函数.07对数函数(A级).学生版

一、对数的定义

如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b = log b a a N N b =⇔=（0a >，1a ≠，0N >）．

二、对数的运算性质

1．对数的性质

()log log log a a a MN M N =+． log log log a

a a M

M N N

=-． log log n a a M n M =．（00M N >>，，0a >，1a ≠）b m

n

b a n a

m log log =（ a, b > 0且均不为1） 2．换底公式：log log log m a m N

N a

= ( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠) 常用的推论：

（1）log log 1a b b a ⨯= ；1log log log =⋅⋅a c b c b a ．

（2）log log m n

a a n

b b m

=

（a 、0b >且均不为1）．1

log log log 1n m N

N N a a a m

n n m

==． （3）01log =a ，1log =a a （4）对数恒等式N a N a =log ．

三、对数函数的图像及性质

① 函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，图像如下

知识要点

对 数 函 数

1a > 01a <<

图 象

1

o

y x

1

o

y

x

性 质

定义域：（0，+∞） 值域：R

过点（1，0），即当1=x 时，0=y

)1,0(∈x 时 0y

)1,0(∈x 时 0>y ),1(+∞∈x 时0

在（0，+∞）上是增函数

在（0，+∞）上是减函数

② 对数函数的性质：定义域：(0,)+∞； 值域：R ； 过点(1,0)，即当1x =时，0y =． 当0a >时，在（0，+∞）上是增函数；当01a <<时，在（0，+∞）上是减函数．

1o

y

x

四、对数函数与指数函数的关系

对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称． 指数方程和对数方程主要有以下几种类型：

()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（定义法）

()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>（转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= (取对数法)

五、对数函数有关的性质

（1）x

y a =与log a y x =；2x x a a y --=

与(l g ()a y o x x R =+∈；11x x a y a -=+与1log 1a x y x

+=- 关

于y x =对称， （2）已知1()lg

1x

f x x +=-,,(1,1)a b ∈-则()()1a b f a f b f ab +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭

（3）指数函数与对数函数可以有两个或一个交点．

1. 对数基本运算

【例1】 求下列各式中x 的值：

①642

log 3

x =-；②log 86x =；③lg100x =；④2ln e x -=．

【例2】 计算：（1）2

(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；

（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+

【例3】 计算(

)

2log 3535+--

【例4】 已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于（ ）．

A ． 1

B ． 2

C ． 8

D ． 12

【例5】 1log

n n

++（1n n ＋－）等于（ ）．

A ． 1

B ． －1

C ． 2

D ． －2

【例6】 若2510a b ==，则

11

a b

+= ．

例题精讲

【例7】 求证：（1）log n a a n =； （2）log log log a a a

M

M N N

-=．

【例8】 试推导出换底公式：log log log c a c b

b a

=

（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）．

【例9】 下列各式中，正确的是

（ ）

A ．2lg 2lg x x = B

．1

log log a a x n

=

C ．

log log log a a a x x

y y

=

D

1

log 2

a x =

【例10】 函

数2

212

12()log (0,1),()()()()a f x x a a f x f x f x f x =>≠-=-=若，则 22

12()()f x f x -＝

【例11】 设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 ．