数学发展简史数学发展简史

数学发展简史数学发展简史

一、数学起源

1．希腊人发现了推理的作用

古典时期（公元前600－前300年）的希腊人，认识到人类有智慧、有思维，能够发现真理。

2．最早提出自然界数学模式的是以毕达哥拉斯（Pythagoras）为领袖的座落于意大利南部的毕达哥拉斯学派。3．继毕达哥拉斯学派之后，最有影响的是由柏拉图学派，他控制了公元前4世纪这一重要时期希腊人的思想，他是雅典柏拉图学院的创立者，存在了九百年之久。

4．亚里士多德是柏拉图的学生，他批评柏拉图的冥世思想以及把科学归结为数学的认识。他是一个物理学家，他相信真正的知识是从感性的经验通过直观和抽象而获得。

他认为，基本概念应该是不可定义的，否则就没有起始点。他又区分了公理和公设。

公理――对所有思想领域皆真。

公设――适用于专业学科，如几何学。

5．欧几里得（Euclid）、阿基米得（Archimedes）、丢番图等属于希腊文化的第二个重要时期，亚历山大里亚时期（公元前300年－公元600年）

欧几里得（公元前约300年），他的代表作《几何原本》是一本集希腊数学大成的巨着，成为两千年来用公理法建立演绎的数学体系的典范。

二、数学的繁荣（文艺复兴（15世纪初到17世纪的200年）

1．希腊人的宗旨――自然是依数学设计的，与文艺复兴时的信念――上帝是这个设计的作者，融汇在一起，统治了欧洲。

2．笛卡儿（Descartes，1596－1650）

被誉为数学王冠上的明珠之一，但他首先是一个哲学家，其次是宇宙学家，第三是物理学家，第四是生物学家，第五才是数学家。

极其敏锐的直觉和对结果的演绎――这就是笛卡儿认识哲学的实质。

笛卡儿认为：思维只有两种方法，这就是：直觉和演绎。

笛卡儿对数学本并没有提出什么新定理，但他却提供了一种非常有效的研究方法，即《解释几何》。

在科学上，笛卡儿的贡献，虽然不如像哥白尼、开普勒以及牛顿那样辉煌灿烂，但也不容轻视。

3．帕斯卡（Pascal）：是17世纪伟大的数学家之一。

4．伽利略与笛卡尔齐名，他的主要贡献是他在科学方法上的许多变革。

a) 他要研究和证明的是一些运动的性质而不考虑为会什么会这样。

b) 他坚持向自然科学家提议：不要研究为什么会这样，只要讨论怎样定量描述。

c) 他的另一个原则是：科学的任一分支都可用数学模型模仿出来。

5．牛顿是剑桥大学的数学教授，被称为最伟大的数学家之一，牛顿认为数学是枯燥和乏味的，只是表述自然定律的一种工具。

牛顿的真正的成就在于证明了开普勒经过多年观测和研究得出的开普勒三定律可以由万有引力定律和运动三定律用数学方法推导出来。拉普拉斯曾说过，牛顿是最幸运的人，因为只有一个宇宙，而他成功地发现了它的定律。

6．

莱布尼茨（Leibnitz，1646－1716，法国数学家），主要是个哲学家，他多才多艺，对数学、科学、历史、逻辑学、法律、外交和神学的贡献都是首屈一指的。

7．欧拉（Euler，1707－1783，瑞士），是18世纪最伟大的数学家，也是数学史上最多产的数学家，其论着几乎涉及18世纪所有的数学分支。

欧拉认为所有自然现象之所以表现如此，是因为它们要使某些函数达到极大或极小，因而，基本的物理原理应包括达到极大或极小的函数。

△数学支配一切，18世纪最伟大的智者对此深信不疑。

三、第一场灾难：真理的丧失（非欧几何和四元数的发现）

1．进入19世纪，数学界正是一派祥瑞景象：

1) 拉格朗日：仍然活跃在数学界；

2) 拉普拉斯：正处在他智力的顶峰时期；

3) 傅立叶：至力于热的传导研究，他发展了无穷三角级数――现称为傅立叶级数的理论。对他的工作无论用什么词来赞誉都不过分。

4) 高斯（Gauss）：发表了他的《算术研究》（1801），这是关于数论的一个里程碑，赢得了数学王子的雅称。

5) 柯西（Cauchy）：他的数学论文超过700篇，仅次于欧拉，能与高斯匹敌。

2．到1800年时上帝的存在越来越不被感觉到，然而当时的数学家们还是相信严格的数学真理和自然界的数学法则，在所有的数学分支中，欧氏几何最受推崇。

“上帝”所攻击的正是欧氏几何。

达兰贝尔在1759年解平行公理问题是“几何原理中的家丑”

3．非欧几何的产生：

1) 1813年起，高斯开始发展他的非欧几何。

2) 创造非欧几何的人是罗巴切夫斯基。

3) 物理空间的几何可以是非欧几里得的，它的创建的是黎曼（Kieman），他是高斯的学生。

4．高斯认为，真理存在于数中，它是算术、代数、微积分以及后续学科的基础。

雅可比（Jacobi）说：“上帝一直在进行算术化”。一直到1850年，算术在科学上远比几何使用得更为广泛，不幸的是毁灭性的事情接踵而来。

5．从16世纪开始，数学家们就在使用微量的概念了。

复数被用作向量代数――二维数

用什么来表示空间中某种三维数的向量及其代数运算呢？

6．四元数的引入：

1)

1843年，哈密尔顿提出了一个有用的复数的空间类似物，为此他困惑了15年。他的新数包含四个分量，其次，他不得不牺牲了乘法交换律。他把这种数叫做四元数。

（a+bi+ci+dk）

2) 四元数的引入给了数学家们又一次震动。它是一个确实有用途的代数，却不具备所有实数和复数的基本性质，即ab=ba

3) 继四元数后不久，数学家们引入了更奇怪的代数，如，着名代数几何学家凯莱引进了矩阵，它是矩形或正方形数组。

4)

对算术真理的最严重打击来自于亥姆霍兹（Helmholtz）他的结论是：只有经验能告诉我们算术的法则能用在哪里，我们并不能肯定一条先验公式是否在任何情况下都适用。

如，分数的加法运算在计算平均速度时，就有

7．数学中没有真理，即作为现实世界普适法则。

希腊人试图从几条自明的真理出发和仅仅使用演绎的证明方法来保证数学的真实性被证明是徒劳的。

1）

数学并不是一堆天然的钻石，而不过是人工宝石，某些领域的经验启发特定的公理，在这些领域，这些公理及真逻辑结果能够非常精确地作有价值的描述。但是，一旦这一领域扩展了，这种适用性就可能失去。

2）既然数学家们已经放弃了上帝，我们就应该相信人。自然法则是人的创造物，是我们，而不是上帝，才是宇宙法则的制定者，自然法则是人的描述而不是上帝的命令。

3）1750年数学家们可以这样夸耀他们的发明：

沐浴着上帝的光芒，

我们走向四面八方。

到了1850年，他们不得不沮丧地承认