湖南师范大学602高等数学+850自然地理学2019考研真题
湖南师范大学2017年自然地理学考研历年真题及答案、伍光和笔记、全套复习资料、考点和重点总结
湖南师范大学资环院自然地理学考研必备手册（2017版）GIS遥感地理学，考研我们做的更专业适合科目：自然地理学湖南师大资环院考研群：319110820地学考研中心自然小组倾力打造之精品资料版块八湖师大资环院《自然地理学》考试大纲（2016）一、《自然地理学》2016考试大纲考试科目代码：[850]考试科目名称：自然地理学一、试卷结构1）试卷成绩及考试时间本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
2）答题方式：闭卷、笔试3）试卷内容结构参考书目部分80%科普阅读部分20%注:科普阅读部分主要是上中国知网、科学网了解地貌学方面的科学研究进展知识。
4）题型结构a名词解释题：8小题，每小题5分，共30分b简答题：4小题，每小题10分，共40分c分析题：2小题，每小题15分，共30分d论述题：2小题，每小题25分左右，共50分二、考试内容与考试要求………………地学考研中心买家权益提示1、收到资料后，请现场查阅，在不拆书钉的前提下，如果对资料不满意，三天之内，只需给我们打个电话，无条件退回，由此产生的一切费用由我们负责。
2、大家都是这个专业的，所以在考研复习的过程中，如果有什么问题，特别是专业课这块，请多和我们联系，还有就是复试的时候。
我们会与大家分享面试经历，应该对大家会有所帮助。
总之，会陪伴大家度过这一年时光，小问题qq，大问题电话就行。
二、《自然地理学》2016考试大纲解读湖师大的850《自然地理学》大纲，所列参考书较多。
主要包括四本：伍光和《自然地理学》、杨达源《自然地理学》、王建《现代自然地理学》、潘树荣《自然地理学》。
1、大纲编写解读………………【展示细节1】：对考题形式、权重及参考教材做出分析，目标清晰。
2、参考书选择解读伍光和《自然地理学》是按照自然地理环境要素编写。
大家看到的大纲体系也是按照自然地理环境要素要求，因而伍光和《自然地理学》是湖师大自然地理学专业和科目的首选参考书，毋庸置疑。
2019考研数学二真题及答案解析参考
2019全国研究生招生考试数学二真题及答案解析一、选择题1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B.2. C.3. D.4.2.）（π202≤≤+=x x cos x sin x y 的拐点A.⎪⎫⎝⎛2,2ππ B.()2,0C.(π3.A.⎰0C.⎰4.5.已，I 3=A.3I C.2I 6.0的什么条件？A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件7.设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组0=Ax 的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是 A.0 B.1 C.2D.38.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T的规范形为A.232221y y y ++B.232221y y y -+C.232221y y y --D.232221y y y ---二、填空题 9.2lim(2)x xx x →∞+=10.曲线sin 1cos x t t y t=-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处切线在y 轴上的截距为11.设函数()f u 可导，2()y z yf x =，则2z zxy x y∂∂+=∂∂12.13. 14.15.16.17.(y y =（1）求y （2）设平面区域{})x (y y ,x y ,D≤≤≤≤=021x ）（，求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.18.（本题满分10分） 已知平面区域D 满足()(){}4322y y x|y ,x ≤+，求.dxdy yx yx D⎰⎰++2219.（本题满分10分）x x f S ,N n x n sin e )(-+=∈是的图像与x 轴所谓图形的面积，求n S ，并求.S n n ∞→lim 20.（本题满分11分）已知函数)(y ,x u 满足,yu x u y u x u 033222222=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂求b,a 的值，使得在变换by ax y ,x v y ,x u +=)e ()(下，上述等式可化为)(y ,x v 不含一阶偏导数的等式.21.（本题满分11分）已知函数),(y x f 在[]1,0上具有二阶导数，且⎰===11)(,1)1(,0)0(dx x f f f ，证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得0)('=ξf ； （2）存在)1,0(∈η，使得2)(''-<ξf . 22.（Ⅱ）1ββ用21,,αα23.已知矩阵（1）求x ,（21.C 15.解：当0x >时，()()()()()22ln 2ln 22ln 2=2ln 2xx xx xx f x xeex x x '''===++.当0x <时，()()()e 1e e 1e x x x xf x x x x ''=+=+=+.当=0x 时，()01f =，()22ln 000112ln 0lim lim lim x x x x x x x e x xf x x x++++→→→--'====-∞，()00110lim lim 1x xx x xe f e x ---→→+-'===.故()()()22ln 2 0=1e 0x xx x x f x x x ⎧+>⎪'⎨+<⎪⎩. 令()=0f x '，得112,1x e x -==-.（1）当()()()10,,0,x e f x f x -'∈<单调递减， 当()()()1,0,x e f x f x -'∈∞>，+单调递增，故(f （2当x 故(f （3当x 故(f 16.17. 18.19.20.2222u x u y u x u y ∂=∂∂=∂∂∂∂∂带入得430340a b +=⎧⎨-=⎩，解得3434a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.21.22.解：（1）当210a -≠，即1a ≠±时，()()123123,,3,,,3r r αααβββ==，此时两个向量组必然等价，且3123=+βααα-.（2）当=1a 时，()123123111101,,,,,011022000000αααβββ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦此时两个向量组等价，()()3123=232+k k k βααα-++-.（3）当=1a -时，()123123111101,,,,,011022000220αααβββ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 此时两个向量组不等价.23.（1）A 与B 相似，则()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩（2）A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=2α⎛⎫ ⎪-；2=1λ-，22=1α-⎛⎫ ⎪；3=2λ-，31=2α-⎛⎫⎪.B 1=2λ所以其中。
2019全国硕士研究生考研数学二真题及答案解析
x ⎰ ⎰ 2 2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当 x → 0 时，若 x - tan x 与 x k是同阶无穷小，则k = A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.【答案】C3 【解析】 x - tan x ~ - ，所以选C. 32、设函数 y = x sin x + 2 cos x (- π x 3π) 的拐点π πA. ( , ).2 22 2 B. (0, 2). C. (π, -2).【答案】C.D. (3π , - 3π). 2 2【解析】令 y '' = -x sin x = 0 ，可得 x = π ，因此拐点坐标为（π，- 2）. 3、下列反常积分发散的是A.+∞x e - xd xB.+∞x e - x 2d x 0 C. +∞ arctan x d xD. +∞ x d x⎰0 【答案】D 1+ x 2⎰1+ x 2+∞【解析】xd x = +∞ln(x 2 +1)= +∞ ，其他的都收敛，选D. 0 1+ x 2 04、已知微分方程 y '' + ay ' + by = ce x 的通解为 y = (C A 、1,0,1B 、 1,0, 2C 、2,1, 3D 、2,1, 4【答案】 D.+ C x )e- x+ e x ，则 a 、b 、c 依次为 【解析】由通解形式知， λ = λ = -1 ， 故特征方程为（λ +1）2=λ 2+ 2λ +1=0 ， 所以12a = 2,b = 1 ，又由于 y = e x 是 y '+2 y ' + y = ce x 的特解，代入得c = 4 .5 、 已 知 积 分 区 域D = {(x , y ) | x + y， I 1 = ⎰⎰D x 2 + y 2 d x d y ，2 π} 21 ⎰ 1D1 2 31 2 3 1 2 3I 2 = ⎰⎰D x d y ， I 3 = ⎰⎰ (1-x d y ，试比较 I , I , I 的大小A. I 3 < I 2 < I 1C. I 2 < I 1 < I 3B. I 1 < I 2 < I 3D. I 2 < I 3 < I 1【答案】C【解析】在区域D 上0 ≤ x2+ y 2≤ π2 4,∴，进而 I 2 < I 1 < I 3.6 、已知 f (x ), g (x ) 的 二 阶导 数 在 x = a 处 连 续， 则 limx →af (x ) - g(x )(x - a )2= 0 是曲线y = f (x ), y = g (x ) 在 x = a 处相切及曲率相等的A. 充分非必要条件.B. 充分必要条件.C. 必要非充分条件.D. 既非充分又非必要条件. 【答案】A【解析】充分性:利用洛必达法则,有limf (x ) - g(x ) = lim f '(x ) -g '(x ) = lim f '(x ) - g '(x ) = 0.x →a(x - a )2 x →a 2(x - a ) x →a 2从而有 f (a ) = g (a ), f '(a ) = g '(a ), f '(a ) = g '(a ) ,即相切,曲率也相等. 反之不成立,这是因为曲率 K =f '(a ) = -g '(a ) ;选 A.3(1+ y '2 )2,其分子部分带有绝对值,因此 f '(a ) = g '(a ) 或7、设 A 是四阶矩阵， A *是 A 的伴随矩阵，若线性方程组 Ax = 0 的基础解系中只有 2 个向量，则 A *的秩是（ ） A.0 B.1 C.2D.3【答案】 A.【解析】由于方程组基础解系中只有 2 个向量，则r ( A ) = 2 ， r ( A ) < 3 ， r ( A *) = 0 .8、设 A 是3 阶实对称矩阵， E 是3 阶单位矩阵. 若 A 2+ A = 2E ，且 A = 4 ，则二次型x T Ax 规范形为A. y 2 + y 2 + y 2.B. y 2 + y 2 - y 2. y ''1 2 3 1 2 3⎩ C. y 2 - y 2 - y 2. D. - y 2 - y 2 - y 2.【答案】C【解答】由 A 2+ A = 2E ，可知矩阵的特征值满足方程 λ 2+ λ - 2 = 0 ，解得， λ = 1 或λ = -2 . 再由 A = 4 ，可知λ = 1, λ = λ = -2 ，所以规范形为 y 2 - y 2 - y 2 . 故答案选C.123123二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分． 29. lim(x + 2x) x= .x →02 2 x x lim ln(x +2 ) 【解析】lim(x + 2 ) x = e x →0 xx →02 x x + 2x -1 x其中lim ln(x + 2 ) = 2 l im = 2 lim(1+ 2 ln 2) = 2(1+ ln 2)x →0 x x →0 xx →02所以lim(x + 2x) x= e2+2ln 2= 4e 2x →0⎧x = t - sin t 310. 曲线 ⎨y = 1- cos t 在t = 2 π 对应点处切线在 y 轴上的截距 .【解析】d y= d x sin t 1- cos t 当t = 3 π 时， x = 3 π +1, y = 1, d y= -12 2 d x所以在t = 3 π 对应点处切线方程为 y = -x + 3π + 22 2所以切线在 y 轴上的截距为 3π + 22 y 2 ∂z ∂z11. 设函数 f (u ) 可导， z = yf ( x )，则2x ∂x + y ∂y= .∂z 【解析】 =' y 2- y 2= - y 3 ' y 2∂x yf ( )( x x 2) f ( ) x 2 x∂z = y 2' y 2 2 y y 2 2 y 2 ' y 2f ( ) + yf ∂y x ( )( x ) = f ( ) + x x xf ( )x∂z ∂z y 2 所以2x ∂x + y ∂y = yf ( x)12. 设函数 y = ln cos x (0 xπ) 的弧长为.66 ⎝ ⎭ ⎩πππ 1【解析】弧长 s =⎰61+ ( y ')2d x = ⎰61+ tan 2x d x = ⎰ 6d x0 cos x= ln |1 cos xπ+ tan x | = ln 0= 1 ln 3 2xsin t 2113. 已知函数 f (x ) = x⎰1td t ，则⎰0 f (x )d x =.xsin t 211【解析】设 F (x ) =⎰1td t ，则⎰0 f (x )d x = ⎰0 xF (x )d x = 1 1 F (x )d x 2 = 1 [x 2F (x )] 1 - 11 x 2d F (x )2 ⎰22 ⎰0= - 1 ⎰1 x 2 F '(x )d x = - 1 ⎰1 x 2 sin x 2 d x2 0 2 0 x = - 1 1 x sin x 2d x = 1 cos x 21 = 1 (cos1-1)2 ⎰04 04⎛ 1 -1 0 0 ⎫ -2 1 -11 ⎪14. 已知矩阵 A =⎪ ， A 表示 | A | 中 (i , j ) 元的代数余子式， 则3 -2 2 -1⎪ ij0 0 3 4 ⎪A 11 - A 12 = .1 -1 0 0 1 0 0 0 -2 1-1 1-2 -1 -1 1【解析】 A 11 - A 12 =| A |= 3-2 2 -1 =3 1 2 -1 0 03 4 03 4-1 -1 1 -1 -1 1= 1 2 -1 = 0 1 0 = -4 0 3 4 0 3 4三、解答题：15～23 小题，共 94 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本题满分 10 分）⎧⎪x 2 x , x > 0, 已知 f (x ) = ⎨⎪x e x +1, x 0, 求 f '(x ) ，并求 f (x ) 的极值.解: x > 0 时, f '(0) = (e2 x ln x)' = e 2 x ln x (2 ln x + 2) ;x < 0 时, f '(x ) = (x +1)e x ;3e xe + ⎩ ⎰ ⎰' f (x ) - f (0)e 2 x ln x -1又 f (0) = lim x →0+x - 0 = limx →0+x= lim 2x ln x = lim 2 l n x = -∞ ,x →0+xx →0+所以 f '(0) 不存在,因此'⎪⎧2x 2 x(1+ ln x ),x > 0,f (x ) = ⎨⎪(x +1)e x , x < 0. 令 f '(x ) = 0 ,得驻点 x = -1, x = 1;另外 f (x ) 还有一个不可导点 x = 0 ;1 3 e2又(-∞, -1) 为单调递减区间, (-1, 0) 为单调递增区间, (0, 1) 为单调递减区间, (1, +∞) 为单e e 1 1- 2 调递增区间;因此有极小值 f (-1) = 1- 和极小值 f ( ) = e e ,极大值 f (0) = 1.e e16、（本题满分 10 分） 3x + 6求不定积分(x -1)2(x 2+ x +1) d x .3x + 6232x +1解:⎰ (x -1)2(x 2+ x +1) d x = ⎰[- x -1 + (x -1)2+ x 2+ x + ]d x117、（本题满分 10 分）= -2 ln x -1 -3x -1+ ln(x 2 + x +1) + Cy = y (x ) 是微分方程 y ' - xy =x 2e 2 满足 y (1) = 的特解.（1） 求 y (x ) ；（2） 设平面区域 D = {(x , y }|1 x 2, 0 y y (x )} ，求 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.x 2解(1) y (x ) = e ⎰x d x[ e ⎰- x d x⋅1e 2 d x + C ] 2x 2= e 2 (⎰ x 2 d x + C ) = e 2(+ C ) ;又由 y (0) = 得C = 0 ,最终有2 x 2 x x 1 1sin 2 θ 2⎰π⎰πn n1 1(2)所求体积y (x ) = x 2 x e 2.V = ⎰ π( x 2x e 2 )2 d x = π⎰2x e x 2 d x= π e x 2 2 1 = π (e 4- e) . 218、已知平面区域 D 满足 xy ,(x 2+ y 2 )3y 4，求 ⎰⎰x d y .解:由 x y 可知区域 D 关于 y 轴对称,在极坐标系中,π θ3π;将 x = r cos θ , y = r sin θ代入(x 2+ y 2 )3由奇偶对称性,有44y 4 得 r ;x + yyπsin 2 θr sin θ ⎰⎰D x d y = ⎰⎰x d y = 2 2 d θ 04r d r rππ 43 2 = 2 sin 5 θ d θ = - 2 (1- cos 2 θ )2 dcos θ =1204419、设n 为正整数，记 S 为曲线 y = e - xsin x (0求lim S . n →∞x n π) 与 x 轴所围图形的面积，求 S n ，并解:设在区间[k π,(k +1)π] (k = 0,1, 2,L , n -1) 上所围的面积记为u k ,则u k =(k +1) π e - x| sin x | d x = (-1)kk π(k +1) π e - xsin x d x ;k π记 I = ⎰e- xsin x d x ,则 I = -⎰e - x d cos x = -(e - x cos x - ⎰ cos x de - x )= -e - x cos x - ⎰e - x dsin x = -e - x cos x - (e - x sin x - ⎰sin x de - x ) = -e - x (cos x + sin x ) - I ,所以 I = - 1e - x(cos x + sin x ) + C ;2因此u k= (-1)k(-1 )e -k (cos x + sin x )2 (k +1) πk π= 1(e -(k +1) π + e -k π ) ; 2(这里需要注意cos k π = (-1)k)x 2+ y 2x 2 + y 2x 2+ y 2⎰π ⎰⎰2⎰xx x 1因此n -11n-k π1 e -π - e -(n +1) πS n = ∑u k = 2 + ∑e = 2 + 1- e -π ;k =0k =11 e -π - e -(n +1) π1e -π 1 1 lim S n = + lim -π= + -π = + π n →∞2 n →∞ 1- e2 1- e 2 e -120 、已知函数 u (x , y ) 满足 2 ∂2u ∂x 2∂2u 2 ∂y 2 + 3 ∂u ∂x + 3 ∂u∂y = 0 ，求 a , b 的值， 使得在变换u (x , y ) = v (x , y )e ax +by 下，上述等式可化为v (x , y ) 不含一阶偏导数的等式.解: ∂u = v 'e ax +by + va e ax +by ,∂x ∂2u =x ' ax +by' ax +by ' ax +by2 ax +by ∂x 2v xx e + v x a e + v x a e + va e= v ' eax +by + 2av 'e ax +by + a 2v e ax +by∂u'ax +by ax +by ∂2u' ax +by ' ax +by 2 ax +by同理,可得 ∂y = v y e + bv e , ∂y 2= v yye + 2bv y e + b v e ;将所求偏导数代入原方程,有eax +by[2v ' - 2v ' + (4a + 3)v ' + (3 - 4b )v ' + (2a 2 - 2b 2+ 3a + 3b )v ] = 0 , xx yy x y从而4a + 3 = 0, 3 - 4b = 0 ,因此a = - 3 , b = 3.4 4121、已知函数 f (x , y ) 在[0,1] 上具有二阶导数，且 f (0) = 0, f (1) = 1, ⎰f (x )d x = 1 ，证明：（1）存在ξ ∈(0,1) ，使得 f '(ξ ) = 0 ；（2）存在η ∈(0,1) ，使得 f ''(η) < -2 .证明:(1)由积分中值定理可知,存在c ∈(0,1) ,使得⎰f (x )d x = (1- 0) f (c ) ,即 f (c ) = 1 .因此 f (c ) = f (1) = 1,由罗尔定理知存在ξ ∈(c ,1)(⊂ (0,1)) ,使得 f '(ξ ) = 0 .(2)设 F (x ) = f (x ) + x 2,则有 F (0) = 0, F (c ) = 1+ c 2, F (1) = 2 ;由拉格朗日中值定理可得:存在η ∈(0, c ) ,使得 F '(η = F (c ) - F (0) =c 2 +11 1 ) c - 0 c ;存在η ∈(c ,1) ,使得 F '(η = F (1) - F (c ) = 1- c 2 = +2 2 ) 1- c 1- c1 c ;-⎝ ⎭⎝ ⎭对于函数 F '(x ) ,由拉格朗然中值定理同样可得,存在η ∈ (η1,η2 (⊂ (0,1)) ,使得c 2 +1 1'' F '(η ) - F '(η ) (c +1) - 1- cc F (η) = 2 1 = = < 0 ,η2 -η1 η2 -η1 η2 -η1即 f ''(η) + 2 < 0 ;结论得证.⎡1 ⎤ ⎡1⎤ ⎡ 1 ⎤22. 已知向量组（Ⅰ） α = ⎢1 ⎥，α = ⎢0⎥ , α = ⎢ 2 ⎥，1 ⎢ ⎥ ⎢⎣4⎥⎦2 ⎢ ⎥ ⎢⎣4⎥⎦3 ⎢ ⎥⎢⎣a 2+ 3⎥⎦⎡ 1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 1 ⎤（Ⅱ） β = ⎢ 1 ⎥ , β = ⎢ 2 ⎥ , β =⎢ 3 ⎥ , ，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，1 ⎢ ⎥2 ⎢⎥ 3 ⎢ ⎥ ⎢⎣a + 3⎦⎥ ⎣⎢1- a ⎦⎥ ⎢⎣a 2+ 3⎥⎦求a 的取值，并将β3 用α1 , α2 , α3 线性表示.【解析】令 A = (α , α , α ) , B = ( β , β , β ) ，所以， A = 1- a 2 ， B = 2(a 2-1) .123123因向量组 I 与 II 等价，故r ( A ) = r (B ) = r ( A , B ) ，对矩阵( A , B ) 作初等行变换.因为⎛ 1 1 1 1 0 1 ⎫ ⎛ 1 1 1 1 0 1 ⎫ ( A , B ) =1 02 1 23 ⎪ → 0 -1 1 0 2 2 ⎪.⎪ ⎪ 4 4 a 2 + 3 a + 3 1- a a 2 + 3⎪ 0 0 a 2 -1 a -1 1- a a 2 -1⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭当 a = 1时，r ( A ) = r (B ) = r ( A , B ) = 2 ；当a = -1 时，r ( A ) = r (B ) = 2 ，但r ( A , B ) = 3 ； 当 a ≠ ±1时， r ( A ) = r (B ) = r ( A , B ) = 3 . 综上，只需a ≠ -1即可. 因为对列向量组构成的矩阵作初等行变换，不改变线性关系.⎛ 1 0 2 3 ⎫ ①当a = 1时，(α , α , α , β ) → 0 1 -1 -2 ⎪，故 β = x α + x α + x α 的等价方程1 2 3 3 ⎪ 0 0 0 0 ⎪ 3 1 1 2 2 3 3⎧ x 1 = 3 - 2x 3 , 组为 故 β = (3 - k )α + (-2 + k )α + k α （ k 为任意常数）； ⎨x = -2 + x . 3 1 2 3⎩ 23⎛ 1 0 0 1 ⎫ ②当a ≠ ±1时，(α , α , α , β ) →0 1 0 -1⎪ ，所以 β = α - α + α . 1 2 3 3 ⎪ 0 0 1 1 ⎪ 3 1 2 3⎩⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎡-2 -2 1 ⎤ ⎡2 1 0⎤ 23.已知矩阵 A = ⎢ 2 x -2⎥ 与B = ⎢0 -1 0⎥ 相似， ⎢ ⎥ ⎢ ⎥（Ⅰ）求 x , y ；⎢⎣ 0 0 -2⎥⎦ ⎢⎣0 0 y ⎥⎦（Ⅱ）求可逆矩阵P 使得P -1AP = B⎧⎪-2 + x - 2 = 2 -1+ y ,解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有⎨⎪ A = B ,又 A = -2(4 - 2x ) , B = -2 y ,所以 x = 3, y = -2 . (2)易知 B 的特征值为2, -1, -2 ;因此⎛ 2 1 0 ⎫ A - 2E ↓r↓→0 0 1 ⎪ ,取ξ = (-1, 2, 0)T ,⎪1 0 0 0 ⎪ ⎛ 12 0 ⎫ A+ E ↓r↓→0 0 1 ⎪ ,取ξ = (-2,1, 0)T ,⎪2 0 0 0 ⎪ ⎛ 4 0 1 ⎫ A+ 2E ↓r↓→0 2 -1⎪ ,取ξ = (-1, 2, 4)T⎪ 0 0 0 ⎪3⎛ 2 0 0 ⎫ 令 P = (ξ ,ξ ,ξ ) ,则有 P -1AP = 0 -1 0 ⎪;1 123 1 1 ⎪ 0 0 -2⎝ ⎭⎛ 1 -1 0 ⎫ ⎛ 2 0 0 ⎫ 同理可得,对于矩阵 B ,有矩阵 P = 0 3 0 ⎪ , P -1BP = 0 -1 0 ⎪ ,所以2 ⎪ 2 2 ⎪ 0 0 1 ⎪ 0 0 -2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ P -1 AP = P -1BP ,即 B = P P -1 APP -1 ,所以11222 11 2⎛ -1 -1-1⎫ P = PP-1 =2 1 2 ⎪ . 1 2⎪ 0 0 4 ⎪。
考研真题及详解-考研真题及详解-2019考研数学二考试真题(完整版)
2019考研数学二考试真题（完整版）一、选择题1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当x →0时，tan k x x x -与同阶，求k （ ）A.1B.2C.3D.42.sin 2cos y x x x =+3(,)22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的拐点坐标 A.2,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()0,2C.(),2π-D.33(,)22ππ- 3.下列反常积分发散的是A.0x xe dx +∞-⎰ B.20x xe dx +∞-⎰C.20tan 1arc x dx x+∞+⎰ D.201x dx x +∞+⎰ 4.已知微分方程x y ay by ce '''++=的通解为12()x x y C C x e e =++，则a 、b 、c 依次为A. 1，0，1B. 1，0，2C. 2，1，3D. 2，1，45.已知积分区域{(,)|||||}2D x y x y π=+≤，123d ,d ,(1d D D DI x y I x y I x y ===-⎰⎰⎰⎰，试比较123,,I I I 的大小A.321I I I <<B.123I I I <<C.213I I I <<D.231I I I <<6.已知(),()f x g x 二阶导数且在x =a 处连续，请问f (x ), g (x )相切于a 且曲率相等是2()()lim 0()x a f x g x x a →-=-的什么条件？A.充分非必要条件.B.充分必要条件.C.必要非充分条件.D.既非充分又非必要条件.7.设A 是四阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，若线性方程Ax =0的基础解系中只有2个向量，则A *的秩是（）A.0B.1C.2D.38.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若22.A A E +=且4A =，则二次型T x Ax 规范形为A.222123y y y ++B.222123y y y +-C.222123y y y --D.222123y y y ---二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分.9.()20lim 2x x x x →+= .10.曲线sin 1cos x t ty t =-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处切线在y 轴上的截距为 .11.设函数()f u 可导，2()y z yf x=，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . 12.设函数lncos (0)6y x x π=≤≤的弧长为 .13.已知函数21sin ()xt f x x dt t =⎰，则10()f x dx =⎰ . 14.已知矩阵11002111,32210034ijA A -⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭表示A 中（i ，j ）元的代数余子式，则1112A A -= . 三、解答题:15~23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019年考研数学二真题与解析
2019年考研数学二真题解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】（C ）【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331tan ()3x x x o x -=-+，所以3k =． 2．曲线3sin 2cos ()22y x x x x ππ=+-<<的拐点是（ ）（A ）(0,2) （B ）(,2)π- （C ）(,)22ππ- （D ）33(,)22ππ-【答案】（D ）【详解】sin 2cos y x x x =+，cos sin y x x x '=-，sin y x x ''=-，sin cos y x x x '''=--； 令sin 0y x x ''=-=得120,x x π==，且()0f π'''≠，所以(,2)π-是曲线的拐点； 而对于点(0,0)，由于(0)0f '''=，而(4)(0)0f≠，所以不是曲线的拐点．3．下列反常积分发散的是 （ ）（A ）xxe dx +∞-⎰（B ）2x xe dx +∞-⎰(C ）20arctan 1x dx x +∞+⎰（D ）201xdx x+∞+⎰ 【答案】（D ）【详解】（1）当x →+∞时，2()1x f x x =+是关于1x的一阶无穷小，当然201x dx x +∞+⎰发散； （2）用定义：20201ln(1)|12x dx x x +∞+∞=+=+∞+⎰，当然201x dx x+∞+⎰发散． 4．已知微分方程xy ay by ce '''++=的通解为12()x xy C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）（A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,4 【答案】（D ）【详解】（1）由非齐次线性方程的通解可看出121r r ==-是特征方程20r ar b ++=的实根，从而确定2,1a b ==；（2）显然，*xy e =是非齐次方程的特解，代入原方程确定4c =．5．已知平面区域{(,)|}2D x y x y π=+≤，记1DI =，2DI =⎰⎰，3(1DI dxdy =-⎰⎰ ，则 （ ）（A ）321I I I << （B ）213I I I << （C ）123I I I << （D ）231I I I << 【答案】（A ）【详解】（1）显然在区域D 22202x y π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，此时由结论当0x >时sin x x >知道≤12I I >；（2）当0x >时，令()1cos sin f x x x =--，则()sin cos f x x x '=-，()sin cos f x x x ''=+； 令()0f x '=得到在(0,)2π唯一驻点4x π=，且04f π⎛⎫''>⎪⎝⎭，也就是()1cos sin f x x x =--在4x π=取得极小值04f π⎛⎫<⎪⎝⎭，在0,2x x π==同时取得在[0,]2π上的最大值(0)()02f f π==，也就有了结论，当(0,)2x π∈时，1cos sin x x -<，也就得到了32I I <；由（1）、（2）可得到321I I I <<．6．设函数(),()f x g x 的二阶导函数在x a =处连续，则2()()lim0()x af xg x x a →-=-是两条曲线()y f x =，()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）充分必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】（A ） 【详解】充分性：（1）当2()()lim0()x af xg x x a →-=-进，由洛必达法则， 2()()1()()10limlim (()())()()()22x ax a f x g x f x g x f a g a f a g a x a x a →→''--''''===-⇒=-- 也就是两条曲线在x a =对应的点处相切； （2）2()()1()()10limlim (()())()()()22x ax a f x g x f x g x f a g a f a g a x a x a →→''--''''''''===-⇒=--由曲率公式k =x a =对应的点处曲率相等．必要性不正确的原因在于，虽然相切能得到()()f a g a ''=，但在相切前提下，曲率相等，只能得到()()f a g a ''''=，不能确定()()f a g a ''''=，当然得不到2()()lim0()x af xg x x a →-=-． 7． 设A 是四阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有两个向量，则(*)r A =（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】（A ）【详解】线性方程组0Ax =基础解系中只有两个向量，也就是4()2()213r A r A n -=⇒=<-=， 所以(*)0r A =．8．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是 （ ）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---【答案】（C ）【详解】假设λ是矩阵A 的特征值，由条件22A A E +=可得220λλ+-=，也就是矩阵A 特征值只可能是1和2-．而1234A λλλ==，所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-，根据惯性定理，二次型的规范型为222123y y y --．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．()20lim 2xxx x →+= ．【答案】24e解： ()()02(21)22lim2(1ln 2)20lim 2lim 1214x x x x x x xxx x x x ee e →+-+→→+=++-===10．曲线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处的切线在y 的截距为 ．【答案】322π+ 【详解】32sin ,|11cos t dy t dy dx t dx π===--，所以切线方程为331(1)222y x x ππ=---=-++，在y 的截距为322π+． 11.设函数()f u 可导，2y z yf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2z zx y x y ∂∂+=∂∂ .【答案】22z zy x y yf x y x ⎛⎫∂∂+= ⎪∂∂⎝⎭【详解】3222222,z y y z y y y f f f x x x y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂''=-=+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22z z y x y yf x y x ⎛⎫∂∂+= ⎪∂∂⎝⎭．12．曲线ln cos (0)6y x x π=≤≤的弧长为 ．【答案】1ln 32【详解】sec ds xdx ===66001sec ln(sec tan )|ln 3.2s xdx x x ππ==+=⎰13．已知函数21sin ()xt f x x dt t=⎰，则10()f x dx =⎰ ．【答案】1(cos11)4-． 【详解】（1）用定积分的分部积分：2111112000102112201021121220100210sin ()()|()()sin 1sin ()sin 21sin 11|sin sin 22211cos |(cos11)44xx x t f x dx xf x xf x dx x dt dx x x dx tt dt dx x x dxt t x dt x x dx x x dx t x '=-=--=--=--=-==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）转换为二重积分：22211111120010000sin sin sin 11()sin (cos11)24x t x t t t f x dx x dt dx xdx dt dt xdx t t dt t t t ⎛⎫==-=-=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰14．已知矩阵1100211132210034A -⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭，ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则1112A A -= ． 【答案】4-【详解】111211121314110021110043221034A A A A A A ----=-++==---．三、解答题15．（本题满分10分）已知函数2,0()1,0x x xx f x xe x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，求()f x '，并求函数()f x 的极值．【详解】当0x >时，22ln ()xx x f x xe ==，2()2(ln 1)xf x x x '=+；当0x <时，()1xf x xe =+，()(1)xf x x e '=+；在0x =处，22000()(0)12(ln 1)(0)limlim lim 1x x x x x f x f x x x f x x ++++→→→---'====-∞，所以()f x 在0x =处不可导．综合上述：22(ln 1),0()(1),0x xx x x f x x e x ⎧+>⎪'=⎨+<⎪⎩；令()0f x '=得到1211,x x e=-=． 当1x <-时，()0f x '<，当10x -<<时，()0f x '>，当10x e <<时，()0f x '<，当1x e>时，()0f x '>； 故11x =-是函数的极小值点，极小值为1(1)1f e --=-；0x =是函数的极大值点，极大值为(0)1f =；21x e=是函数的极小值点，极小值为21()e f e e -=．16．（本题满分10分）求不定积分2236(1)(1)x dx x x x +-++⎰．【详解】22222223623213(1)2ln 1(1)(1)1(1)11132ln 1ln(1)1x x d x x dx dx x x x x x x x x x x x x x x C x ⎛⎫++++=-++=---+ ⎪-++--++-++⎝⎭=---++++-⎰⎰⎰17．（本题满分10分）设函数()y x是微分方程22x y xy e '-=满足条件(1)y =的特解．（1）求()y x 的表达式；（2）设平面区域{(,)|12,0()}D x y x y y x =≤≤≤≤，求D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积． 【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程．先求解对应的线性齐次方程0y xy '-=的通解：22x y Ce =，其中C 为任意常数；再用常数变易法求22x y xy e'-=通解，设22()x y C x e=为其解，代入方程，得2222(),()x x C x e e C x ''==，1()C x C ==，也就是通解为：221)x y C e =把初始条件(1)y =10C =，从而得到22().x y x xe =（2）旋转体的体积为2222411()()2x x V y x dx xe dx e e πππ===-⎰⎰．18．（本题满分10分）设平面区域2234{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤，计算二重积分D．【详解】显然积分区域2234{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤关于y 轴对称，由对称性，显然0D=；233sin 5440441sin sin 2DDd r dr d ππθππθθθθ====⎰⎰⎰ 19．（本题满分10分）设n 是正整数，记n S 为曲线求曲线sin (0)xy e x x n π-=≤≤与x 轴所形成图形的面积，求n S ，并求lim .n n S →∞【详解】先求曲线与x 轴的交点：令sin 0x e x -=得,0,1,2,x k k n π==当2(21)k x k ππ<<+时，sin 0xy e x -=>；当2(22)k x k πππ+<<+时，sin 0x y e x -=<．由不定积分1sin (sin cos )2x xe xdx e x x C --=-++⎰可得 2221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππ+---=+⎰，22221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+⎰所求面积为0sin n x n S e xdx π-=⎰．当n 为奇数时，(21)22221022022002(1)2222(1)20sin sin sin 11(1)(1)2211111(1)(1)(1)22121nnn k k xxx n k k k k nnk k k k n n k n k S exdx e xdx e xdxe e e e e e e e e e e e πππππππππππππππππππππ+++---++==-----==-+-----+--===-=+++-+=+=+=---∑∑⎰⎰⎰∑∑∑同理：(2)22011sin (1)21n xn n e S exdx e eππππ----+==--⎰显然，有21211lim lim 21n n n n e S S e ππ+-→∞→∞+==-．所以11lim 21n n e S eππ-→∞+=-． 20．（本题满分11分）已知函数(,)u x y 满足关系式22222230u u ux y y ∂∂∂-+=∂∂∂．求,a b 的值，使得在变换(,)(,)ax by u x y v x y e +=之下，上述等式可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式．【详解】在变换(,)(,)ax byu x y v x y e+=之下(,)ax byax by u v e av x y e x x++∂∂=+∂∂，(,),ax by ax by u v e bv x y e y y ++∂∂=+∂∂ 222222(,)ax by ax by ax byu v v e a e a v x y e x x x+++∂∂∂=++∂∂∂， 222222(,)ax by ax by ax byu v v e b e b v x y e y y y +++∂∂∂=++∂∂∂； 把上述式子代入关系式22222230u u ux y y∂∂∂-+=∂∂∂，得到 222222224(34)(223)(,)0v v v va b a b b v x y x y x y∂∂∂∂-++-+-+=∂∂∂∂ 根据要求，显然当30,4a b ==时，可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式． 21．（本题满分11分）已知函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数，且(0)0,(1)1f f ==，1()1f x dx =⎰，证明：（1）至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0f ξ'=； （2）至少存在一点(0,1)η∈，使得()2f η''<-． 证明 （1）令0()()xx f t dt Φ=⎰，则1(0)0,(1)()1f x dx Φ=Φ==⎰，则由于()f x 在[]0,1连续，则()x Φ在[]0,1上可导，且()()x f x 'Φ=，则由拉格朗日中值定理，至少存在一点1(0,1)ξ∈，使得()(1)(0)ξ'Φ=Φ-Φ，也就是1101()()(1)f x dx f f ξ===⎰；对()f x 在()1,1ξ上用罗尔定理 ，则至少存在一点1(,1)(0,1)ξξ∈⊂，使得()0f ξ'=；（2）令2()()F x f x x =+，则显然，()F x 在[]0,1具有二阶导数，且211(0)0,(1)2,()1F F F ξξ===+．对()F x 分别在[][]110,,,1ξξ上用拉格朗日中值定理，至少存在一点11(0,)ηξ∈，使得211111()(0)1()0F F F ξξηξξ-+'==-； 至少存在一点21(,1)ηξ∈，使得1211()(1)()11F F F ξηξξ-'==+-；对()()2F x f x x ''=-在[]12,ηη上用拉格朗日中值定理，则至少存在一点12(,)(0,1)ηηη∈⊂，使得211212111()()()0F F F ηηξηηηηη-''-''==<--，也就是()2f η''<-．22．（本题满分11分）已知向量组Ⅰ：12321111,0,2443a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭；向量组Ⅱ：12321011,2,3313a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭．若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价，求常数a 的值，并将3β用123,,ααα线性表示．【详解】向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价的充分必要条件是123123123123(,,)(,,)(,,;,,)r r r αααβββαααβββ==1231232222111101111101(,,;,,)102123011022443313001111a a a a a a a a αααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-+----⎝⎭⎝⎭（1）当1a =时，显然， 123123123123(,,)(,,)(,,;,,)2r r r αααβββαααβββ===，两个向量组等价．此时，123311111023(,,;)0112011200000000αααβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 方程组112233x x x αααβ++=的通解为123231210x x x k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，也就是3123(23)(2)k k k βααα=-++-+，其中k 为任意常数；（2）当1a ≠时，继续进行初等行变换如下：12312322111101111101(,,;,,)011022011022001111001111a a a a a a αααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-+⎝⎭⎝⎭显然，当1a ≠-且1a ≠时，123123123(,,)(,,;,,)3r r ααααααβββ==，同时()123101101101,,02202201111101001a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，123(,,)3r βββ=，也就是 123123123123(,,)(,,)(,,;,,)2r r r αααβββαααβββ===，两个向量组等价．这时，3β可由123,,ααα线性表示，表示法唯一：3123βααα=-+．23．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=．【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：A BtrA trB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2(24)241x y x y --+=-⎧⎨-+=+⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩．（2）解方程组221232(2)(2)(1)0002E A λλλλλλλ+--=--=+-+=+得矩阵A 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-；分别求解线性方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==得到分属三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231112,1,2004ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()1123111,,212004P ξξξ-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，则1P 可逆，且11212P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭； 同样的方法，可求得属于矩阵B 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231100,3,00014ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()2123110,,030001P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则2P 可逆，且12212P BP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；由前面111122P AP P BP --=，可知令112111212004P PP --⎛⎫⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，就满足1P AP B -=．。