解析几何讲义

1．求轨迹与轨迹方程的注意事项

(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足

的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．

(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些

解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形．

2．定点、定值问题的处理方法

定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果．

3．圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法

(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解

决；

(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，

再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：

①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等

量关系；

③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

④利用基本不等式求出参数的取值范围；

⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.

例题

一、选择题

1． 已知方程x 2k ＋1＋y 2

3－k

＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ( ) A ．k <1或k >3

B ．1

C ．k >1

D ．k <3

2． △ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹

方程是

( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29

＝1 3． 设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半

径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是

( ) A ．(0,2)

B ．[0,2]

C ．(2，＋∞)

D ．[2，＋∞) 4． 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23

＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为 ( )

A ．2

B ．3

C ．6

D ．8

5． 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在

第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是

( )

A ．(0，＋∞)

B ．(13，＋∞)

C ．(15

，＋∞) D ．(19，＋∞) 二、填空题

6． 直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m

＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________． 7． 设F 1、F 2为椭圆x 24

＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF →1·PF →2的值等于________．

8． 已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴

的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．

9． (2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得

∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．

三、解答题

10．已知直线x －2y ＋2＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝103

分别交于M ，N 两点．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)求线段MN 的长度的最小值．

11．在平面直角坐标系中，点P (x ，y )为动点，已知点A (2，0)，B (－2，0)，直线P A 与

PB 的斜率之积为－12

. (1)求动点P 的轨迹E 的方程；

(2)过点F (1,0)的直线l 交曲线E 于M ，N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (M 、Q 不重合)，求证：直线MQ 过x 轴上一定点．

12．(2013·课标全国Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外

切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .

(1)求C 的方程；

(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.