极坐标系概念
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从这里向东走 1000米就到了
请问：去西华三 高怎么走？
好心人
问路人
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向东走1000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
试一试？
请试着建立一个用距离与 角度确定平面上一点位置 的坐标系.
例3：互化下列直角坐标与极坐标
(2 3,2)
(4, )
6
(0,1)
(1, )
2
(3,0) (3, )
(3, 3 ) ( 3,1)
(2 3, 5 )
6
(2, 7 )
6
(5,0)
(5,0)
四、拓展： 重要结论：
1、极坐标系中点的对称关系?
, 关于极轴所在直线对称的点为 ,
, 关于极点对称的点为 ,
思考？
平面内一点P的直角坐标是 ( 3,1)， 其极坐标如何表示?点Q的极坐标 为 (5, 2 )，其直角坐标如何表示？
3
答案： P(2, ) Q( 5 , 5 3 ),
6
22
三、极坐标与直角坐标的 互化公式
直化极： 2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
极化直：x cos , y sin
2.极坐标系内两点 P(1,1 ), Q(2 ,2 ) 的距
离公式：
| PQ |
12
2 2
212
cos(1
2
)
例四：
（1）在极坐标系中,O是极
点，设点A(4, )，B(5, 5)，
3
6
|AB|= 41 20 3。
A
则△OAB的面积是___5___，
O
x
B
（2）在极坐标系中，与点 (3, ) 关 3
0, [0,2 )
3、极坐标与直角坐标的互化公式
2 x2 y2, tan y (x 0)
x
x cos , y sin
于极轴所在直线对称点的极坐标是 ____ _3,_3__ ___；关于极点所在直线对称 点的极坐标是____________
（3）在极坐标系中，若等边△ABC的 两个顶点A(2, ), B(2, 5 ) ，则顶点C的 坐标是＿＿＿＿4 ＿＿。4
小结
1、极坐标系的四要素
极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。 2、点与其极坐标一一对应的条件
G 5
3
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0)
D(5, 4 )
3
G(6, 5 )
3
B(6, 2 ) E(3, 5 )
6
C(3, )
2
F (4, )
2
4
5
6
C E
F
A O
B X
4
D
3
G 5
3
例2：下图是某校园的平面示意图，点 A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图 书馆,实验楼,办公楼的位置,建立适当 的极坐标系,写出各点的极坐标。
的极径， 叫做点M的极
角，有序数对（，）就
叫做M的极坐标。
O
X
（1） 表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；一 般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0， 可取任意实数 。 （2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ）， 可
取任意值。
例1：题组一：说出下图中各点的极
坐标
wenku.baidu.com
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F
3
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位
和角度单位及它的正 方向（通常取逆时针
方向）。
O X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点
M，用 表示线段OM的
长度，用 表示从OX到
M
OM 的角度， 叫做点M
D
C A(0,0) B(60,0)
C(120, ) D(60 3, )
E
50m45o
120m
60o
3 E(50, 3 ) 2
A O 60m B
X
4
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
一般地，极坐标 (, ) 与
( , 2 k )( k Z ) 表示同一个点。
三、极坐标系下点与它的极坐标的对应
情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐 标平面内确定唯一的一点M。
M (ρ,θ)…
[2]给定平面上一点M，但却有 O
X
无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。 如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一 一对应了.
四、课堂练习
4
1.已不知能极表坐示标点MM的(5坐, 标3 )的,是下(列C所)给出的
A、(5, 10 )
3
B、(5, 2 )
3
C、( 5 , )
3
D(5, 8 )
3
2.已知三点的极坐标为
A(2, ), B(
3
2, ),
O(0,0),则 ABO为( D ) 2
4
A、正三角形
B、直角三角形
C、锐角等腰三角形 D、等腰直角三角形
请问：去西华三 高怎么走？
好心人
问路人
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向东走1000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
试一试？
请试着建立一个用距离与 角度确定平面上一点位置 的坐标系.
例3：互化下列直角坐标与极坐标
(2 3,2)
(4, )
6
(0,1)
(1, )
2
(3,0) (3, )
(3, 3 ) ( 3,1)
(2 3, 5 )
6
(2, 7 )
6
(5,0)
(5,0)
四、拓展： 重要结论：
1、极坐标系中点的对称关系?
, 关于极轴所在直线对称的点为 ,
, 关于极点对称的点为 ,
思考？
平面内一点P的直角坐标是 ( 3,1)， 其极坐标如何表示?点Q的极坐标 为 (5, 2 )，其直角坐标如何表示？
3
答案： P(2, ) Q( 5 , 5 3 ),
6
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三、极坐标与直角坐标的 互化公式
直化极： 2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
极化直：x cos , y sin
2.极坐标系内两点 P(1,1 ), Q(2 ,2 ) 的距
离公式：
| PQ |
12
2 2
212
cos(1
2
)
例四：
（1）在极坐标系中,O是极
点，设点A(4, )，B(5, 5)，
3
6
|AB|= 41 20 3。
A
则△OAB的面积是___5___，
O
x
B
（2）在极坐标系中，与点 (3, ) 关 3
0, [0,2 )
3、极坐标与直角坐标的互化公式
2 x2 y2, tan y (x 0)
x
x cos , y sin
于极轴所在直线对称点的极坐标是 ____ _3,_3__ ___；关于极点所在直线对称 点的极坐标是____________
（3）在极坐标系中，若等边△ABC的 两个顶点A(2, ), B(2, 5 ) ，则顶点C的 坐标是＿＿＿＿4 ＿＿。4
小结
1、极坐标系的四要素
极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。 2、点与其极坐标一一对应的条件
G 5
3
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0)
D(5, 4 )
3
G(6, 5 )
3
B(6, 2 ) E(3, 5 )
6
C(3, )
2
F (4, )
2
4
5
6
C E
F
A O
B X
4
D
3
G 5
3
例2：下图是某校园的平面示意图，点 A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图 书馆,实验楼,办公楼的位置,建立适当 的极坐标系,写出各点的极坐标。
的极径， 叫做点M的极
角，有序数对（，）就
叫做M的极坐标。
O
X
（1） 表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；一 般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0， 可取任意实数 。 （2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ）， 可
取任意值。
例1：题组一：说出下图中各点的极
坐标
wenku.baidu.com
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F
3
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位
和角度单位及它的正 方向（通常取逆时针
方向）。
O X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点
M，用 表示线段OM的
长度，用 表示从OX到
M
OM 的角度， 叫做点M
D
C A(0,0) B(60,0)
C(120, ) D(60 3, )
E
50m45o
120m
60o
3 E(50, 3 ) 2
A O 60m B
X
4
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
一般地，极坐标 (, ) 与
( , 2 k )( k Z ) 表示同一个点。
三、极坐标系下点与它的极坐标的对应
情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐 标平面内确定唯一的一点M。
M (ρ,θ)…
[2]给定平面上一点M，但却有 O
X
无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。 如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一 一对应了.
四、课堂练习
4
1.已不知能极表坐示标点MM的(5坐, 标3 )的,是下(列C所)给出的
A、(5, 10 )
3
B、(5, 2 )
3
C、( 5 , )
3
D(5, 8 )
3
2.已知三点的极坐标为
A(2, ), B(
3
2, ),
O(0,0),则 ABO为( D ) 2
4
A、正三角形
B、直角三角形
C、锐角等腰三角形 D、等腰直角三角形