2019年北京中考数学满分必刷100道压轴题归类(四)【圆综合题】(PDF 含答案)

∴四边形 AOHD 为矩形， ADH 90 ，
∴ DH AO r ．
∵ BE r ， 2
∵ BE∥DH ，
∴ BE DH ． 2
∴△CBE∽△CDH ，
∴ CB BE 1 ． CD DH 2
5
3．海淀一模．如图， AB 是 O 的直径，弦 EF AB 于点 C ，过点 F 作 O 的切线交 AB 的延长线于点 D . （1）已知 A ，求 D 的大小（用含 的式子表示）； （2）取 BE 的中点 M ，连接 MF ，请补全图形；若 A 30 ， MF 7 ，求 O 的半径.
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9.大兴一模.（1）AB 与⊙O 的位置关系是相切·····················································1 分
证明：如图，连接 OC．
OA OB ，C 为 AB 的中点，
OC AB ． ∴ AB 是⊙O 的切线．············································································· 2 分 （2） ED 是直径，
=，
OC r 5
∴r=5， ∴OH=5﹣2=3， ∴由勾股定理可知：CH=4，∴AH=AB﹣HB=10﹣2=8．
…………………4 分
在 Rt△AHC 中，∠CHA=90°，∴由勾股定理可知：AC= 4 5 ．…………………5 分
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9.大兴一模.已知：如图，在△ OAB 中， OA OB ，⊙O 经过 AB 的中点 C ，与 OB 交于点 D,且与 BO 的延长 线交于点 E，连接 EC，CD ． （1）试判断 AB 与⊙O 的位置关系，并加以证明； （2）若 tan E 1 ，⊙O 的半径为 3，求 OA 的长． 2
（2）∵AB=AC
∴∠ABC = ∠C AE⊥BC,
∴E 是 BC 中点 ∴EC=BE=3
∵cosC= 2 = EC 5 AC
∴AC= 5 EC= 15 22
…………………………………4′
∵OM∥ BC，∠AOM =∠ABE
∴△AOM∽△ABE∴ OM AO BE AB
又∠ABC = ∠C ∴∠AOM =∠C
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5.石景山一模．（1）证明：连接 OE 交 DF 于点 H ， ∵ EF 是⊙ O 的切线， OE 是⊙ O 的半径， ∴ OE ⊥ EF . ∴ F 1 90°. ∵ FD ⊥ OC ， ∴ 3 2 90 . ∵ 1 2 ， ∴ F 3 . ………………1 分 ∵ CBE 1 3 ， 2 ∴ CBE 1 F . ………………2 分 2
（2）图形如图所示.连接 OM .
∵ AB 为 O 的直径，
∴ O 为 AB 中点， AEB 90 ． ∵ M 为 BE 的中点，
∴ OM∥AE ， OM = 1 AE . ………………3 分 2
∵ A 30 ，
∴ MOB A 30 ．
∵ DOF 2A 60 ，
∴ MOF 90 .
………………4 分
∴ OAD 90 ．
∵ DH OC 于点 H ，
∴ OHD 90 ．
∵在△OBC 中， OB OC ， BOC 30 ，
∵ ACB 30 ，
∴ OCB 180 BOC 75 ． 2
∴ OCA OCB ACB 45 ．
∵ OA OC ， ∴ OAC OCE 45 ，
∴ AOC 180 2OCA 90 ，
点， AD 与⊙ O 相切，切点为 A ．
（1）求点 B 到半径 OC 的距离（用含 r 的式子表示）．
（2）作
DH
OC
于点
H
，求
ADH
的度数及
CB CD
的值．
4
2.西城一模.【解析】（1）如图 4 ，作 BE OC 于点 E ．
∵在⊙ O 的内接△ABC 中， BAC 15 ，
∴ BOC 2BAC 30 ．
6
3．海淀一模解：（1）连接 OE ， OF ．
∵ EF⊥AB ， AB 是 O 的直径，
∴∠DOF ∠DOE ． ∵∠DOE 2∠A ，∠A ， ∴∠DOF 2 ． ………………1 分
∵ FD 为 O 的切线，
∴ OF⊥FD . ∴∠OFD 90 . ∴∠D+∠DOF 90 . D 90 2 ． ………………2 分
5
DE 5
设 CE=3x，则 DE=5x .
由（1）可知，BE= EF=5x.∴BF=10x ，CF=2x.
在 Rt△CFD 中，由勾股定理得 DF= 2 5x ．
∵半径为 5，∴BD 10.
∵BF×DC= FD×BD， ∴10x4x 102 5x ，解得 x 5 .
2
∴DF = 2 5x =5.
∵DE∥AB，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.
∵BC 是⊙O 的切线，∴∠BDF＝90°.
∴∠1+∠F＝90°，∠3+∠EDF＝90°.
∴∠F＝∠EDF.∴EF DE.
…….…….……………2 分
（2）解：连接 CD.
∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BCD＝90°.
∵DE∥AB，∴∠DEF＝∠ABC.
∵cos∠ABC= 3 ，∴在 Rt△ECD 中，cos∠DEC= CE = 3 .
在 Rt△AOM 中 cos∠AOM = cosC= 2 5
∴AO= 5 OM 2
AB= 5 OM +OB= 7 OM
2
2Fra Baidu bibliotek
而 AB= AC= 15 2
OM 2 AO 5
15
8.门头沟一模. 如图，AB 为⊙O 直径，过⊙O 外的点 D 作 DE⊥OA 于点 E，射线 DC 切⊙O 于点 C、交 AB 的延长线于点 P，连接 AC 交 DE 于点 F，作 CH⊥AB 于点 H．
在 Rt△BOE 中， OEB 90 ， BOE 30 ， OB r ，
∴ BE OB r ， 22
∴点 B 到半径 OC 的距离为 r ． 2
（2）如图 4 ，连接 OA ．
由 BE OC ， DH OC ，可得 BE∥DH ．
∵ AD 于⊙ O 相切，切点为 A ，
∴ AD OA ，
∴∠ACB=90°. 根据勾股定理，由 AB=5,BC=3,可求得 AC=4.
∵ AE⊥EF ，
∴∠AEC=90°. ∴△AEC∽△ACB.
∴ AE AC . AC AB
∴ AE 4 . 45
∴ AE 16 . ----------------------5 分 5
3
2．西城一模.如图，⊙ O 的半径为 r ，△ABC 内接于⊙ O ， BAC 15 ， ACB 30 ， D 为 CB 延长线上一
ECD 90 ．
∴ E ODC 90 ． 又BCD OCD 90 ， OCD ODC ，
∴ BCD E ． 又CBD EBC ，
∴ △BCD ∽△BEC ．
E A
O
D B
C
BC BD ． BE BC
∴ BC2 BD BE ．················································································ 3 分 tan E 1 ，
………………3 分
………………4 分 ………………5 分
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6.朝阳一模. 如图，在⊙O 中，C，D 分别为半径 OB，弦 AB 的中点，连接 CD 并延长，交过点 A 的 切线于点 E．
（1）求证：AE⊥CE．
1
（2）若 AE= ，sin∠ADE= ，求⊙O 半径的长．
3
12
6.朝阳一模. （1）证明：连接 OA， ∵OA 是⊙O 的切线， ∴∠OAE＝90º. ………………………………1 分 ∵ C，D 分别为半径 OB，弦 AB 的中点， ∴CD 为△AOB 的中位线. ∴CD∥OA． ∴∠E＝90º. ∴AE⊥CE. …………………………………2 分
（1）求证：∠D=2∠A；
3
（2）若 HB=2，cosD= ，请求出 AC 的长．
5
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8.门头沟一模.（1）证明：连接 OC，
∵射线 DC 切⊙O 于点 C， ∴∠OCP=90°
∵DE⊥AP，∴∠DEP=90°
∴∠P+∠D=90°，∠P+∠COB=90°
∴∠COB=∠D
…………………1 分
∵OA=OC, ∴∠A=∠OCA
∴ OM 2 +OF 2 MF 2 ． 设 O 的半径为 r ．
∵ AEB 90 ， A 30 ，
∴ AE AB cos30 3r .
∴ OM = 1 3r ． 2
………………5 分
∵ FM = 7 ，
∴ (1 3r)2+r2 ( 7)2 . 2
解得 r=2 ．（舍去负根）
∴ O 的半径为 2．
………………6 分
7
4．丰台一模.如图，A，B，C 三点在⊙O 上，直径 BD 平分∠ABC，过点 D 作 DE∥AB 交弦 BC 于点 E，过点 D 作⊙O 的切线交 BC 的延长线于点 F．
（1）求证：EF ED； （2）如果半径为 5，cos∠ABC = 3 ，求 DF 的长．
5
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4．丰台一模.（1）证明：∵BD 平分∠ABC，∴∠1＝∠2.
2019 年北京中考数学满分必刷 100 道压轴题
圆综合题中考专项训练
本文档试题为 2017--2018 年北京十三区一模、二模试题《圆综合题》汇编。
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1．2018 届 东城一模如图，AB 为 O 的直径，点 C，D 在 O 上，且点 C 是 BD 的中点.过点 C 作 AD 的垂线
EF 交直线 AD 于点 E.
∵∠COB=∠A+∠OCA ∴∠COB=2∠A
∴∠D=2∠A
…………………2 分
（2）解：由（1）可知：∠OCP=90°，∠COP=∠D，
3
∴cos∠COP=cos∠D= ，
5
…………………3 分
∵CH⊥OP，∴∠CHO=90°， 设⊙O 的半径为 r，则 OH=r﹣2．
OH r 2 3
在 Rt△CHO 中，cos∠HOC= =
设 OD＝x，则 OA＝3x，
∵ OD 2 AD 2 OA2 ，
∴ x2 3 2 2 3x2 .
解得
x1
3 2
，
x2
3 2
（舍）.
∴ OA 3x
9
.
……………………………………………5 分
2
即⊙O 的半径长为 9 . 2
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7.燕山一模．如图，在△ABC 中,AB=AC,AE 是 BC 边上的高线，BM 平分∠ABC 交 AE 于点 M，经过 B，M 两点 的⊙O 交 BC 于点 G，交 AB 于点 F ，FB 为⊙O 的直径． （1）求证：AM 是⊙O 的切线
（2）解：∵ CBE 15°， ∴ F 3 2CBE 30°.
∵⊙ O 的半径是 2 3 ，点 D 是 OC 中点，
∴ OD 3 . 在 RtODH 中， cos 3 OD ，
OH ∴ OH 2 . ∴ HE 2 3 2 . 在 RtFEH 中， tan F EH .
EF ∴ EF 3EH 6 2 3 .
（2）解：连接 OD，
∴∠ODB＝90º. ……………………………………………………3 分
1
∵AE= ，sin∠ADE= ，
3
在
Rt△AED
中，
AD
AE sin ADE
3
2.
∵CD∥OA，
∴∠1＝∠ADE.
在 Rt△OAD 中， sin 1 OD 1 .…………………………………4 分 OA 3
…….…….……………5 分
（其他证法或解法相应给分.）
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5．石景山一模.如图， AB 是⊙ O 的直径， BE 是弦，点 D 是弦 BE 上一点，连接 OD 并延长交⊙ O 于点 C ， 连接 BC ，过点 D 作 FD ⊥ OC 交⊙ O 的切线 EF 于点 F ． （1）求证： CBE 1 F ； 2 （2）若⊙ O 的半径是 2 3 ，点 D 是 OC 中点， CBE 15°，求线段 EF 的长．
（1）求证：EF 是 O 的切线；
（2）连接 BC. 若 AB=5，BC=3，求线段 AE 的长.
2
1. 东城一模（1）证明：连接 OC.
∵ CD CB
∴∠1=∠3.
∵ OA OC ，
∴∠1=∠2. ∴∠3=∠2.
∴ AE∥OC . ∵ AE⊥EF ， ∴ OC⊥EF . ∵ OC 是 O 的半径， ∴EF 是 O 的切线. ----------------------2 分 （2）∵AB 为 O 的直径，
2
（2）当 BE=3，cosC= 时，求⊙O 的半径．
5
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7.燕山一模.解： (1)连结 OM.
∵BM 平分∠ABC
∴∠1 = ∠2 又 OM=OB
∴∠2 = ∠3
∴ OM∥ BC …………………………………2′
AE 是 BC 边上的高线
∴AE⊥BC,
∴AM⊥OM
∴AM 是⊙O 的切线…………………………………3′