立体几何好题及答案

A 1

C

B A

B 1

C 1

D 1

D

O 高三数学·单元测试卷(九)

第九单元 [简单几何体]，交角与距离

(时量:120分钟 150分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．

1．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有

A ．18对

B ．24对

C ．30对

D ．36对

2．．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为

A ．π28

B ．π8

C ．π24

D ．π4

3．设三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA ＝QC 1，则四棱锥B －APQC 的体积为

A ．V

6

B ．V

4

C ．V

3

D ．V

2

4．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为

A ．

3

2

B ．

3

3 C ．3

4

D ．32

5．设α、β、γ为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是

A ．l m l ⊥=⋂⊥,,βαβα

B ．γβγαγα⊥⊥=⋂,,m

C ．αγβγα⊥⊥⊥m ,,

D ．αβα⊥⊥

⊥m n n ,,

6．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为 A ．12 B ．2

4

C ．22

D ．32

7．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有

A ．3个

B ．4个

C ．6个

D ．7个

8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、C1D1的中点，则直线A1B1与平面A1ECF所成角的正弦为

A．

6

3

B．

3

3

C ．

6

6

D．

2

2

9．在空间直角坐标系O—x yz中，有一个平面多边形，它在x Oy平面的正射影的面积为8，在yOz平面和zO x平面的正射影的面积都为6，则这个多边形的面积为

A．246B．46C．234D．34

10．将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为

A．

36

2

3+

B．2＋

36

2

C．4＋

36

2

D．

3

6 2

3

4+

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在横线上．

11．正三棱锥P－ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三

棱锥的侧棱长为23，则正三棱锥的底面边长是_____________ ．

12．如图，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°且PA＝AB＝BC＝a，

则异面直线PB与AC所成角的正切值等于________．

13．已知球面上A、B两点间的球面距离是1，过这两点的球面半径的

夹角为60°，则这个球的表面积与球的体积之比是．

14．下面是关于三棱锥的四个命题：

①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．

②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．

③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．

④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．

其中，真命题的编号是______________（写出所有真命题的编号）．

15．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，则

①四边形BFD1E一定是平行四边形

②四边形BFD1E有可能是正方形

③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形

④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D

以上结论正确的为（写出所有正确结论的编号）．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本题满分l2分)

在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，

侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．

D C

V

（Ⅰ）证明AB ⊥平面VAD ．

（Ⅱ）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小． 17．（本题满分12分）

如图1，已知ABCD 是上、下底边长分别是2和6，高为3的等腰梯形．将它沿对称轴OO 1折成直二面角，如图2．

（Ⅰ）证明AC ⊥BO 1；

（Ⅱ）求二面角O －AC －O 1的大小．

18．（本题满分14分）

如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，BC ＝2． （1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；

（2）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；

（3）在BC 边上是否存在一点G ，使得D 点到平面PAG 的距离为1，若存在，求出BG

A

B

O

C

O 1

D