5
x+y-1=0
14
x-y 0 1.画出 x y-1 0的区域
y10 y
y-x=0
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
5
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性，
1
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
O1
x
y+1=0
B(-1,-1) -1
Zmin=2x+y=2x(-1)+(-1)=-3
x+y-1=0
23
例题:
（2）已知x,y满足约束条件
x-2y 7 0 4x 3y 12 0 x 2 y 3 0 求z=4x-3y的最大值与最小值。
X-2y+7=0
P(-3,-1)
4x-3y-12=0
x+2y-3=0
变式
（2）已知
y x 1 x - 5y 3 5x 3y 15
例题
(1)已知 x y 0 x y1 0 y10
求z=2x+y的最大值和最小值。
9
x-y 0 1.画出 x y-1 0的区域
y10 y
y-x=0
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
5
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
3、根据b的正负值判断向上向下
平移时Z的增减性，
A(2,-1) 5
x+y-1=0
13
x-y 0 1.画出 x y-1 0的区域
y10 y
y-x=0
2.画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
5
3.根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性，
1
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
O1
x
y+1=0
B(-1,-1) -1
导入新课
x 4y 3
作出下列不等式组所表示的平面区域 y
3x 5y
25
A: (5, 2) B: (1, 1)
C C: (1, 4.4)
5
x 1
x-4y+3=0
A B
O1
x
5
3x+5y-25=0
x=1 问题：z=2x+y 有无最大（小）值？
为此，我们先来讨论当点(x,y)在整个坐标平面变 化时，z=2x+y值的变化规律。在同一坐标系上作出下列 直线: 2x+y=-3;2x+y=0;2x+y=1;2x+y=4;2x+y=7
x+y-1=0
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x-y 0 1.画出 x y-1 0的区域
y10 y
y-x=0
2.画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
5
3.根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性，
1
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
O1
x
y+1=0
B(-1,-1) -1
A(2,-1) 5
x+y-1=0
16
x-y 0 1.画出 x y-1 0的区域
y10 y
y-x=0
2、画出Z=2x+y对应的 方程0=2x+y的图像
5
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性，
1
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
O1
x
y+1=0
B(-1,-1) -1
A(2,-1) 5
求z=3x+5y的最大值和最小值。
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5x+3y=15 y
y=x+1
5
B(3/2,5/2)
1
O1
-1
5
A(-2,-1)
Zmax 17; Zmin 11
X-5y=3 x
27
两个结论：
1、线性目标函数的最大（小）值一般 在可行域的顶点处取得，也可能在边界 处取得。
2、求线性目标函数的最优解，要注意 分析线性目标函数所表示的几何意义 （y的系数正负）。