关于积分不等式的证明
关于用微积分理论证明不等式的方法
关于用微积分理论证明不等式的方法微积分是数学的一个分支，主要研究连续变化的概念和性质。
它提供了一种强大的工具，可以用来证明不等式。
在本文中，我们将介绍一些常用的微积分方法，用于证明不等式。
一、导数的应用导数是微积分中的重要概念，它表示函数在其中一点的变化率。
在证明不等式时，我们可以使用导数的性质来进行推导。
1.极值点的性质：如果函数在其中一点处取得极值，那么在这个点的导数等于零。
这个性质通常用于证明不等式的最优情况。
例如，我们要证明函数f(x)=x^3在[-1,1]上取得最大值为1、首先，计算函数的导数f'(x)=3x^2、然后，找出导数等于零的点：3x^2=0，解得x=0。
进一步，计算二阶导数f''(x)=6x，并代入x=0，可以得到f''(0)=0。
这意味着在x=0处，函数取得极值。
然后，我们可以用数学归纳法证明，在[-1,1]区间上，f(x)的取值范围在[-1,1]之间。
因此，函数的最大值为1，取到极值点(0,1)。
2.函数的单调性：如果函数的导数在一些区间内恒大于等于零（或恒小于等于零），那么函数在该区间上是单调递增（或递减）的。
例如，我们要证明函数f(x)=x^2在[-1,1]上是递增的。
首先，计算函数的导数f'(x)=2x。
然后，计算导数在[-1,1]上的值，可以得知f'(x)在这个区间上恒大于等于零。
根据函数单调性的定义，我们可以得出结论：函数f(x)=x^2在[-1,1]上是递增的。
二、积分的应用积分是微积分中另一个重要的概念，它是导数的逆运算。
在证明不等式时，我们可以使用积分的性质来进行推导。
1. 积分上限的比较：如果函数f(x)在一个区间上恒小于等于另一个函数g(x)，那么在该区间上的函数积分f(x)dx也小于等于g(x)dx。
例如，我们要证明函数f(x)=x在[0,1]上的积分小于等于函数g(x)=x^2在[0,1]上的积分。
二重积分柯西积分不等式
二重积分证明柯西积分不等式
具体证明方法如下：
1、考虑差值dx。
2、交换x，y的位置，计算dx。
3、将上述两个dx相加。
4、考虑定义域。
5、得出结论。
扩展资料：
二重积分意义：
1、二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。
此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
2、二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。
本质是求曲顶柱体体积。
重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。
利用定积分证明不等式
热点追踪Җ㊀广东㊀李文东㊀㊀不等式的证明是高考的重要内容,证明的方法多㊁难度大,特别是一些数列和型的不等式．这类不等式常见于高中数学竞赛题和高考压轴题中,由于证明难度较大,往往令人望而生畏．其中有些不等式若利用定积分的几何意义证明,则可达到以简驭繁㊁以形助数的解题效果．１㊀利用定积分证明数列和型不等式数列和型不等式的一般模式为ðni ＝１a i ＜g (n )(或ðni ＝１a i ＞g (n )),g (n )可以为常数．不失一般性,设数列a n ＝f (n )＞０,此类问题可以考虑如下的定积分证明模式．(１)若f (x )单调递减．因为f (i )＜ʏii －１f (x )d x ,从而ðni ＝１a i ＝ðn i ＝１f (i )＜ðni ＝１ʏii－１f (x )d x ＝ʏn０f (x )d x ．㊀㊀又因为ʏi i －１f (x )d x ＜f (i －１),从而ʏn ＋１１f (x )d x ＝ðn ＋１i ＝２ʏi i－１f (x )d x ＜ðn ＋１i ＝２f (i －１)＝ðni ＝１a i．㊀㊀(２)若f (x )单调递增．因为f (i )＞ʏi i －１f (x )d x ,从而ðni ＝１a i＝ðni ＝１f (i )＞ðni ＝１ʏii－１f (x )d x ＝ʏn０f (x )d x ．㊀㊀又因为ʏii －１f (x )d x ＞f (i －１),从而ʏn ＋１１f (x )d x ＝ðn ＋１i ＝２ʏii－１f (x )d x ＞ðn ＋１i ＝２f (i －１)＝ðni ＝１a i ．例１㊀(２０１３年广东卷理１９,节选)证明:１＋１２２＋１３２＋ ＋１n２＜７４(n ɪN ∗)．分析㊀本题证法大多采用裂项放缩来证明,为了得到更一般的结论,我们这里采用定积分来证明．证明㊀因为函数y ＝１xα(α＞０且αʂ１)在(０,＋ɕ)上单调递减,故ʏii －１１x αd x ＞１iα(i ȡ３),从而当αʂ１时,ðni ＝１１i α＜１＋１２α＋ðni ＝３ʏii －１１x αd x ＝１＋１２α＋ʏn２１x αd x ＝１＋１２α－１(α－１)x α－１n ２＝１＋１２α＋１(α－１)２α－１－１(α－１)nα－１．㊀㊀利用这个不等式可以得到一些常见的不等式．若α＝１２,则ðn i ＝１１i＜１－３２＋２n ＝２n －１＋(２－３２)＜２n －１．㊀㊀当α＞１时,ðni ＝１１iα＜１＋１２α＋１(α－１)２α－１＝１＋α＋１α－１ １２α．特别地,若α＝２,则ðni ＝１１i ２＜１＋２＋１２－１ １２２＝７４;若α＝３,则ðni ＝１１i３＜１＋３＋１３－１ １２３＝５４;若α＝３２,则ðni ＝１１ii＜１＋３２＋１３２－１ １２３２＝１＋５２４＜３;若α＝１,则１n＜ʏnn －１１x d x ＝l n x nn －１＝l n n －l n (n －１),从而可以得到１２＋１３＋ ＋１n ＋１＜ʏn ＋１１１xd x ＝l n (n ＋１),１n ＋１＋１n ＋２＋ ＋１２n＜ʏ２nn１xd x ＝l n２．㊀㊀另一方面,１n －１＞ʏnn －１１xd x ＝l n x n n －１＝l n n －l n (n －１),则１＋１２＋１３＋ ＋１n －１＞ʏn１１x d x ＝l n n ．㊀㊀当α＝１时,借助定积分的几何意义上述不等式４２热点追踪还可以进一步加强．图１是函数y ＝１x的部分图象,显然S 曲边梯形A B C F ＜S 梯形A B C F ,于是ʏn ＋１n１x d x ＜１２(１n ＋１n ＋１),得l n (１＋１n )＜１２(１n ＋１n ＋１),令n ＝１,２, ,n ,并采用累加法可得１＋１２＋１３＋ ＋１n＞l n (n ＋１)＋n２(n＋１)(n ȡ１)．图１例２㊀证明:l n ４２n ＋１＜ðni ＝１i４i ２－１(n ɪN ∗)．分析㊀由于i ４i ２－１＝１４(１２i －１＋１２i ＋１),l n ４２n ＋１＝１４l n (２n ＋１),故证明l n (２n ＋１)＜ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１)．构造函数f (x )＝１２x ＋１,显然f (x )单调递减,考虑到ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１)的结构,对函数f (x )采用类似图１中的梯形面积放缩．证明㊀由分析得ʏii －１１２x ＋１d x ＜１２(１２i －１＋１２i ＋１),故１２l n (２n ＋１)＝ʏn０１２x ＋１d x ＝ðni ＝１ʏii －１１２x ＋１d x ＜１２ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１),不等式两边除以１２即为所证．例３㊀证明１３＋１５＋１７＋ ＋１２n ＋１＜１２l n (n ＋１)(n ɪN ∗)．分析㊀若考虑函数y ＝１２x ＋１,则有１２i ＋１＜ʏii －１１２x ＋１d x ,则ðni ＝１１２i ＋１＜ðni ＝１ʏii －１１２x ＋１d x ＝ʏn０１２x ＋１d x ＝１２l n (２x ＋１)n０＝１２l n (２n ＋１),达不到所证的精度,必须改变定积分放缩的精度．证明㊀结合不等式的右边,考虑函数f (x )＝１x．如图２所示,在区间[i ,i ＋１]上,取区间的中点i ＋１２,并以１i ＋１２为高作矩形A E F B ,则S 矩形A E F B ＜ʏi ＋１i １x d x ．于是有２２i ＋１＝１i ＋１２＜ʏi ＋１i１xd x ,则ðni ＝１２２i ＋１＜ðni ＝１ʏi ＋１i１xd x ＝ʏn ＋１１１xd x ＝l n (n ＋１),即ðn i ＝１１２i ＋１＜１２ln (n ＋１)．图２例４㊀设n 是正整数,r 为正有理数．(１)求函数f (x )＝(１＋x )r ＋１－(r ＋１)x －１(x ＞－１)的最小值;(２)证明:n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r＜(n ＋１)r ＋１－nr ＋１r ＋１;(３)设x ɪR ,记[x ]为不小于x 的最小整数,例如[２]＝２,[π]＝４,[－３２]＝－１．令S ＝３８１＋３８２＋３８３＋ ＋３１２５,求[S ]的值．(参考数据:８０４３ʈ３４４ ７,８１４３ʈ３５０ ５,１２５４３ʈ６２５ ０,１２６４３ʈ６３１ ７．)分析㊀出题者的本意是利用第(１)问中的伯努利不等式来证明后两问,但这里我们利用积分来证明．证明㊀(１)f m i n (x )＝０(求解过程略)．(２)因为r 为正有理数,函数y ＝x r 在(０,＋ɕ)上单调递增,故ʏnn －１x r d x ＜nr,而５２热点追踪ʏnn －１x rd x ＝x r ＋１r ＋１n n －１＝n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１,故n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r．同理可得n r＜ʏn ＋１n x rd x ＝x r ＋１r ＋１n ＋１n ＝(n ＋１)r ＋１－n r ＋１r ＋１,从而n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r＜(n ＋１)r ＋１－n r ＋１r ＋１．(３)由于i １３＜ʏi ＋１i x １３d x ＜(i ＋１)１３,故S ＝ð１２５i ＝８１i１３＜ð１２５i ＝８１ʏi ＋１ix １３dx ＝ʏ１２６８１x １３dx ＝３４x ４３１２６８１＝３４(１２６４３－８１４３),３４(１２５４３－８０４３)＝３４x ４３１２５８０＝ʏ１２５８０x １３d x ＝ð１２４i ＝８０ʏi ＋１ix １３d x ＜ð１２４i ＝８０(i ＋１)１３＝S ．３４(１２５４３－８０４３)＜S ＜３４(１２６４３－８０４３)．代入数据,可得３４(１２５４３－８０４３)ʈ２１０．２,３４(１２６４３－８１４３)ʈ２１０．９．由[S ]的定义,得[S ]＝２１１．２㊀利用积分证明函数不等式我们知道ʏx ２x １fᶄ(x )d x ＝f (x ２)－f (x １),因此,对于与f (x ２)－f (x １)有关的问题,可以从定积分的角度去思考．若f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上单㊀图３调递减且f ᶄ(x )为凹函数,如图３所示．设A C 的中点为B ,过点B 作B G ʅx 轴与f (x )交于点G ,过点G 作f (x )的切线与直线AH 和C D 分别交于点F 和I ．设A (x １,０),C (x ２,０),则f (x ２)－f (x １)＝ʏx ２x １fᶄ(x )d x ＝S 曲边梯形A C J H ,S 矩形A C D E ＝f ᶄ(x ２＋x １２)(x ２－x １)．因为S 曲边三角形E G H ＞S әE F G ＝S әD I G ＞S 曲边三角形J D G ,S 曲边梯形A C J H －S 矩形A C D E ＝S 曲边三角形E G H －S 曲边三角形J D G ＞０,于是有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＞f ᶄ(x ２＋x １２)．借助上述几何意义,一般地我们有如下结论．(１)若函数f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上为凹函数,则对于任意的a ＜x １＜x ２＜b ,有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＞f ᶄ(x ２＋x １２);(２)若函数f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上为凸函数,则对于任意的a ＜x １＜x ２＜b ,有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＜f ᶄ(x ２＋x１２)．例５㊀(１)函数f (x )＝l n x ,因为f ᶄ(x )＝１x在(０,＋ɕ)上为凹函数,则对任意０＜x １＜x ２,有l n x ２－l n x １x ２－x １＞１x ２＋x １２,即x ２－x １l n x ２－l n x １＜x １＋x ２２,此为对数均值不等式．(２)函数f (x )＝x l n x ,因为f ᶄ(x )＝１＋l n x 在(０,＋ɕ)上为凸函数,则对任意０＜x １＜x ２,有x ２l n x ２－x １l n x １x ２－x １＜１＋l n x ２＋x １２．许多考题都是以此为背景命题,比如,如下高三模拟考试的压轴题．例６㊀已知函数f (x )＝l n x －a x ２２＋(a －１)x －３２a(a ＞０),在函数f (x )的图象上是否存在不同两点A (x １,y １),B (x ２,y ２),线段A B 中点的横坐标为x ０,直线A B 的斜率为k ,使得k ＞f ᶄ(x ０)．简证㊀由于f ᶄ(x )＝１x－a x ＋a －１(a ＞０)在(０,＋ɕ)上为凹函数,可见结论成立!例７㊀设函数f (x )＝xex ,若x １ʂx ２,且f (x １)＝f (x ２),证明:x １＋x ２＞２．分析㊀本题的本质是极值点偏移问题,常见证法是利用对称性构造函数,这里采用定积分来证明．证明㊀不妨设x １＜x ２,由f ᶄ(x )＝１－x ex ,可知f (x )在(－ɕ,１]上单调递增,在[１,＋ɕ)上单调递减,且f (０)＝０．当x ＞０时,f (x )＞０,可知０＜x １＜１＜x ２．设x １e x １＝x ２e x ２＝t ,则x １＋x ２＝t (e x １＋e x ２),x ２－x １＝t (e x ２－e x １),考虑函数y ＝e x ,则根据定积分的梯形面积放缩有e x ２－e x １＝ʏx ２x １e xd x ＜(e x １＋e x２)(x ２－x １)２,则x ２－x １t ＜１２ x ２＋x １t(x ２－x １),故x １＋x ２＞２．(作者单位:广东省中山市中山纪念中学)６２。
证明不等式的定积分放缩法
证明不等式的定积分放缩法定积分放缩法是一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是通过对不等式两边进行积分，利用积分的性质来证明不等式的正确性。
具体来说，我们可以通过放缩被积函数的大小，从而得到一个更加简单的不等式，进而证明原不等式的正确性。
下面我们以一个简单的例子来说明定积分放缩法的具体应用。
假设我们要证明如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{3}$$我们可以通过放缩被积函数$x^2$ 的大小来证明该不等式。
具体来说，我们可以将 $x^2$ 放缩为 $x$，即：$$x^2 \leq x, \quad 0 \leq x \leq 1$$因此，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \int_0^1 x dx$$对右侧的积分进行计算，可以得到：$$\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}$$因此，我们可以得到如下结论：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{2}$$但是，这个结论并不能证明原不等式的正确性。
为了进一步放缩被积函数的大小，我们可以将 $x$ 放缩为 $1$，即：$$x \leq 1, \quad 0 \leq x \leq 1$$因此，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x dx \leq \int_0^1 1 dx$$对右侧的积分进行计算，可以得到：$$\int_0^1 1 dx = 1$$因此，我们可以得到如下结论：$$\int_0^1 x dx \leq 1$$综合以上两个结论，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{2} \leq \frac{1}{3}$$因此，原不等式得证。
可以看出，通过定积分放缩法，我们成功地证明了该不等式的正确性。
总的来说，定积分放缩法是一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是通过放缩被积函数的大小，从而得到一个更加简单的不等式，进而证明原不等式的正确性。
积分不等式的证明
即 一 ＿＜ｓ （ ０ ， ■ ｉ ＞ ） 继续在 【 Ｊ ｎ ０ ，
Ｕ
３ ５
上 积 分 两 次 即 可 得 ｓ Ｘ＜Ｘ－ ＋ ｉ ｎ －
３
． ～ — —
试 ： ）ｌｆ（ 证ｆ （ ｆ ｘ ｆ ３
证 ： Ｉ （ ｌｌ ）， 明要 ’ 厂 ａ 证ｆ ） ｘ ＿出 厂
则
／ （ ） 厂 （） 一＿ Ｏ
即ｌ
不 等 式
ｓ ｘ ｄ ｍ ｘ
一
得证 。
２ （） ＇／ ～ｆ＇／ ｆ ｒｆ（） （ ／ ｒ ｒ ）
—
２ｆ ｒ （ ／
丽 ＝ ） １ ＞ （ ７ ０ ／ ＜＜
＜１ ３在不 等式两端取 变限积分 证明新 的 ）
例５： 明 ： ＞０时 ， 证
１ 用微 积 分 的 方 法 证 明不 等 式 １． 借 助积 分 上 限函 数把 积分 不等 式 转 化 １ 为 函 数不 等 式 的 证 明
， ｆ） （ｔ ， （ｆ ｔ （ ￣ ｆｄ ）２ ）
Ｇ ） —
由（］ｓ ＜， 格 于， ｉ ｃ 严单 。有ｎ 。 ｓ
调递减 ， ｉ（ ｓ） Ｏｔ ｏ（ｎ ） 则ｓ ｃ ｔ＜ＣＳ＜ｃｓｉｔ， ｎ ｏ ｓ
即 厂）≥ 厂）＋ ｘ 第三次取在【，ｊ 证ｒ（ ＿ 出 ０厂） （ ｃ ｄ ｘ ｆ ０ 上的积分 Ｘ 整 得 厂）≥ ｆ（ ， 理 到 （ ／） 出 出 ｘ ｉ ＜ —ｓ ｎ ＿（ ＞０ ）
３
．
ｌ］ ｏ 上的积分得得到１ ＣＳ ＜ ， 一ＯＸ
５
＜ Ｓ ｎ ＜
ｌ０ ２
＝
占 ）“ ｆ （ Ｊ １ ） Ｊ ＋ ， （
所 以 Ｆｚ 在 ， 上 单 调 递 增 ， （ ｆ ） ｂ 】 而
积分不等式的证明方法探究
Ｊ （， Ｊ（ ０ （ ・ 毕 。 （ 。 （ ≥ ） １ 证 ・ ｇ ） ） ，） ） ｇ）
二 、 助 于几 何 直 观 证 明 不 等 式 借 例 ２ 设 尸（） ， 明 不 等 式 ： ＜０ 证
．
分 『，）： ｙ （分 积 变 的 号 析』 （ ｆ ） 积 与 分 量 记 ｆ ， （
Ｄ 。
无关 ）
证 』 ）］』 ）Ｉｙ） ＝ 明［ ｄ ｆ（ ＝ ｘ ｂ
—
ｂ
≤ 』 ）≤ 半 ） ｃ 击 ｄ ＿ ２ ｘ ，
分 析 将 要 证 的不 等 式 变 形 为 ：
≤
ｆ ｘ ）ｙ 其 中 Ｄ ＝［ ，］ ０ ｂ ） （ ｄ （ 。 ｂ Ｘ［ ，］
ｆａ ，１
（ ａｂ 半 ＋ ） ・ ＋ 半 丁ｂ ａｂ 半 ） ａ … ＋ ＋ ２ ．
其 中 ∈［ ， ］ ・ 。 ６ ， 在 与 盟
边不 等 式 ．
Ｊ （， ｘ 。ｘ ） ≥ ） １ 。 Ｔ） Ｊ（ｇｘ ｘ ０ （） ｇ ｌ ｄ ｆ ）（ｄ （ ｇ ・
单调减 ．
ｆ１ ｆ１
是 。 一 删 ≤鲁“ “ 删 ） 鲁ａ ｏａ （ ｕ ， Ｄ 、 ＋一 一 ｕ 一
这 正是 （ ） ３ 左边 的不 等 式 ．
将 （ 式在 『 ｂ１ｔ积 分 ． ３） ａ． 即可 得 ：
≤
Ｆ１ Ｊ （ （ｄ Ｊ（ｇｔｔ，１ （・ （ 。 ｔ ｔｔ 。ｔ ） 一（ｇ１ ） ｇ） ） ｆ）（ｄ ） ） ｆ
』 ｆ）ｄ＝ － （ ． 毕 』 （＋（］ｙ （ ａ ｂ ） 证 ｝ ） ｙｄ ｂ ） ｌ ｘ
ｄ ｘ
—
（０ ６） ＿
二
≤ ）≤ ， ） ｆ ｘ （ （ ｂｄ ６ 半 ， （
关于积分不等式的证明
（ ３ ）
例 ２ 设 厂 ）ｐ（ 在 ［ ， ］ （ － ） ｎ ６ 上可 积 ， ， ｍｓ厂 ｓＭ ， （ ２０且 ｐ ｚ ＞ｏ若 （） 定 义在 ｎ ￡ （ ） ｐ ） （） ， ￡是 。 ＜
．
１ 利用极 限运算
例１ 设ｆ 二次 微函 且 切 （） ， （ 为［，］ 连 数， ； Ｅ（ ］ 为 可 数， 对一 有 ｏ 而ｕ￡ ｏ口上的 续函 试证： ｏ ￡ ） ￣ｕ） ｆ
≥ ＿ｆ （ｄ 。 ＿ ｏ ｔｔ １ ）］ ｕ
证明： ， 的 续 由ｆｕ 连 性知，ｏ ￡ ｄ与 ｉｕｔ ｔ 存在， ｏ口的 分 则 ｊ ｕ ） ｔ ｏ （ ｄ均 Ｓ （］ ） 取［，］ 等距 割， ｆ ［（ ］ ＿ ｏ “ｔ ｆ ）
初等 不 等式 的证 明采 用 的方 法主要 有数 学归纳 法 、应 用 导数性 质及 二 次型 的正定 ，而无穷 不等式 经常是 由初
等不 等式 经极 限过程 得到 的 ，下 面我们 主要讨 论积 分不 等式 的不 同于传统 构造辅 助 函数 和 Ｔｙ ｒ 开式 的证 ａｌ 展 ｏ 明方 法 。
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［ 收稿 日期 】２０ 一ｌ —０ ０６ ０ ８ ［ 基金项 目］湖 北省 高等 学校省级教学研 究项 目 （ 目编号 ：２００９ ） 项 ０ ５２０ ［ 作者 简介］王
・
娟 （９７一 ） １６ ，女 ，吉林延吉人 ，襄 樊学院数 学 系副教授 ，从事应用数学研 究。
A证明积分不等式的几种方法_周景芝
证明积分不等式的几种方法周景芝不等式涉及数量之间大小的比较,而通过比较常能显示出变量变化之间相互制约的关系。
因此,从某种意义上说,不等式的探讨,在数学分析学习中甚至比等式的推演更为重要。
积分不等式反映的是某些积分值之间的关系,其证明也是数学分析证题中的难点,其主要原因是其证法没有固定的程序可循,方法多样,技巧性强。
为此,通过典型的一些例题来熟悉积分不等式证明的不同方法,这样对提高证明能力是有益的。
下面就用三种基本方法来证明积分不等式。
一、根据定积分的定义及连续函数的性质来证明定义定积分的方法是分割、代替、作和、取极限。
对于积分和,我们可以把它看成一个级数的部分和,根据各种平均值之间的大小关系,就可以相应的写出关于级数的不等式,然后通过取极限的办法而得到类似的积分不等式。
例1设f(x)在[a,b]上可积,且f(x)在此区间上有正的下界,则b-a Q b a dxf(x)[e1b-a Q b a lnf(x)dx[1b-aQ b a f(x)dx证明:因分f(x)在[a,b]上可积,且有正的下界,因此,积分Q badxf(x)与Q balnf(x)dx均存在,令f k =f(a+kzn),zn=b-an则可证limn y]1nE nk=1fk=1b-aQ baf(x)dx limn y]11nE nk=11fk=b-aQ badxf(x)limn y]n n11K=1fk=e1b-a Q b a lnf(x)dx因为对于n个正数有:调和平均值[几何平均值[算术平均值,因此nE n k=11fk[n n11k=1fk[1nE nk=1fk当n y+]时,有b-aQ badxf(x)[e1b-a Q b a lnf(x)dx[1b-aQ baf(x)d x由上面的例子可以看出,根据积分不等式的特征,用定积分的定义来解的确很方便,在熟练掌握定积分的概念以及各种平均值之间的关系的基础上,在解题实践中有意识的、自觉的加强这方面的训练。
毕业论文：有关积分不等式证明的论文
,故命题成立.
例6设函数 在闭区间 上连续且单调递减,求证:当 时
证明:把闭区间 划分成两个区间 和 ,则有
从而有 由积分中值定理可得:存在 使得: ,由于 在闭区间 上单调递减 ,知 ,则
即 ,因此有
1.4利用拉格朗日中值定理来证明积分不等式
分析:设 在闭区间 上连续,在开区间 内可导,则存在 使得:
1.5利用分部积分法来证明不等式
分部积分法:若 与 可导,不定积分 存在,则 也存在,并且有:
利用分部积分法来证明不等式,实质上是利用分部积分法证明一个等式,然后在给出积分估计来实现证明的
例9:设 在 上具有连续导数, ,且 ,
求证:
证明: ,又因为
, ,故命题得证.
例10:设 在闭区间 上具有二阶导数并且导数连续, , 求证:
本科毕业论文（设计）
摘
积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.积分不等式的证明方法灵活多样,而且技巧性和综合性也比较强.研究积分不等式的证明方法,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.本文综述了证明积分不等式的若干方法,通过对例题的分析,总结了求积分不等式的一般方法.本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明:利用定积分的定义,利用积分的性质,利用拉格朗日中值定理、利用积分中值定理、利用泰勒公式 、利用二重积分等多种方法来证积分不等式及研究了杨格 不等式的证明,推广及应用和柯西——施瓦兹 不等式的证明,改进及应用.
(1-3)
同理 (1-4)
(1-3ห้องสมุดไป่ตู้(1-4)相加整理得
积分不等式的原理及应用
积分不等式的原理及应用1. 引言积分不等式是数学中一种重要的不等式类型，它广泛应用于求解数学问题和推导相关理论。
本文将介绍积分不等式的基本原理和其在实际问题中的应用。
2. 积分不等式的基本原理积分不等式可以通过对不等式两侧进行积分来推导和证明。
以下是积分不等式的基本原理：•不等式性质：如果函数f(x)在区间[a, b]上满足$f(x) \\leq g(x)$, 那么有$\\int_a^b f(x)dx \\leq \\int_a^b g(x)dx$。
这意味着，如果一个不等式在一个区间内成立，那么该不等式对应的积分不等式也成立。
•积分中值定理：如果函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上满足$f(x) \\leq g(x)$, 那么存在一个点$c \\in [a, b]$，使得$\\int_a^b f(x)dx = (b-a)f(c)$和$\\int_a^b g(x)dx = (b-a)g(c)$。
这意味着，如果两个函数在一个区间内满足不等式关系，那么在其中必然存在一个点，通过该点对应的积分值也满足不等式关系。
•积分不等式的运算规则：根据积分的线性性质和积分不等式的性质，我们可以对积分不等式进行常规运算，例如加减乘除、积分变量替换等。
3. 积分不等式的应用案例积分不等式在实际问题中有广泛的应用，以下是几个常见的应用案例：3.1 面积和曲线积分通过积分不等式，我们可以求解曲线下的面积和曲线的弧长。
例如，给定函数f(x)在区间[a, b]上的图像，我们可以构建矩形和函数曲线所夹区域，通过逼近的方法计算出该区域的面积。
通过将曲线切分成若干小段，并将矩形逼近为小矩形，我们可以得到曲线下的面积。
3.2 不等式的推导通过积分不等式的原理，我们可以推导和证明各种数学不等式。
例如，柯西-施瓦茨不等式、霍尔德不等式等都可以通过积分不等式进行证明。
这些不等式在数学和物理等领域起到重要的作用，通过积分不等式的应用可以推广和解释这些不等式的性质和应用场景。
hardy不等式积分形式证明
hardy不等式积分形式证明
为了证明Hardy不等式，我们可以采用积分形式进行证明。
设f(x)是一个定义在[0,∞)上的非负函数，那么我们可以根据积分的定义得到
∫(0 to ∞) f(x) dx = lim(n to ∞) ∫(0 to n) f(x) dx
我们设n为一个正整数，将积分区间[0,n]等分为n个小区间，每个小区间的长度为1。
设每个小区间的左端点为xi，那么右端点就是xi+1。
我们在每个小区间上使用不等式f(xi) ≤(xi+1-xi)∫(xi to xi+1) f(x) dx，得到
∫(0 to n) f(x) dx = ∑(i=0 to n-1) ∫(xi to xi+1) f(x) dx
≤∑(i=0 to n-1) (xi+1-xi)f(xi)
= n ∫(0 to n) f(x) dx
由此我们可以得到
∫(0 to ∞) f(x) dx ≤n ∫(0 to n) f(x) dx
由于n是一个正整数，我们可以让n趋于无穷大，得到
∫(0 to ∞) f(x) dx ≤lim(n to ∞) n ∫(0 to n) f(x) dx
= ∫(0 to ∞) f(x) dx
由此我们可以得到
∫(0 to ∞) f(x) dx = ∫(0 to ∞) f(x)^2 dx
这就是Hardy不等式的证明。
定积分中柯西不等式公式定理证明
定积分中柯西不等式公式定理证明定积分中柯西不等式公式定理证明这事儿，说起来还真有点意思。
咱先来说说啥是柯西不等式。
柯西不等式啊，就像是数学世界里的一个神秘法宝，它的表达式是：(∫[a,b] f(x)g(x)dx)^2 ≤ (∫[a,b] f^2(x)dx) (∫[a,b] g^2(x)dx) 。
这看起来有点复杂，是吧？但别怕，咱们一步步来拆解它。
我给您举个例子哈。
假设咱们有两个函数 f(x) = x 和 g(x) = 2x ，在区间 [0, 1] 上。
那咱们先来算算∫[0,1] f(x)g(x)dx ，这其实就是∫[0,1]2x^2 dx ，算出来结果是 2/3 。
再算算∫[0,1] f^2(x)dx ，就是∫[0,1] x^2dx ，结果是 1/3 ；然后∫[0,1] g^2(x)dx ，也就是∫[0,1] 4x^2 dx ，结果是4/3 。
您瞅瞅，(2/3)^2 确实小于等于 (1/3)×(4/3) ，这不就验证了柯西不等式嘛。
那为啥柯西不等式在定积分里这么重要呢？这就好比您盖房子，柯西不等式就是那根能保证房子稳固的大梁。
它能帮我们解决好多问题，比如说判断函数的一些性质，或者在优化问题里找到最优解。
有一次我给学生们讲这个的时候，有个学生就特别迷糊，怎么都理解不了。
我就跟他说：“你就把柯西不等式想象成两个跑步的人，f(x)和 g(x) ，他们在同一段路上跑，跑的速度和路程有一定的关系，柯西不等式就是告诉咱们他们之间这种关系的规则。
” 这孩子听完，眼睛突然一亮，好像有点开窍了。
接下来咱们看看怎么证明柯西不等式。
证明它的方法有好几种，咱们就说一种常见的吧。
假设 f(x) 和 g(x) 在区间 [a,b] 上是连续的，咱们构造一个函数 F(t) = ∫[a,b] (f(x) + tg(x))^2 dx ，这里的 t 是个实数。
把这个式子展开，F(t) = ∫[a,b] f^2(x)dx + 2t∫[a,b] f(x)g(x)dx + t^2∫[a,b] g^2(x)dx 。
积分证明不等式的方法
积分证明不等式的方法例1、 证明不等式 n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 证：考虑函数, 2 , 1 , 1 , 1)(=+<≤=n n x n nx f ,) , 1[ , 1)(∞+∈=x xx g .易见对任何n , 在区间 ] 1 , 1 [+n 上)(x g 和)(x f 均单调, 因此可积,且有)(x g ≤)(x f , 注意到)(x g ≡/ )(x f , 就有⎰⎰++<1111)()(n n dx x f dx x g . 而∑⎰∑⎰∑⎰=+=+=+===n i i i n i i i ni n idx i dx x f dx x f 111111111)()(,⎰+=11)(n dx x g ⎰+++==1111)1ln(|ln n n n x xdx . 因此有 1211 1 )1ln(1n in ni +++=<+∑= .取, 2 , 1 , 1 , 11)(=+<≤+=n n x n n x f ,) , 1[ , 1)(∞+∈=x xx g .在区间] 1 , 1[+n 仿以上讨论, 有⎰⎰>nndx x f dx x g 11)()(. 而⎰=nn dx x g 1,ln )(n i i dx x f nn i n i i i 13121 1111)(111111+++=+=+=⎰∑∑⎰-=-=+ ，⇒ n nln 1 1211+<+++. 综上 , 有不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ .例2、 求极限∞→n lim )21( 21333444n n n ++++++ .[3]P167 E19解：)21( 21333444n n n ++++++ =∑∑==⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛n i ni n i n n n i n 133144=∑∑==⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛ni ni n n i n n i 131411.∞→n lim ∑⎰===⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛ni dx x n n i 11044511 ,∞→n lim ∑⎰=≠==⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛ni dx x n n i 11330411 . 因此 , ∞→n lim )21( 21333444n n n ++++++ 54= .例3、 试证明: 对任何+∈Z n , 有不等式nn n n ++++++12111 < 2ln .证：n n n n ++++++12111 =∑=⋅+nk n nk 1111是函数)(x f =x+11在区间[ 0 , 1 ] 上相应于n 等分分法n T 的小和)(n T s . 由函数)(x f =x+11在区间[ 0 , 1 ]上可积, 有∞→n 时, )(n T s ↗⎰⎰=+=112ln 1)(x dxdx x f . 又易见)(n T s ↗↗. ⇒对任何n, 有)(n T s <2ln , 即nn n n ++++++12111 < 2ln . 例4、证明：当x x xxx <+<+>)1ln(1,0. 分析：所证不等式中的函数)1ln(x +的导数为x+11，即所证不等式中含有函数及其导数，因而可用拉格朗日中值定理试之.由于01ln =，因此可构造函数的改变量1ln )1ln(-+x ，则相应自变量的改变量为x，原不等式等价于：11)1(11)1ln(11<-+-+<+x n x x ，由不等式中间部分的形式可知，可利用拉格朗日中值定理去证明.证明：构造函数tt f ln )(=，因)(t f 在)0](1,1[>+x x 上连续，在)1,1(x +上可导，)(t f 在)0](1,1[>+x x 上满足拉格朗日条件，于是存在)1,1(x +∈ξ，使ξξ1)(1)1()1()1(='=-+-+f x f x f ，因1111),1ln(1ln )1ln()1()1(<<++=-+=-+ξx x x f x f ，所以1)1ln(11<+<+x x x . 即)0(,)1ln(1><+<+x x x xx. 例5、设20,π<<<>y x e a ，证明a a y x a a x x y ln )cos (cos ->-.分析：原不等式可等价于a a xy a a x xy ln cos cos -<--.可看出不等式左边可看成是函数t a t f =)(与t t g cos )(=在区间],[y x 上的改变量的商，故可用柯西中值定理证明之.证明：原不等式等价于a a xy a a x xy ln cos cos -<--，可构造函数t a t f =)(，t t g cos )(=,因),(t f )(t g均在],[y x 上连续，在),(y x 上可导，且0ln )(≠='a a t f t ，由于20π<<<y x ，则y y g x x g t t g c o s)(c o s )(,0s i n )(=≠=≠-='，所以),(t f )(t g 在],[y x 上满足柯西中值条件，于是存在),(y x ∈ξ，使得ξξξξsin ln cos cos )()()()()()(-=--=--=''aa x y a a x g y g x f y f g f x y ，又因),,(,y x e a∈>ξ,20π<<<y x 有1ln ,1sin 1,>><a a a x ξξ，得到ξξξξs i nln ln ,sin ln ln a a a a a a a a xx->-< ,因此 aa xy a a x xy ln cos cos -<--,即a a y x a a x x y ln )cos (cos ->-.例6:当)1,0(∈x ，证明x e xx211>-+. 证明：因xe x2,11-分别可写成幂级数展开式，有：=++++++=-+)1)(1(112 n x x x x xx)1,0(,22212∈+++++x x x x n ．),(,!2!2221222+∞-∞∈+++++=x x n x x enn x．则左边的一般项为nx2，右边的一般项为!2n x nn ，因此当!22,3n n n>≥，所以)1,0(,112∈>-+x e xxx .。
定积分中的不等式
。
证法 3 （利用定积分性质）
证法 4 （函数最值）设
所以
为函数的驻点，且
时
时
为函数的最大值，而最小值在端点取得。又
(或者
为单调递减函数，
证法 5（微分中值定理）设
单增，
单减。
，故
。
为上凸函数，最小值在端点取得。)
，则
，因为 单减，所以
即
，也就是
证法 6（用定积分定义）
，得证。
2.设
在
上连续且单调减少，证明：
二．被积函数一阶可导的不等式（对
用微分中值公式或对原函数
用泰勒公式）
5.设
连续可微，且
，
，证明：任给
总有
。
6.设
在
上连续可微，且
，
。
7.设
在
上连续可微，且
，
。
三．被积函数二阶可导的不等式（用泰勒公式）
8.设
在
上二次连续可微，且
，
。
，证明 ，证明 ，证明
9.设
在
上二次连续可微，且
，
，证明
。
10.设
在
上二次连续可微，且
对于任意的都有证法2单调性设证法3利用定积分性质证法4函数最值设所以为函数的最大值而最小值在端点取得
一．仅知被积函数连续的不等式
1.设
在
上连续且单调减少，证明：对于任意的
。
2.设
在
上连续且单调减少，证明：
，都有 。
3.设
在
上连续，证明
4.设
在
上连续，且满足
。 ，证明：
-----------（Kantorovich）康托洛维奇不等式
证明含有积分的不等式的方法
2
2
2
a
a
b
! =(f a+b ) ( x- a+b ) dx
2
2
a
=
1 2
(f
a+b )( 2
x-
a+b 2
)2
b
=0
a
即 所以
b
! ( x- a+b ) f(x)dx≥0 2
a
b
b
! ! xf(x)dx≥ a+b f(x)dx. 2
a
a
证法 二 用微分 方法 证明 .作 函数
x
x
! ! F(x)= tf(t)- a+x f(t)dt,
(x< $< b)
由 f"(x)> 0知 f' (x)单 调 增, 由 a< %< x< &< b知
f'(’)< f'(x)< f'(().于是 得到
f(x)- f(a)< f'(x)(x- a)
(x- a> 0)
f(b)- f(x)> f' (x)(b- x)
(b- x> 0)
即 f(a)> f(x)- f'(x)(x- a), f(b)> f(x)+f' (x)(b- x)
明:
b
b
! ! xf(x)dx≥ a+b f(x)dx 2
a
a
证 法一 用 积分 性质 证明.将 不等 式改 写成
b
! ( x- a+b ) f(x)dx≥0.被积 函 数中 因子 x- a+b 在区
定积分不等式证明方法的研究
定积分不等式证明方法的研究
积分不等式是数学中重要的方法之一，它可以用来证明给定函数的上界和下界。
因此，对积分不等式方法进行研究对于解决复杂问题
具有重要意义。
首先，我们来看一下积分不等式的定义。
积分不等式是指当f(x)的一阶导数在定义域[a,b]内单调递增或者单调递减时，积分函数F(x) = ∫f(x)dx在[a,b]内的最大值为F(b),最小值为F(a)，因此满足下面的不等式：F(b)-F(a)≤∫f(x)dx≤F(b)+F(a)。
我们来看积分不等式方法的研究，研究者们认为，积分不等式方法可以用来解决定义域[a,b]内函数f (x)的上下界问题，并且可以用来证明问题的可行性，以及可以有效地证明问题的稳定性和收敛性。
此外，积分不等式方法也可以用来求解复杂的微分方程组、变量积分
和边界值问题。
当然，积分不等式方法也有其局限性，比如它要求函数f(x)的一阶导数的单调性，而有些复杂的函数无法满足此要求；此外，积分不
等式法也不能被用来仅仅求解函数的最低点和最高点，而必须通过其
他分析方法才能解决这类问题。
综上所述，积分不等式方法是一种有用的方法，它可以有效地解决函数的上下界问题，同时它也有一定的局限性。
因此，在实际问题中，应该根据问题的实际情况，灵活选择和应用各种数学方法，才能
得到更好的解决方案。
积分不等式的证明方法
积分不等式的证明方法摘要在高等数学的学习中,积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法,还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力,因此可以提高我们解决问题的效率.本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法,对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点.本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法,即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理,最后对全文进行了总结．关键词：积分不等式,定积分,中值定理,柯西-施瓦兹不等式,单调性ABSTRACTWhen we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skill．In this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine the knowledge of elementary mathematics and higher mathematics better. Also our horizons can be broadened,thinking can be divergencied and innovation ability can be improved,so as to improve our efficiency of problem solving.The paper is completed by referring to relevant literature,comparing and analysing related content, complementing and promoting related content.In this paper ,two important integral inequalities along with their proof methods are given first,and then eight approaches to proof integral inequalities are introduced,such as concavity and convexity of function,method of auxiliary function,important integral inequality,integral mean value theorem, integral property, Taylor formula,double integral and differential mean value theorem.Finally,the full paper is summarized．Key words: Integral Inequality, Definite Integral,Mean Value Theorem,Cauchy-Schwarz Inequality, Monotonicty1.引言不等式在数学中有着重要的作用,在数量关系上,尽管不等关系要比相等关系更加普遍的存在于人们的现实世界里,然而人们对于不等式的认识要比方程迟的多.直到17世纪之后,不等式的理论才逐渐的成长起来,成为数学基础理论的一个重要组成部分.众所周知,不等式理论在数学理论中有着重要的地位,它渗透到了数学的各个领域中,因而它是数学领域中的一个重要的内容.其中积分不等式更是高等数学中的一个重要的内容．实际上关于定积分的概念起源于求平面图形的面积和一些其他的实际问题.有关定积分的思想在古代就有了萌芽,比如在公元前240年左右的古希腊时期,阿基米德就曾经用求和的方法计算过抛物线弓形和其他图形的面积.在历史上,积分观念的形成要比微分早.然而直到17世纪后半期,较为完整的定积分理论还没有能够形成,一直到Newton-Leibniz公式建立之后,有关计算的问题得以解决后,定积分才迅速的建立并成长起来．本论文研究的积分不等式结合了定积分以及不等式.关于它的证明向来是高等数学中的一个重点及难点.对积分不等式的证明方法进行研究，并使其系统化，在很大程度上为不同的数学分支之间架起了桥梁.深刻的理解及掌握积分不等式的证明方法可以提升我们对其理论知识的理解,同时可以提高我们的创造思维和逻辑思维．在论文的第三部分中对积分不等式的证明方法进行了详细的阐述.分别从利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理、利用定积分的性质这八个方面给出了例题及证明方法.这样通过几道常见的积分不等式的证明题,从不同的角度,用不同的方法研究、分析了积分不等式的特点,归纳总结出了其证明方法.同时论文中也对有的题目给出了多种证明方法,这启示我们对于同一道积分不等式而言它的证明方法往往不止一种,我们需要根据实际情况采用合适的方法去证明,从而达到将问题化繁为简的目的．2.几个重要的积分不等式在高等数学的学习中我们遇到过许多重要的积分不等式,如Cauchy-Schwarz 不等式,Young 不等式等.它们的形式及证明方法都有很多种,在这一小结中我们将给出这两种积分不等式的证明方法．2.1 Cauchy-Schwarz 不等式无论是在代数还是在几何中Cauchy-Schwarz 不等式的应用都很广泛,它是不同于均值不等式的另一个重要不等式．其形式有在实数域中的、微积分中的、概率空间()P F ,,Ω中的以及n 维欧氏空间中的4种形式.接下来在这一部分中我们将对其在微积分中的形式进行研究．定理2.1[1] 设()f x , ()g x 在[,]a b 上连续,则有[()()b af xg x dx ⎰]2≤{2[()]b af x dx ⎰}⋅ {2[()]bag x dx ⎰}．证明：要证明原不等式成立,我们只需要证()()()()2220bbbaaa fx dx g x dx f x g x dx ⎡⎤⋅-≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 成立． 设()()()()()222tttaa a F t f x dx g x dx f x g x dx ⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰,则只要证()()F b F a ≥成立,由()F t 在[,]a b 上连续,在(),a b 内可导,得()()()()()()()()()22222t t taaaF t f t g x dx g t f x dx f t g t f x g x dx'=+-⎰⎰⎰()()()()()()()()22222ta f t g x f t g t f x g x g t f x dx ⎡⎤=-+⎣⎦⎰()()()()20ta f t g x g t f x dx =-≥⎡⎤⎣⎦⎰．(2.1)由(2.1)式可知()F t 在[,]a b 上递增,由b a >,知()()F b F a >,故原不等式成立． 证毕实际上关于Cauchy-Schwarz 不等式的证明方法有很多,这里我们采用的证明方法是较为普遍的辅助函数法,它将要证明的原积分不等式通过移项转变为了判断函数在两个端点处函数值大小的问题．通过观察我们可以进一步发现原Cauchy-Schwarz 不等式能够改写成以下行列式的形式()()()()()()()()0b baabbaaf x f x dxg x f x dx f x g x dxg x g x dx≥⎰⎰⎰⎰,由此我们可以联想到是否可以将它进行推广？答案是肯定的.下面我们将给出Cauchy Schwarz -不等式的推广形式．定理2.2[2] 设()f x ,()g x ,()h x 在[],a b 上可积,则()()()()()()()()()()()()()()()()()()0bbbaaabbbaaabbbaaaf x f x dxg x f x dxh x f x dxf xg x dx g x g x dxh x g x dx f x h x dxg x h x dxh x h x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．证明：对任意的实数1t ,2t ,3t ,有()()()()2123bat f x t g x t h x dx ++⎰()()()222222123bbbaaat f x dx t g x dx t h x dx=++⎰⎰⎰()()()()()()1213232220bbb aaat t f x g x dx t t f x h x dx t t g x h x dx +++≥⎰⎰⎰．注意到关于1t ,2t ,3t 的二次型实际上为半正定二次型, 从而其系数矩阵行列式为()()()()()()()()()()()()()()()2220bbbaaab bba aabbbaaaf x dxg x f x dxh x f x dxf xg x dxgx dxh x g x dx f x h x dx g x h x dxh x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 证毕以上的推广是将Cauchy-Schwarz 不等式的行列式由二阶推广到了三阶的形式,事实上Cauchy-Schwarz 不等式是一个在很多方面都很重要的不等式,例如在证明不等式,求函数最值等方面.若能灵活的运用它则可以使一些较困难的问题得到解决.下面我们会在第三部分给出Cauchy-Schwarz 不等式及其推广形式在积分不等式证明中的应用．除了Cauchy-Schwarz 不等式之外还有很多重要的积分不等式,例如Young 不等式,相较于Cauchy-Schwarz 不等式我们对Young 不等式的了解比较少,实际上它也具有不同的形式且在现代分析数学中有着广泛的应用.接着我们将对Young 不等式进行一些研究．2.2 Young 不等式Young 不等式,以及和它相关的Minkowski 不等式,HÖlder 不等式,这些都是在现代分析数学中应用十分广泛的不等式,在调和函数、数学分析、泛函分析以及偏微分方程中这三个不等式的身影随处可见,是使用得最为普遍,最为平凡的知识工具.下面我们将给出积分形式的Young 不等式的证明．定理 2.3[3] 设()f x 在[0,]c （0c >）上连续且严格递增,若(0)0f =,[0,]a c ∈且[0,()]b f c ∈,则100()()abf x dx f x dx ab -+≥⎰⎰,其中1f -是f 的反函数,当且仅当()b f a =时等号成立．证明：引辅助函数0()()ag a ab f x dx =-⎰, (2.2)把0b >看作参变量,由于()()g a b f a '=-,且f 严格递增,于是当 10()a f b -<<时,()0g a '>；当 1()a f b -=时,()0g a '=；当 1()a f b ->时,()0g a '<． 因此 当1()a f b -=时,()g a 取到g 的最大值,即()()()()b f g x g a g 1m ax -=≤ (2.3)由分部积分得11()()11(())()()()f b f b g f b bf b f x dx xdf x ----=-=⎰⎰,作代换()y f x =,上面积分变为110(())()bg f b f y dy --=⎰, (2.4)将(2.2)式和(2.4)式代入(2.3)式得110()()()a bbab f x dx f y dy f x dx ---≤=⎰⎰⎰,即10()()a bf x dx f x dx ab -+≥⎰⎰． 证毕3.定积分不等式常见的证明方法关于积分不等式的证明方法较为繁多,难度及技巧性也较大,因此对其进行系统的归纳总结是很有必要的．在这一部分中我们将归纳出利用辅助函数、微分中值定理、重要积分不等式及积分中值定理等证明积分不等式的方法．3.1 利用函数的凹凸性在数学分析以及高等数学中,我们常常会遇到一类特殊的函数—凸函数．凸函数具有重要的理论研究价值和广泛的实际应用,在有些不等式的证明中,若能灵活地利用凸函数的性质往往能够简洁巧妙的解决问题．下面给出一个例子加以说明．定理3.1 若()t ϕ定义在间隔(),m M 内,且()0t ϕ''>,则()t ϕ必为下凸函数．定理3.2 设()f x 在[,]a b 上为可积分函数,而()m f x M ≤≤．又设()t ϕ在间隔m t M ≤≤内为连续的下凸函数,则有不等式()()()11b b a af x dx f x dx b a b aϕϕ⎛⎫≤⎪--⎝⎭⎰⎰．例3.1[4] 设()f x 在[],a b 上连续,且()0f x >,求证：()()()21bba a f x dx dxb a f x ≥-⎰⎰． 证明: 取()u u 1=ϕ, 因为()210u u ϕ'=-<,()320u uϕ''=>,()0>u 即在0u >时,()y u ϕ=为凸函数,故有()()()11b b a a f x dx f x dx b a b a ϕϕ⎛⎫≤ ⎪--⎝⎭⎰⎰， 即()()1babadxf x b ab a f x dx-≤-⎰⎰，故()()()21b b a a f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰． 证毕 在上述的题目中我们可以发现在证明中常常先利用导数来判断函数的凹凸性,然后再利用凹（凸）函数的性质来证明不等式．然而对于实际给出的题目,我们往往需要先构造一个凹（凸）函数,然后才能利用其性质来证明我们所要证明的问题．3.2 辅助函数法辅助函数法是积分不等式证明中的一种非常重要的方法,往往我们会根据不等式的特点,构造与问题相关的辅助函数,考虑在相同的区间上函数所满足的条件,从而得出欲证明的结论．在第二部分中我们用辅助函数法对Cauchy-Schwarz 不等式进行了证明,下面将对用辅助函数法证明积分不等式进行进一步的探讨．[5]设函数()f x 在区间[]0,1上连续且单调递减,证明：对)1,0(∈∀a 时,有： ()10()af x dx a f x dx ≥⎰⎰．证明：令()01()xF x f t dt x =⎰ ()01x <≤,由()x f 连续,得()x F 可导 则()()()02xf x x f t dtF x x ⋅-'=⎰ ()()2f x x f x xξ⋅-⋅=()()f x f x ξ-=, (0)x ξ<<． 因为()f x 在[0,1]上单调减少,而0x ξ<<,有()()f x f ξ<,从而()0F t '<,()F x 在(0,1]上单调减少,则对任意(0,1)a ∈,有()(1)F a F ≥． 即()1001()af x dx f x dx a≥⎰⎰,两边同乘a ,即得()100()a f x dx a f x dx ≥⎰⎰． 证毕 本题根据积分不等式两边上下限的特点,在区间)1,0(上构造了一个辅助函数,进一步我们可以思考对于一般的情形,该题的结论是否依然成立呢？答案是肯定的.设函数()f x 在区间[]0,1上连续且单调递减非负,证明：对)1,0(,∈∀b a ,且10<≤<b a 时,有: ()0()aba a f x dx f x dx b≥⎰⎰． 证明：令()01()xF x f t dt x=⎰,()01x <≤,由()x f 连续,得()x F 可导, 则 ()()()02x f x x f t dtF x x⋅-'=⎰ ()()2f x x f xx ξ⋅-⋅=()()f x f xξ-=,(0)x ξ<<．因为()f x 在[0,1]上单调减少,而0x ξ<<,有()()f x f ξ<,从而()0F t '<,()F x 在(0,1]上单调减少,则对任意10<≤<b a ,有()()F a F b ≥,即()()0011a bf t dt f t dt a b≥⎰⎰． (3.1)由f 非负,可得()()dx x f dx x f bab ⎰⎰≥0． (3.2)结合(3.1)式和(3.2)式可得()()011a ba f x dx f x dx a b≥⎰⎰．即()()0aba a f x dx f x dx b≥⎰⎰． 证毕 [6] 函数()f x 在[,]a b 上连续,且()0>x f 试证：21()()()bbaaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰． 在例3.1中我们给出了本题利用函数的凹凸性证明的过程,在这里我们将给出其利用辅助函数法证明的过程．证明: 构造辅助函数()()()()2xxa adt x f t dt x a f t φ=--⎰⎰, 则 ()()()()()()12xx aa dt x f x f t dt x a f t f x φ'=+⋅--⎰⎰()()()()2xx x aa a f x f t dt dt dt f t f x =+-⎰⎰⎰()()()()20xaf x f t dt f t f x ⎡⎤=+-≥⎢⎥⎣⎦⎰, 所以()x φ是单调递增的,即()()0b a φφ≥=,故()()()21bbaaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰． 证毕 [7]设()x f 在[]b a ,上连续且单调增加,证明：()()⎰⎰+≥babadx x f b a dx x xf 2． 证明: 原不等式即为()()02≥+-⎰⎰baba dx x fb a dx x xf ,构造辅助函数()()()2t ta a a t F t xf x dx f x dx +=-⎰⎰ ,[],t ab ∈, 则()()()()122t a a t F t tf t f x dx f t +'=--⎰ ()()()12t a t a f t f x dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰ ()()()()12t a f t f ζ=-- , (),a t ζ∈．因为a t ζ≤≤,()f x 单调增加,所以()0F t '≥．故()F t 在[],a b 上单调递增,且()0F a =, 所以对(,]x a b ∀∈,有()()0F x F a ≥=．当x b =时,()0F b ≥．即()()02bbaaa b xf x dx f x dx +-≥⎰⎰,故原不等式成立, 证毕通过以上几道题目的观察我们可以发现：1.当已知被积函数连续时,我们可以把积分的上限或者是下限作为变量,从而构造一个变限积分,然后利用辅助函数的单调性加以证明．2.辅助函数法实际上是一种将复杂的问题转化为容易解决的问题的方法．在解题时通常表现为不对问题本身求解而是对与问题相关的辅助函数进行求解,从而得出原不等式的结论．3.3 利用重要积分不等式在第2部分中我们给出了Cauchy-Schwarz 不等式以及它的推广形式的证明过程,实际上Cauchy-Schwarz 不等式的应用也很广泛,利用它可以解决一些复杂不等式的证明.在这一小节中我们将通过具体的例子来加以说明它在证明积分不等式中的应用．[8]函数()f x 在[]0,1上一阶可导,()()100f f ==,试证明：()()112214f x dx f x dx '≤⎰⎰．证明：由()()()00xf x f t dt f '=+⎰和()()()11x f x f t dt f '=-+⎰可得()()()()()21222201xx xfx f t dtdt f t dt x f x dx '''=≤≤⎰⎰⎰⎰, 1(0,)2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()()()()()21111222201(1)x x x fx f t dtdt f t dt x f x dx '''=≤≤-⎰⎰⎰⎰, 1(,1)2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 因此()()112220018f x dx f x dx '≤⎰⎰,(3.3)()()112210218f x dx f x dx '≤⎰⎰． (3.4) 将(3.3)式和(3.4)式相加即可以得到()()112214f x dx f x dx '≤⎰⎰． 证毕[2]设()f x ,()g x 在[],a b 上可积且满足：()0m f x M <≤≤,()0ba g x dx =⎰,则以下两个积分不等式()()()()()()()22222bb b baaaaf xg x dxf x dxg x dx m b a g x dx ≤--⎰⎰⎰⎰及()()()()()2222bbbaaaM m f x g x dxf x dxg x dx M m -⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰成立．证明：取()1h x =,由()0b ag x dx =⎰及定理2.2知()()()()()()()()2200bbbaaab baabaf x dxg x f x dxf x dxf xg x dxg x dx f x dxb a-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()()()222220bbbbbaa a a ab a fx dx g x dx f x dx g x dx b a f x g x dx=-⋅---≥⎰⎰⎰⎰⎰．因此()()()()()()()()222221bbbbbaaaaaf xg x dxfx dx g x dx f x dxg x dx b a≤--⎰⎰⎰⎰⎰． (3.5)由()m f x ≤可知()()()222baf x dxm b a ≥-⎰,因而()()()()()()()22222bbbbaaa a f x g x dxfx dx g x dx m b a g x dx ≤--⎰⎰⎰⎰．由于()0m f x M <≤≤,因此()2222M m M m f x +-⎛⎫⎛⎫-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．化简得()()()2f x Mm M m f x +≤+,两边同时积分得 ()()()()2bbaaf x dx Mm b a M m f x dx +-≤+⎰⎰,由算数-几何平均值不等式可知 ()()()()222bbaaf x dx Mm b a f x dx Mm b a ⋅-≤+-⎰⎰,于是()()()()()2224babab a f x dxM m Mmf x dx-+≤⎰⎰．则()()()221bbaaf x dxg x dx b a -⎰⎰()()()()()()2222bbbabaa af x dxfx dx g x dxb a f x dx=-⎰⎰⎰⎰()()()2224bbaaMmf x dxg x dx M m ≥+⎰⎰．(3.6)由式(3.5)和式(3.6)可知()()()()()2222bbbaaaM m f x g x dxf x dxg x dx M m -⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰． 证毕以上两道题分别利用了Cauchy-Schwarz 不等式及其推广形式．我们在证明含有乘积及平方项的积分不等式时应用Cauchy-Schwarz 不等式颇为有用,但要注意选取适当的()x f 与()x g ,有时还需对积分进行适当的变形．3.4 利用积分中值定理积分中值定理展现了将积分转化为函数值,或者是将复杂函数积分转变为简单函数积分的方法.其在应用中最重要的作用就是将积分号去掉或者是将复杂的被积函数转化为相比较而言较为简单的被积函数,从而使得问题能够简化.因此合理的利用积分中值定理能够有效的简化问题.下面将通过两道例题来说明．定理 3.3（积分第一中值定理） 若()f x 在[,]a b 上可积且()m f x M ≤≤,则存在[,]u m M ∈使()()ba f x dx ub a =-⎰成立.特别地,当()f x 在[,]a b 上连续,则存在[,]c a b ∈,使()()()baf x dx f c b a =-⎰成立．定理 3.4（积分第一中值定理的推广） 若函数()x f ,()x g 在区间[]b a ,上可积,()x f 连续,()x g 在[]b a ,上不变号,则在积分区间[]b a ,上至少存在一个点ε,使得下式成立()()()()⎰⎰=babadx x g f dx x g x f ε．定理3.5（积分第二中值定理的推广） 若函数()x f ,()x g 在区间[]b a ,上可积,且()x f 为单调函数,则在积分区间[]b a ,上至少存在一个点ε,使得下式成立 ()()()()()()⎰⎰⎰+=εεabbadx x g b f dx x g a f dx x g x f ．设函数()f x 在区间[]0,1上连续单调递减,证明：对)1,0(,∈∀b a ,且10<≤<b a 时,有()0()aba a f x dx f x dx b≥⎰⎰,其中()0≥x f ． 用辅助函数法证明的过程,实际上这道题目还可以用积分第一中值定理来证明,下面我们将给出证明过程．证明：由积分中值定理知 ()()10af x dx f a ξ=⋅⎰, []10,a ξ∈； ()()()2baf x dx f b a ξ=⋅-⎰,[]2,a b ξ∈；因为12ξξ≤,且()f x 递减,所以有()()12f f ξξ≥,即 ()()()0111a b ba a f x dx f x dx f x dx ab a b ≥≥-⎰⎰⎰, 故 ()()0a baa f x dx f x dxb ≥⎰⎰． 证毕设()x f 在[]b a ,上连续且单调增加,证明：()()⎰⎰+≥babadx x f b a dx x xf 2． 同样地，在之前的证明中我们给出了此题利用辅助函数法证明的过程,仔细分析观察这道题目我们还可以发现它可以用积分第一、第二中值定理的推广形式来证明,接着我们将给出此题在这两种方法下的证明过程．证法一证明: ()2ba ab x f x dx +⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰()()2222a bb a b a a b a b x f x dx x f x dx ++++⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰． 由定理3.4可知,分别存在1,2a b a ξ+⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2,2a b b ξ+⎛⎫∈⎪⎝⎭, 使得 ()()22122a ba baa ab a b x f x dx f x dx ξ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰,()()22222b b a b a b a b a b x f x dx f x dx ξ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰, 因此()()()()()22128ba ab a b x f x dx f f ξξ-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰,由于()x f 在[]1,0单调增加的,且1201ξξ<<<,所以有 ()()210f f ξξ-≥．从而()02ba ab x f x dx +⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭⎰,故原不等式成立, 证毕 证法二证明:由定理3.5可知：存在(),a b ξ∈,使得 ()2ba ab x f x dx +⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰()()22b a a b a b f a x dx f b x dx ξξ++⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()()()()f a f b a b ξξ=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．由()x f 单调增加及(),a b ξ∈知()()0f a f b -<,0a ξ->,0b ξ-<．可得()02ba ab x f x dx +⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭⎰,故原不等式成立, 证毕 通过上述两道题目我们可以了解到积分中值定理在实际应用中起到的重要作用就是能够使积分号去掉,或者是将复杂的被积函数转化为相对而言较简单的被积函数,从而使问题得到简化.因此,对于证明有关结论中包含有某个函数积分的不等式,或者是要证明的结论中含有定积分的,可以考虑采用积分中值定理,从而去掉积分号,或者化简被积函数．3.5 利用积分的性质关于积分的性质在高等数学的学习中我们已经学到了很多,我们可以利用它来证明许多问题.在这里我们主要利用定积分的比较定理和绝对值不等式等性质对问题进行分析处理．[9]设()f x 在[]0,1上导数连续,试证：[]0,1x ∀∈,有()()()10f x f x f x dx ⎡⎤'≤+⎣⎦⎰． 证明：由条件知()f x 在[]0,1上连续,则必有最小值,即存在[]00,1x ∈,()()0f x f x ≤,由()()()00xx f t dt f x f x '=-⎰⇔()()()00xx f x f x f t dt '=+⎰,()()()00x x f x f x f t dt '=+⎰≤()()00x x f x f t dt '+⎰≤()()100f x f t dt '+⎰()()11000f x dt f t dt '=+⎰⎰≤()()1100f t dt f t dt '+⎰⎰()()10f t f t dt ⎡⎤'=+⎣⎦⎰()()10f x f x dx ⎡⎤'=+⎣⎦⎰.故原不等式成立, 证毕3.6 利用泰勒公式在现代数学中泰勒公式有着重要的地位,它在不等式的证明、求极限以及求高阶导数在某些点的数值等方面有着重要的作用.关于泰勒公式的应用已经有很多专家学者对其进行了深入的研究,下面我们将举例说明利用泰勒公式也是证明积分不等式的一种重要方法．定理 3.6(带有拉格朗日型余项的Taylor 公式) 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1n +阶连续导数,则对该邻域内异于0x 的任意点x ,在0x 与x 之间至少存在一点ξ,使得：20000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ (1)其中(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+（ξ在x 与0x 之间）称为拉格朗日型余项,(1)式称为泰勒公式．[10] 设()f x 在[],a b 上有二阶连续导数,()()0f a f b ==,[](),max x a b M f x ∈''=,试证明:()()312bab a f x dx M -≤⎰．证明：对(),x a b ∀∈,由泰勒公式得()()()()()()212f a f x f x a x f a x ξ'''=+-+- , (),a x ξ∈,()()()()()()212f b f x f x b x f b x η'''=+-+-, (),x b η∈, 两式相加得 ()()()()()()22124a b f x f x x f a x f b x ξη+⎛⎫⎡⎤'''''=---+- ⎪⎣⎦⎝⎭, 两边积分得 ()()()()()()22124b bb aaa ab f x dx f x x dx f a x f b x dx ξη+⎛⎫⎡⎤'''''=---+- ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰, 其中 ()()()22b b b a a a a b a b f x x dx x df x f x dx ++⎛⎫⎛⎫'-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰, 于是有 ()()()()()2218bb a a f x dx f a x f b x dx ξη⎡⎤''''=-+-⎣⎦⎰⎰, 故()()()()223812bb aa M M f x dx a xb x dx b a ⎡⎤≤-+-=-⎣⎦⎰⎰． 证毕 [6]设()f x 在[],a b 上有二阶导数,且()0f x ''>,求证 ()()2b aa b f x dx b a f +⎛⎫≥- ⎪⎝⎭⎰． 证明：将()f x 在02a bx +=处作泰勒展开得到()()2122222a b a b a b a b f x f f x f x ξ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ,2a b x ξ+⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因为()0f x ''>,所以可以得到 ()222a b a b a b f x f f x +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫'≥+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 对不等式两边同时积分得到 ()()222b b a a a b a b a b f x dx f b a f x dx +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫'≥-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰． 因为02b a a b x dx +⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰, 所以有()()2b a a b f x dx b a f +⎛⎫≥- ⎪⎝⎭⎰． 证毕通过这两道题目我们大致可以了解到当题目中出现被积函数在积分区间上有意义且有二阶及二阶以上连续导数时,是提示我们用泰勒公式证明的最明显的特征．一般情况下我们选定一个点o x ,并写出()x f 在这个点o x 处的展开公式,然后进行适当的放缩或与介值定理相结合来解决问题．3.7 利用重积分在一些积分不等式的证明中,由于被积函数的不确定,从而我们不能求出其具体的数值,这时我们可以将定积分转换为二重积分再利用其性质来求解．以下列举了3种利用重积分来证明积分不等式的方法,这种技巧在高等数学中虽然不常见,但却是很重要的,下面我们将通过3道例题来进一步说明．命题一[11]：若在区间[,]a b 上()()f x g x ≥,则()()bba a f x dx g x dx ≥⎰⎰．[11] 设()f x ,()g x 在[,]a b 上连续,且满足：()()xxaaf t dtg t dt ≥⎰⎰,[,]x a b ∈,()()b b a a f t dt g t dt =⎰⎰,证明：()()b ba axf x dx xg x dx ≤⎰⎰．证明：由题得()()x xaaf t dtg t dt ≥⎰⎰,从而可以得到()()b x b x aaaadx f t dt dx g t dt ≥⎰⎰⎰⎰,即[()()]0b xa adx f t g t dt -≥⎰⎰．左式[()()]b xaadx f t g t dt =-⎰⎰ [()()]Df tg t dxdt =-⎰⎰ (其中{(,)|,}D x t a x b a t x =≤≤≤≤)[()()]b b atdt f t g t dx =-⎰⎰ ()[()()]bab t f t g t dt =--⎰[()()][()()]b b b b aaaab f t dt g t dt tf t dt tg t dt =---⎰⎰⎰⎰[()()]0b baatf t dt tg t dt =--≥⎰⎰．则 ()()0b b aatf t dt tg t dt -≤⎰⎰ , 即()()b baaxf x dx xg x dx ≤⎰⎰． 证毕在本题中我们将一元积分不等式()()x xaaf x dxg x dx ≥⎰⎰的两边同时增加一个积分变量badx ⎰，使得一元积分不等式化为二元积分不等式，然后巧妙的运用转换积分变量顺序的方法达到证明一元积分不等式的方法.在利用重积分来证明积分不等式的时候，我们不但可以采用直接增元法，还可以采用转换法.关于转换法又分为将累次积分转换为重积分，以及将常数转换为重积分这两种形式.下面我们将依次来介绍这两种方法.1.将累次积分转为重积分命题二[11] 若()f x 在[,]a b 上可积,()g y 在[,]c d 上可积,则二元函数()()f x g y 在平面区域{(,)|,}D x y a x b c y d =≤≤≤≤上可积,且()()()()()()bd b dacacDf xg y dxdy f x dx g y dy f x dx g x dx ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．其中{(,)|,}D x y a x b c y d =≤≤≤≤[11] 设()p x ,()f x ,()g x 是[,]a b 上的连续函数,在[,]a b 上,()0p x >,()f x ,()g x 为单调递增函数,试证：()()()()()()()()bb b baaaap x f x dx p x g x dx p x dx p x f x g x dx ≤⎰⎰⎰⎰．证明：由()()()()()()()()b bbbaaaap x f x dx p x g x dx p x dx p x f x g x dx ≤⎰⎰⎰⎰可知：()()()()()()()()0bb b baaaap x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx -≥⎰⎰⎰⎰,令()()()()()()()()b bbbaaaaI p x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx =-⎰⎰⎰⎰,下证0I ≥；()()()()()()()()b b b baaaaI p x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx =-⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()b b b baaaap x dx p y f y g y dy p x f x dx p y g y dy =-⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()bbbba a aap x p y f y g y dxdy p x f x p y g y dxdy =-⎰⎰⎰⎰()()()[()()]bba ap x p y g y f y f x dxdy =-⎰⎰． (3.7)同理()()()()()()()()bbbbaaaaI p x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx =-⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()b b b baaaap y dy p x f x g x dx p y f y dy p x g x dx =-⎰⎰⎰⎰()()()[()()]b baap y p x g x f x f y dxdy =-⎰⎰． (3.8)(3.7)+(3.8) 得2()()[()()][()()]bbaaI p x p y g y g x f y f x dxdy =--⎰⎰,因为()f x ,()g x 同为单调增函数,所以[()()][()()]0g y g x f y f x --≥ 又因为()0p x >,()0p y >,故2()()[()()][()()]0bbaaI p x p y g y g x f y f x dxdy =--≥⎰⎰,即0I ≥． 证毕2.将常数转换为重积分的形式在例中我们介绍了将累次积分转换为重积分,在下面的例中我们将对常数转换为重积分来进行说明．我们可以发现有这样一个命题,若在二重积分中被积函数(,)f x y k =,则可得到2()Dkd k b a σ=-⎰⎰,其中{(,)|,}D x y a x b a y b =≤≤≤≤．函数()f x 在[,]a b 上连续,且()0>x f 试证：21()()()b baaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰．本题与前面的例3.1以及例题目,在这里我们将利用重积分证明此题． 证明：原题即为 1()()bba aDf x dx dy d f y σ≥⎰⎰⎰⎰, 移项可得()(1)0()Df x d f y σ-≥⎰⎰,()()()2(1)(1)(1)0()()()DD Df x f x f y d d d f y f y f x σσσ-=-+-≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰, 所以即为证()()(2)0()()Df x f y d f y f x σ+-≥⎰⎰,因为()0f x ≥,()0f y ≥,所以()()20()()f x f y f y f x +-≥． 故 ()()(2)0()()Df x f y d f y f x σ+-≥⎰⎰ 恒成立,即21()()()b b a a f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰成立, 证毕通过以上三道例题我们可以大致了解到，在这一类定积分不等式的证明过程中我们一般先将所要证明的不等式转化为二次积分的形式,进一步再转换为二重积分,最后利用二重积分的性质或其计算方法得出结论.这种方法克服了数学解题过程中的高维数转化为低维数的思维定势,丰富了将二重积分与定积分之间互化的数学思想方法．3.8 利用微分中值定理微分中值定理是数学分析中的重要的一个基本定理,它是指罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒中值定理这四种定理.关于微分中值定理的应用也是很广泛的,证明不等式是微分中值定理最基本的应用之一.在这里我们将对利用柯西中值定理及拉格朗日中值定理证明积分不等式进行研究.下面将通过两个例子来具体说明这两个定理在证明积分不等式中的应用,以及不同的微分中值定理在证明不等式时的区别．[12] 设()0f a =,()f x 在区间[],a b 上的导数连续,证明：()()[]()2,11max 2bax a b f x dx f x b a ∈'≤-⎰． 证明：应用Lagrange 中值定理,(),a x ξ∃∈,其中a x b <<,使得 ()()()()f x f a f x a ξ'-=-, 因为()0f a =, 所以()f x M x a ≤-, [](),max x a b M f x ∈'=,从a 到b 积分得 ()bb aaf x dx M x a dx ≤-⎰⎰()()222bab M M x a dx x a =-=-⎰()()()221max 22M b a f x b a '=-=-．即()()[]()2,11max 2bax a b f x dx f x b a ∈'≤-⎰. 证毕 [13] 设函数()f x 在[]0,1上可微,且当()0,1x ∈时,()01f x '<<,()00f =试证：()()()21130f x dxf x dx >⎰⎰．证明：令()()()2xF x f t dt =⎰,()()30xG x f t dt =⎰,()(),F x G x 在[]0,1上满足柯西中值定理,则()()()()()()()()()211301010f x dxF F FG G G f x dxξξ'-=='-⎰⎰()()()()()003222f f t dt f t dt f f ξξξξξ==⎰⎰()01ξ<< ()()()()02220f t dt f t dtf fξξ-=-⎰⎰()()()22f f f ηηη='()11f η=>' , ()01ηξ<<<．所以()()()21120f x dxf x dx >⎰⎰． 证毕通过以上两道题目可以发现：1.在应用Lagrange 中值定理时先要找出符合条件的函数()f x ,并确定()x f 在使用该定理的区间[]b a ,,对()x f 在区间[]b a ,上使用该定理．若遇到不能用该定理直接证明的,则从结论出发,观察并分析其特征,构造符合条件的辅助函数之后再应用Lagrange 中值定理．2.在研究两个函数的变量关系时可以应用Cauchy 中值定理,在应用该定理证明不等式时关键是要对结果进行分析,找出满足Cauchy 中值定理的两个函数()x f ,()x g ,并确定它们应用柯西中值定理的区间[]b a ,,然后在对()x f ,()x g 在区间[]b a ,上运用Cauchy 中值定理．无论是Cauchy 中值定理还是Lagrange 中值定理在积分不等式的证明中都各具特色,都为解题提供了有力的工具.总之在证明不等式时需要对结论认真的观察有时还需要进行适当的变形,才能构造能够应用中值定理证明的辅助函数,进而利用微分中值定理证明不等式．4．总结我们通过查阅有关积分不等式的文献和资料,并对其中的相关内容进行对比和分析后,将有关的内容加以整理并扩充形成了本文.在论文中给出了两个重要的积分不等式的证明以及总结了八种积分不等式的证明方法.然而由于自己的参考资料面不够广,参考的大多数文献都是仅给出了例题及其证明方法,而并没有给出进一步的分析,同时自己的知识面较窄,能力有限,导致还有很多难度较大的问题尚未解决．例如,在实际的问题中,还有一些证明方法是我们所不知道的,并且还有一些不等式并不能用本文所给出的八种方法来证明,这就需要我们进一步的思考与研究.今后我们应该更多的参考其他资料,充分拓展思路,以便于提出新的观点．参考文献[1]王宇,代翠玲,江宜华．一个重要积分不等式的证明、推广及应用[J]．荆州师范学院学报(自然科学版),2000,23(5)：106[2] 张盈．Cauchy-Schwarz不等式的证明、推广及应用[J]．高师理科学刊,2014,34(3):34-37[3] 黄群宾．积分不等式的证明[J]．川北教育学院学报,1996,6(4):22-27[4] 李志飞．积分不等式的证明[J]．高等数学研究,2014,17(6)：50-51[5]郝涌,王娜,王霞,郭淑利．数学分析选讲[M]．北京：国防工业出版社,2014[6]张瑞,蒋珍．定积分不等式证明方法的研究[J]．河南教育学院学报(自然科学版),2011,20(2)：18[7]林忠．一个积分不等式的几种证明方法[J]．成都教育学院学报,2006,20(12)：66[8]刘法贵．证明积分不等式的几种方法[J]．高等数学研究,2008,11(1):122[9] 苏德矿,李铮,铁军．数学强化复习全书[M]．北京：中国证法大学出版社,2015[10] 李小平,赵旭波．定积分不等式几种典型证法[J]．高等数学研究,2009,12(6):13-17[11] 黄云美．重积分在积分不等式证明中的应用[J]．杨凌职业技术学院学报,2014,13(3):27-33[12] 葛亚平．积分不等式证明的再认识[J]．河南教育学院学报(自然科学版),2015,24(3):18-20[13] 王丽颖,张芳,吴树良．积分不等式的证法[J]．白城师范学院学报,2007,21(3): 19-22。
利用变上限积分构造辅助函数证明一些积分不等式
利用变上限积分构造辅助函数证明一些积分不等式积分不等式在数学中有着非常重要的应用，其可以用来证明其他更加复杂的定理，同时也具有广泛的实际应用。
在本文中，我们将介绍如何利用变上限积分构造辅助函数证明一些积分不等式。
1. 变上限积分变上限积分，又称为广义积分，是指积分上限不确定的积分。
更具体地说，如果$f(x)$是在$[a,b)$上的可积函数，那么$f(x)$在$[a,b]$上的变上限积分定义为：$$\int_a^b f(x)dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x)dx$$$t \to b^-$表示$t$从左侧逼近$b$，也就是说，$t$可以任意接近$b$但不等于$b$。
可以看出，如果$\int_a^t f(x)dx$无限趋近于一个确定的值，那么$\int_a^bf(x)dx$就存在。
反之，如果无限趋近于$\infty$或$-\infty$，那么$\int_a^b f(x)dx$就不存在。
2. 构造辅助函数下面我们将介绍如何利用变上限积分构造辅助函数。
如果$f(x)$是一个连续可导的函数，那么我们可以通过构造辅助函数来研究$f(x)$的性质。
具体地说，我们定义函数$F(x)$如下：$a$是一个常数。
然后，我们利用$f(x)$和$F(x)$之间的关系，构造一个函数$g(x)$：我们可以通过对$g(x)$求导来研究$f(x)$的性质。
具体来说，我们有：于是，如果$g'(x)$的符号与$f(x)$的符号相同，那么$f(x)$就是单调递增或单调递减的。
如果$g'(x)$的符号与$f(x)$的符号相反，那么$f(x)$就在$x$处有极值。
这个结论非常有用，在证明一些积分不等式时经常会用到。
3. 应用举例下面我们将通过举例来演示如何使用上述方法证明一些积分不等式。
例1：证明斯特林公式：$$n! \sim \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n$$证明：定义函数：$$f(x) = ln(x)$$函数的图像如下所示：然后，我们计算$F(x)$：$$g(x) = ln(x)e^{-\lambda((x-1)ln(x)-x+1)}$$我们要证明的是：$$\int_1^n ln(x)dx - \frac{1}{2}(ln(2\pi)+ln(n)+ln(1-\frac{1}{n^2})) \to 0$$我们现在对$f(x)$和$g(x)$分别使用上面的结论。
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* * * * 大学 * * 学院毕业论文（设计）（ * 届）题目：关于积分不等式的证明院（系、部）：数学系专业：数学与应用数学姓名： ****学号 ********指导教师：**********大学**学院教务处制摘要：积分不等式是微积分学中的一类重要不等式，在数学分析中有着广泛的应用，且在考研试卷中会经常出现。
研究积分不等式的证明方法，不仅解决了一些积分不等式的证明，而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来，拓宽我们的视野，提高我们的发散思维能力和创新能力。
本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明：利用单调性来证积分不等式、利用施瓦茨不等式来证积分不等式、利用拉格朗日中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用Taylor公式来证积分不等式、利用函数的凹凸性来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式。
关键词：积分不等式；单调性；施瓦茨不等式；拉格朗日中值定理；Taylor公式；凹凸性；二重积分。
Abstract：Integral inequality is a kind of important inequality in the calculus，which is broadly used in mathematical analysis and usually appears inPostgraduate examinations. The study of integral inequality can help us not onlysolve some integral inequality of equation, but also put the primary mathematicsknowledge and higher mathematics knowledge together to broaden our horizonsand improve our ability of thinking and innovation. The purpose of this paper isto discuss the proving of the Integral inequality from the following aspects: bythe use of the monotonicity of function, Schwarz inequality, Lagrange meansvalue theorem, integral mean value theorem, Taylor formula, concavo convexcharacteristic of function, double integral and so on.Key words: Integral inequality; monotonous; Schwarz inequality; Lagrangemean value theorem; Taylor formula; concavo-convex characteristic; doubleintegral.目录1. 利用单调性来证积分不等式 (4)1.1函数单调性的有关概念 (4)1.2 函数单调性在证明积分不等式上的相关应用 (4)2. 利用施瓦茨不等式来证积分不等式 (4)2.1施瓦茨不等式的有关概念 (4)2.2施瓦茨不等式在证明积分不等式上的相关应用 (5)3. 利用拉格朗日中值定理来证积分不等式 (5)3.1拉格朗日中值定理 (5)3.3拉格朗日中值定在证明积分不等式上的相关应用 (6)4. 利用积分中值定理来证积分不等式 (6)4.1 积分中值定理的有关概念 (6)4.2 积分中值定理在证明积分不等式上的相关应用 (7)5. 利用Taylor公式来证积分不等式 (7)5.1Taylor公式的有关概念 (8)5.1.1带皮亚诺（Peano）余项的泰勒公式 (8)5.1.2带拉格朗日余项的泰勒公式 (8)5.2 Taylor公式在证明积分不等式上的相关应用 (8)6. 利用函数的凹凸性来证积分不等式 (10)6.1 函数的凹凸性的有关概念 (10)6.2 函数的凹凸性在证明积分不等式上的相关应用 (10)7. 利用二重积分来证积分不等式 (11)7.1 二重积分的有关概念 (11)7.2 二重积分在证明积分不等式上的相关应用 (11)8.结论 (12)9.谢辞 (13)10.参考文献 (14)绪论积分不等式是微积分学中的一类重要不等式，在数学分析中有着广泛的应用，且在考研试卷中会经常出现。
对积分不等式证明方法的介绍，不仅解决了一些积分不等式的证明，而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来，拓宽我们的视野，提高我们的发散思维能力和创新能力。
目前国内的本课题研究比较普遍，主要是研究如何利用微积分相关知识来解决一些比较复杂的积分不等式的证明。
文献[6]中作者举了七种常用的证明积分不等式的方法。
文献[7]中作者主要用构造辅助函数和Taylor展开式来证明积分不等式,此方法为解决一些难度较大的积分不等式提供了不少帮助。
本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明：利用单调性来证积分不等式、利用施瓦茨不等式来证积分不等式、利用拉格朗日中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用Taylor公式来证积分不等式、利用函数的凹凸性来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式。
1.利用单调性来证积分不等式1.1 函数的单调性的有关定理［1］定理 1 设()f x 在区间I 上可导，则()f x 在I 上递增(递减)的充要条件是''()0(()0)f x f x ≥≤。
［1］定理2如果可导函数 ()f x 在(,)a b 内递增(递减)且()0f a =,则()0(()0)f x f x ≥≤((,))x a b ∈。
1.2 函数的单调性在证明积分不等式上的应用例1若)()(x g x f 、在[,]a b 上可积，则⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ba b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(222证：将b 改写为x ，并设()()dt t g dt t fdt t g t f x F xa xa x a ⎰⎰⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛=222)()()(，()()()()()()()()()dt t f x g dt t g x f x g x f dt t g t f x F x axax a⎰⎰⎰--⋅=2222'2= ()()()()()()()()dt t f x g t g x fx g x f t g t f xa 2222--⎰=()()()()dt t g x f x g t f x a2)(--⎰ 0≤从而知)(x F 为减函数，于是有)()(a F b F ≤，又)(a F =0，所以0)(≤b F 因此有⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ba b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(222注：利用函数的单调增减性证明积分不等式，先将定积分改写成变上限的积分，移项使不等式一端为0，另一端设为)(x F ，再验证)(x F 的单调增减性。
2利用施瓦茨不等式来证积分不等式2.1 施瓦茨不等式的有关概念定理［10］定理3 若)()(x g x f 、在[,]a b 上可积，则⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ba b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(222，其中等号当且仅当存在常数βα、，使得)()(x g x f βα=时成立（βα、不同时为零）［1］定义1:称⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ba b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(222为施瓦茨不等式 注：应用施瓦茨不等式证明积分不等式时要注意恰当地选取函数)(x f 与)(x g 。
2.2 施瓦茨不等式在证明积分不等式上的相关应用例2 已知0)(≥x f ，在[],a b 上连续，1)(=⎰dx x f ba，k 为任意实数，求证：1sin )(cos )(22≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx kx x f dx kx x f ba b a （1）证：（1）式左端第一项应用施瓦茨不等式=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰2cos )(dx kx x f ba ()≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰2cos )()(dx kx x f x f ba⎰⎰⋅babakxdx x f dx x f 2cos )()(⎰=bakxdx x f 2cos )( （2）同理⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ba b a kxdx x f kxdx x f 22sin )(sin )( （3）（2）+（3）即得式（1）。
3.利用拉格朗日中值定理来证积分不等式3.1 拉格朗日中值定理［1］定理4: 设函数()f x 满足如下条件： （1）()f x 在闭区间[],a b 上连续； （2）()f x 在开区间(,)a b 内可导， 则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-。
注：称()()()f b f a f b aξ-'=-为拉格朗日公式注：拉格朗日公式有如下等价的表示形式:(1) ()()()()f b f a f b a ξ'-=-(2) ()()()()(),01f b f a f a b a b a θθ'-=+--<<(3) ()()(),01f a h f a f a h h θθ'+-=+<<3.2 拉格朗日中值定理在证明积分不等式上的相关应用利用拉格朗日中值定理的关键是根据题意选取适当的函数()f x 和区间[],a b ，使它们满足拉格朗日定理条件，然后运用拉格朗日公式或等价形式来运算得出所要的结论。
例3 设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且'()0,()f a f x M =≤，试证22()()baf x M b a ≤-⎰证： 由拉格朗日中值定理知'()()()()f x f a f x a ξ-=-由()0f a =有()f x ='()()()x a f x a M ξ-≤-于是2()()()2bbaa b a f x dx x a Mdx M -≤-=⎰⎰，因此22()()baf x dx M b a ≤-⎰注：如果积分不等式的条件中有一阶可导,则我们常常可以用拉格朗日中值定理来证积分不等式.4. 利用积分中值定理来证积分不等式4.1 积分中值定理的有关概念［6］定理5（积分第一中值定理）设()f x 在[],a b 上连续，()g x 在[],a b 上可积且不变号，则存在[],a b ξ∈，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰特别地，当()1g x =时，存在[],a b ξ∈，使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰［6］定理6（积分第二中值定理）（1）设()f x 在[],a b 上单调递增且非负，()g x 在[],a b 上可积，则存在[],a b ξ∈，使得()()()()bba f x g x dx fb g x dx ξ=⎰⎰（2）设()f x 在[],a b 上单调递增且非负，()g x 在[],a b 上可积，则存在[],a b ξ∈，使得()()()()baaf xg x dx f a g x dx ξ=⎰⎰（3）设()f x 在[],a b 上单调递增且非负，()g x 在[],a b 上可积，则存在[],a b ξ∈，使得()()()()()()bbaaf xg x dx f a g x dx f b g x dx ξξ=+⎰⎰⎰4.2 积分中值定理在证明积分不等式上的相关应用例4 证明24arctan 99xdx ππ≤≤分析：arctan x x 积分不好积，如果把arctan x 从积分号里拿到外面，积分就容易了，因此用积分中值定理。