三棱锥的几个重要性质,!

直角三棱锥的几个性质

有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。

我们已经学习过的直角三角形的性质有： 性质1：Rt Δ的垂心就是直角顶点。 性质2：Rt Δ的两个锐角互余。

性质3：Rt Δ两直角边的平方和等于斜边的平方。

性质4：Rt Δ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，Rt Δ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。

性质5：Rt Δ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。 性质6：Rt Δ斜边上的中线等于斜边的一半。

(所以Rt Δ的外接圆半径R ＝

21c ＝2122b a +)。

性质7：Rt Δ的内切圆半径r ＝

2

2b a b a ab

+++＝

2

1

(a ＋b －c)。 现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。如图所示，在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c 。

∵PA 、PB 、PC 两两垂直， ∴PA ⊥面PBC ，PB ⊥面PCA ，PC ⊥面PAB ， ∴面PAB 、面PBC 、面PCA 两两垂直。作PH ⊥面ABC 于H ，连CH 并延长并交AB 于D ，连PD ，则PH ⊥AB ，PH ⊥CD ，面PCD ⊥面ABC ；而PC ⊥面PAB ⇒PC ⊥AB ，所以AB ⊥面PCD ，∴AB ⊥PD ，AB ⊥CH 。同理，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 。

由AB ⊥面PCD 知CD ⊥AB ，而PD ⊥AB 且∠APB ＝ 90°，∴∠ABC 、∠CAB 为锐角。同理，∠BCA 也是锐角，从而有：

性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。

由AB ⊥CH ，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 易知，H 是ΔABC 的垂心，由此可得： 性质2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。

在Rt ΔPAB 中，PD ·AB ＝PA ·PB ⇒PD ＝

2

2b a ab +；在Rt ΔPCD 中，CD 2＝PD 2＋PC 2

＝(

22b a ab

+)2

＋

c 2

＝2

2222222b a a c c b b a +++；在Rt ΔPCD 中，PH ⊥CD ，∴PD ·PC ＝CD ·PH ⇒PH 2

＝2

22CD PC PD ⋅＝

2

22222222

2

2)(b a a c c b b a c b a ab +++⋅+＝222222222a c c b b a c b a ++，∴21PH ＝222222222c b a a c c b b a ++＝21a ＋21b ＋2

1c

。因此有： 性质2：②直角三棱锥顶点到底面的距离为h 满足关系式21h ＝21a ＋21b ＋21

c

。

因PH ⊥面ABC ， ∴侧棱PC 与底面ABC 所成角为∠PCH ＝α，则有sin 2∠PCH ＝sin 2

α＝2

2CD PD ＝

2

22222222

22)(b a a c c b b a b a ab ++++＝2

2222222a

c c b b a b a ++。 同理,侧棱PB 与底面ABC 所成角为∠PBH ＝β,sin 2

∠PBH ＝

sin 2

β＝2

2222222a c c b b a a c ++，侧棱PA 与底面ABC 所成角为∠PAH ＝γ，sin 2∠PBH ＝sin 2

γ＝2

222222

2a

c c b b a a c ++，所以sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝1。因此， 性质3：①直角三棱锥三条侧棱与底面所成角的正弦值的平方和等于1。三条侧棱与底面所成角，和三个侧面与底面所成角互为余角。

由AB ⊥PD,AB ⊥CD ，∴侧面PAB 与底面ABC 所成角为∠PDC ＝θ,由PC ⊥PD 知θ＋α＝90°,∴sin 2α＝sin 2(90°－θ)＝cos 2θ。类似推理，由sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝1。易得：sin 2θ＋sin 2δ＋sin 2ϕ＝

1。 另外，tan(P-AB-C)＝tan ∠PDC ＝

PD

PC

＝2

2b a ab c +＝c

2211b a +，同理，tan(P-BC-A)＝a 2211c

b + ，tan(P-CA-B)＝b

221

1a

c +。所以， 性质3：②直角三棱锥三个侧面与底面所成角的余弦值的平方和等于1。各角的正切值：tan(P-AB-C)＝c

2211b a +，tan(P-BC-A)＝a 2211c b + ，tan(P-CA-B)＝b 2

21

1a c +。 如图，Q 为底面ΔABC 内任一点，作点Q 到面PAB 的距离为RQ ＝d 1，到面PBC 的距离为RT ＝d 2，到面PCA

的距离为RS ＝d 3，容易得到：PQ 2

＝RQ 2

＋RP 2

＝RQ 2

＋RT 2

＋RS 2

＝d 12

＋d 2

2

＋d 32

性质4：①底面内任一点到顶点距离的平方，等于它到三个侧面距离的平方和。

所成角的余弦值cos

2

QP 与棱PA

α＝2

2PQ

SP ＝2

2

PQ

RT ，QP 与棱PB 所cos

2

β＝2

2

PQ

TP ＝成角的余弦值

2

2

PQ

RS ，QP 与棱PA 所成角的余弦值

2

2

PQ

RQ ， cos

2

γ＝

在PQ 2

＝RQ 2

＋RT 2

＋RS 2

两边同时除以PQ 2

，得cos 2

γ＋cos 2

α＋cos 2

β＝1；

性质4：②直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三条棱分别构成三个角，其余弦值的平方和为1。

QP 与面PAB 所成角的余弦值cos 2

θ＝222PQ RT RS +，QP 与面PBC 所成角的余弦值cos 2

δ＝2

22PQ

RQ RS +，QP 与面PCA 所成角的余弦值cos 2

ϕ＝2

22PQ

RQ RT +，由PQ 2＝RQ 2＋RT 2＋RS 2得2×PQ 2＝RS 2＋RT 2＋RS 2

＋RQ 2＋RT 2＋RQ 2,两边同时除以PQ 2，得cos 2θ＋cos 2δ＋cos 2

ϕ＝2，∴

1－sin 2θ＋1－sin 2

δ＋1－

sin

2

ϕ＝2，得sin 2θ＋sin 2δ＋sin 2ϕ＝1。

性质4：③直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三个侧面分别构成三个角，其正弦值的平方和为1。

底面三角形的面积S ABC ∆＝21AB ·CD ＝

2

1

2

2

b a +·

2

22

22222b a a c c b b a +++＝21222222a c c b b a ++，

这也可以当成直角三棱锥的一个性质：

性质5：①直角三棱锥底面三角形的面积S ＝

2

1

222222a c c b b a ++。