数学之美 论文

徜徉于数学文化长河，感悟数学文化之美

----浅谈对数学发展的四个阶段的认识

张沫

（商学院管理科学与工程系0912189）

摘要：通过对于数学历史发展四个阶段的介绍，来诠释出我对于“数学之美”的理解，以及我在这个过程中体会到的数学之美。

关键词：演绎数学；微积分时期；形式主义公理化时期；新数学时代；集合论悖论

1 前言

日本数学家藤天宏教授指出，人类历史上有四个数学高峰：第一个是古希腊的演绎数学时期，它代表了作为科学形态的数学的诞生，是人类“理性思维”的第一个重大胜利；第二个是牛顿－莱布尼兹的微积分时期，它为了满足工业革命的需要而产生，在力学、光学、工程技术领域获得巨大成功；第三个是希尔伯特为代表的形式主义公理化时期；第四个是以计算机技术为标志的新数学时期，我们现在就处在这个时期。此外，数学历史上的三大危机分别是古希腊时期的不可公度量，17、18世纪微积分基础的争论和20世纪初的集合论悖论，它同前三个高峰有着惊人的密切联系，这种联系绝不是偶然：首先，伟大的发现和进展往往是站在巨人的肩膀上完成的，只有敢于向权威提出挑战，不断地提出新的问题才能取得新的进展，数学史也才得以发展至今日的辉煌，因此这也是数学作为一门追求完美的科学的必然。从数学历史的发展中，我们不难看出数学的清晰、准确、严密，不允许有任何杂乱，也不允许有任何含糊，充分体现出数学的“严谨美”。下面我将按照数学发展的四个阶段来阐释它所散发出来的美。

1．1 “坚实之美”：

古代希腊的数学时期，自公元前600年左右开始，到公元641年为止共持续了近1300 年.。古希腊数学的经典之作是欧几里得的名著《几何原本》。在这部著作中，欧几里得完成了具有划时代意义工作：他将以实验和观察而建立起来的经验科学，过渡为演绎科学。主要体现于：将逻辑证明系统地引入数学之中。此外，欧几里得采用了公理、定理，并经过细致的斟酌，筛选，使得《几何原本》更加系统化，理论化。《几何原本》对数学历史的发展作出的贡献包括：1. 建立了公理体系，明确提出所用的公理、公设和定义。由浅入深地揭示一系列定理，使得用一小批公理证出几百个定理。2. 把逻辑证明系统地引入数学中，强调逻辑证明是确立数学命题真实性的一个基本方法。3. 示范地规定了几何证明的方法：分析法、综合法及归谬法。数学发展的第一阶段可以作为数学发展史上的一块基石，有着“坚实之美”。因为在此之前还没有哪一部能够总结人类长期积累数学成就的著作，而建立了早期数学科学体系的雏形也是史无前例的，这种“坚实之美”为后世学习和研究数学提供了课题和资料，更使几何学的发展充满了生机。

1．2 “蓬勃之美”：

客观世界，小至粒子，大至宇宙，都时刻发生着运动。物理学的蓬勃发展，如对于一些运动现象的解释，引入了新的物理学概念，如加速度（即速度的变化率），体现在数学图象上（s-t图象）是斜率，而斜率应用到了极限的概念，微分学便这样应运而生。又如，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。生产生活中一些实际问题的急待解决也推动了微分学的发展，如函数的最大值和最小值。这个阶段，数学经历了蓬勃发展的过程，充分体现了它的“蓬勃之美”。

1．3 “乘风破浪之美”：

19世纪80年代，希尔伯特创立了集合论，并将整个数学建立在集合论的基础之上。但是，当人们试图证明集合论的相容性时，发现集合论中存在着悖论，也就是说集合论是自相矛盾的。于是数学基础陷入了深深的危机。当这种危机来临时，一些数学家甚至是著名的数学家放弃了自己传统数学的观点，并退出了数学基础研究的战场；还有一些数学家主张对传统数学进行严厉的批判，禁止使用数学中的一些重要概念（如“实无限”）、重要定理（如与“选择公理”等价的定理）和常用推理方法（如“排中律”）。与上述两种人的做法不同，希尔伯特试图理性地寻找一条完全令人满意的解除危机的道路，它既能绕过这些悖论，又不致于大量地排斥传统数学的内容。他在总结自己数学研究经验的基础上，于1925年提出了一个解决数学基础危机的方案：以形式化、公理化为基础（即先将一个数学理论形式化、公理化，将它组织在一个形式公理化的系统之中），以有限立场的推理方法为工具，去证明该数学理论的相容性；一旦这种证明得以完成，就说明该数学理论的基础绝对牢固。这就是现代数学基础研究活动中的“形式主义数学哲学思想” 。

在漫长的数学发展之路上，不乏希伯尔特这种坚持无畏的人，在面对困难时或被质疑时，能够做到“不抛弃，不放弃”。如果没有希伯尔特，我简直不敢想象数学史发展成了什么样子？！科学历史的发展的确应该多一些希伯尔特这样纯粹的人，研究不只为了自己的荣誉和名誉，只做有把握的事，只研究那种能让自己流芳百世的课题，而当他们得知这并不能给他们带来什么好处，反而会让他们背上“历史的黑锅”时，他们都退却了脚步。惟有心中充满历史责任感的人在这时才会站出来，为了人类文明的发展，他们宁愿拿自己的名誉去和真理抗衡，哪怕只有万分之一的机会也要试一试！这种坚持和勇敢可以说是一种“乘风破浪之美”。1．4“腾飞之美”：

计算机的基础是数学。计算机本身并没有智慧，他只是在做相同的动作，而真正简便的程序原于精练的算法，算法的精髓又在于数学。一些复杂的计算机理论是许多数学知识的融合：软件工程需要图论，密码学需要数论，软件测试需要组合数学，计算机程序的编制更需要很多数学知识，如集合论、排队论、离散数学、统计学，当然还有微积分。计算机科学最大的特点是信息与知识更新的速度很快，这就更加需要数学的辅助。只有数学领域中更快更

新的发展，才能促使计算机的腾飞。而现在计算机领域的飞速发展无不说明着数学的“腾飞之美”。

进入大学后，数学学习的形式和方法和高中有了很大的区别，更加注重定理和公式的证明，应用上题目的难度也大幅提高，在学习的过程中我们体会到的更多的是数学的枯燥和繁琐，也很有可能丧失了对数学学习的热情。通过翻阅资料，又重新唤醒了我对于数学的激情。数学发展的历史并不是一帆风顺的，其中经历了无数的坎坷，但是总有一些时代的弄潮儿不甘放弃，为了数学史的发展，甚至是人类文明的发展奉献着自己的青春和热情。总体来说，数学一直呈现出螺旋式上升，波浪式前进的形式，这种势头是可喜的，也是值得全人类骄傲和自豪的。。。数学的美丽还有很多种，还等待着我们这一代人坚持不懈的努力去叙写人类历史的辉煌！

参考文献：

[1]．《数学史概论》（美）H·伊夫斯著山西经济出版社

[2]．《数学发展简史》张贵新著东北师范大学出版社