高等数学A-8.1向量及其线性运算

x

2
a

3
b

(7
,

1,10)
代入②得
y

1
(3
x

b)

(11,
2 , 16)
2
8-1 向量及其线性运算
例3 已知两点
及实数
在AB直线上求一点 M ,使
解: 设 M 的坐标为
如图所示
A
AM MB
M
AM OM OA
B
MB OB OM
o
OM O A (OB OM )
A
得 即
OM

1
1
(OA
OB

B
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
M
8-1 向量及其线性运算
说明:由
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
得定比分点公式:
A
x1 x2 1
,
y1 y2 1
3. 向量的模：向量的大小,
4.向径(矢径): 起点为原点的向量. 5.自由向量: 与起点无关的向量. 6.单位向量: 模为1的向量,
7.零向量: 模为0的向量,
M2 M1
8-1 向量及其线性运算
8.两个向量相等 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 9.两个向量平行

M

u
交点 M即为点 M 在轴 u
上的投影.
设 OM e ，则数 称为向量 r 在u 轴上的投影，
记或则设作记aaP作xr j(uaarPxxr或, jax(a(rya,,))u
.
az ),
ay
x,

ay
Pr


jy a , (a ) y
,
az Prjza,
由勾股定理得
8-1 向量及其线性运算
z R
o P
x
M Q y
N
对两点
与
因
得两点间的距离公式:
8-1 向量及其线性运算
例4 求证 以
为顶点
的三角形是等腰三角形. 证:
M1M 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14
M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6 M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6 M 2M3 M1M3 即 M1M 2M3 为等腰三角形.
在直角坐标系下
点 M 11 有序数组
11 向径
特殊点的坐标 :(称为点 M 的坐标)
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
C(x, o, z) o r
M y
x
A(x, y,0)
z
o
x
坐标面:
8-1 向量及其线性运算
坐标轴:


性质3 (a)u (a)u （即 Pr ju(a) Pr ju a ）.
8-1 向量及其线性运算
例9 设正方体的一条对角线为OM,一条棱为OA，
且 OA =a 求OA在OM方向上的投影.
内容小结
8-1 向量及其线性运算
1. 向量的概念及其线性运算 2. 空间直角坐标系 3. 利用坐标变量作向量的线性运算 4.向量的模、方向角、投影
8-1 向量及其线性运算
例5 在 z 轴上求与两点
及
离的点.
解: 设该点为 M(0,0, z), 因为 M A MB ,
等距
(4)2 12 (7 z)2 32 52 (2 z)2
解得
故所求点为
思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上, 则称此 k 个向量共面 .
二、向量的线性运算 1. 向量的加法
平行四边形法则: a b
三角形法则: a b
8-1 向量及其线性运算
c bc a (b c) ab
运算规律: 交换律 a b b a 结合律 ( a b) c a (b c ) a b c
az (a)z .
8-1 向量及其线性运算

性质1
其中
性质2
(a)u a cos （

为向 量 a
与u

(a b)u (a)u
即 Pr ju a |
轴的夹角; (b)u
a
|
cos ）,
r
. Oe
M

M
'
u
（即 Pr ju(a b) Pr ju a Pr ju b ）;
z
r

z x2 y2 z2
方向余弦的性质:
8-1 向量及其线性运算
z
r
o

y
x
8-1 向量及其线性运算
例7 已知两点
和
的模、方向余弦和方向角.
解: M1M 2 ( 1 2, 3 2 , 0 2 )
(1, 1, 2 )
计算向量
(1)2 12 ( 2)2 2
可见
运算律:
总之 结合律
( a) ( a) a
11aa

aa;
;
分配律
(a

b)


a


b
则有单位向量 a
因此
8-1 向量及其线性运算
定理1 设 a 为非零向量，则
a∥b
( 为唯一实数)
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝±
思考与练习 1. 设
求向量
轴上的分向量. 解: 因
8-1 向量及其线性运算
在 x 轴上的投影及在 y
故在 x 轴上的投影为 在 y 轴上的分向量为
2. 设
行四边形的对角线的长度 . 解：对角线的长为
8-1 向量及其线性运算
求以向量
为边的平
该平行四边形的对角线的长度各为
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且

b
故b =a
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0
故 0, 即 .
8-1 向量及其线性运算
“ ” 已知 b＝ a , 则 b＝0 a , b 同向
1 4
因点 A 在第一卦限
,故
cos

1 2
,于是
OA
OA
OA
6
(
1 2
,
2 2
,12
)

(3
,
3
2 ,3)
故点 A 的坐标为 (3,3 2 ,3).
8-1 向量及其线性运算
3.向量在轴上的投影(Projection)

M
空间一点在轴上的投影:
过点 M 作轴 u的垂直平面，
r
. Oe
8-1 向量及其线性运算
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
8-1 向量及其线性运算
一、向量的概念
1.向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
2.表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
注：三角形法则可推广到多个向量相加.
8-1 向量及其线性运算
a4
a5
a3
a2 a1
2. 向量的减法
特殊地：当 b a 时
a a a (a) 0
三角不等式
8-1 向量及其线性运算
a
8-1 向量及其线性运算
3. 向量与数的乘法
设 为实数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 规定:
当
a

0
时,
bx ax by ay
bx by bz ax ay az
bz az
8-1 向量及其线性运算
例2 求解以向量为未知元的线性方程组
5
x

3
y

a
①
3x2yb
②
其中
a
（2，1，2）, b
（

1，1，
2）.
解: 2×① －3×② , 得
cos 1 , cos 2
2
2
2 ,
,
3
3
3
4
8-1 向量及其线性运算
例8 设点A 位于第一卦限,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
角依次为

3
,

4
,
且
OA
6, 求点A
的坐标
.
解:
已知


3
,


4
,
则
cos2 1 cos2 cos2
)
8-1 向量及其线性运算
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
8-1 向量及其线性运算
y
8-1 向量及其线性运算
2. 向量的坐标表示
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
以
i,
j ,k 分别表示
x,
y , z 轴上的单位向量,
设点
M
的坐标为
则
z OM ON NM OA OB OC C
r M
o
B y
A
此式称为向量 r 的坐标分解式,
x
N
沿三个坐标轴方向的分向量.
8-1 向量及其线性运算
四、利用坐标作向量的线性运算
设 a ( ax , ay , az ),
b (bx , by , bz ) ,
为实数，则

a

b

(ax

bx
,
ay

by
,
az

bz
)
a ( ax , ay , az )
平行向量对应坐标成比例:
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 10.负向量 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
8-1 向量及其线性运算
11.两向量共线 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 12. k 个向量共面
源自文库
记作
的夹角.
类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .
与三坐标轴的夹角 , ,
为其方向角.
方向角的余弦称为其方向余弦.
cos
x r

x x2 y2 z2
z
r
o
y
x
cos x
x
r
x2 y2 z2
cos

y r

y x2 y2 z2
cos
提示:
(1) 设动点为
(2) 设动点为
利用 且
利用
8-1 向量及其线性运算
得 得
例6 已知两点
和
求
解: AB AB 1 (3 ,1, 2) AB 14
3 , 1 , 2
14 14 14
8-1 向量及其线性运算
2.方向角与方向余弦
设有两非零向量
任取空间一点 O ,
称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量
,
z1 z2 1
M B
o
A 当 1时, 点 M 为 AB 的中点 , 于是得
中点公式:
B
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
M
五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
8-1 向量及其线性运算
杂诗 （东晋）陶渊明
盛年不再来，一日难再晨. 及时当勉励，岁月不待人. 日月掷人去，有志不获聘. 眷眷往昔时，忆此断人肠.
8-1 向量及其线性运算
第八章 向量代数与空间解析几何
向量，也称为矢量，在几何、物理、力学和工程技术中 有着广泛的应用.
本章内容分为两部分: 1.向量代数 2.空间解析几何：把代数方程与空间几何图形对应起来， 从而可以用代数的方法研究几何问题. 空间解析几何的知识为多元函数微积分的学习作了准备.
a , b 反向 例1 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
a∥b
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a b AC
2 MA
D
C
b a BD
2 MB
bM

MA


1 2
(
a

b)
MB


1 2
(
b

a
)
A
a
B
MC

1 2
(
a

b
)
MD

1 2
(
b

a