求解变力做功的四种
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B
A．( 3－1)d B．( 2－1)d
5－1d C. 2
2 D. d
2
*
栏目 导引
第七章 机械能守恒定律*
[解析] 在将钉子钉入木板的过程中，随着深度的增加，阻力 成正比地增 加，这属于变力做功问 题，由于力与深度成正 比， 可将变力等效为恒 力来处理． 根据题意可得 第一次做功： W＝ F1 d＝k2dd.
*
栏目 导引
第七章 机械能守恒定律*
•
(2015·西安八校高一联考)某人利用如图所示
的装置，用100 N的恒力F作用于不计质量的细绳的
一端，将物体从水平面上的A点移到B点。已知α1＝ 30°，α2＝37°，h＝1．5 m，不计滑轮质量及绳 与滑轮间的摩擦．求绳的拉力对物体所做的功。
*
栏目 导引
第七章 机械能守恒定律*
W＝1s·ks＝1ks2. 22
*
栏目 导引
第七章 机械能守恒定律*
法二：平均力法 拉力 F＝ks′，力与位移成正比，力 F 为线性力，则平均力为 F ＝0＋2 ks＝12ks. W＝ F s＝1ks2.
2 [答案] 1ks2
2
*
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第七章 机械能守恒定律*
微元法求变力做功
• 当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或 反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这 样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段 上的功，再求和即可。
动到B端(圆弧AB在竖直平面内)。拉力F大小不变
始终为15 N，方向始终与物体所在位置的切线成
37°角。圆弧所对应的圆心角为60°，BO边为竖直
方向，g取10 m/s2。求这一过程中：
• (1)拉力F做的功；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• (2)重力mg做的功；
•
*
(3)圆弧面对物体的支持力FN做的功．
栏目 导引
第七章 机械能守恒定律*
• W＝F(Δs1＋Δs2＋Δs3＋…)＝2πRF. • 因此功等于力F与物体实际路径长度的乘积．即 • W＝Fs. • 对于滑动摩擦力、空气阻力，方向总是与v反向，故 • W＝－Ff·s.
*
栏目 导引
第七章 机械能守恒定律*
• 如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R
＝5.0 m的圆弧的A端，在拉力F作用下沿圆弧缓慢运
• [答案] (1)62.8 J (2)－50 J (3)0
*
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转换法求变力做功
第七章 机械能守恒定律*
• 1．分段转换法：力在全程是变力，但在每一个 阶段是恒力，这样就可以先计算每个阶段的功 ，再利用求和的方法计算整个过程中变力做的 功．
• 2．等效替换法：若某一变力的功和某一恒力的 功相等，则可以用求得的恒力的功来作为变力 的功．
第七章 机械能守恒定律
习题课 求解变力做功的四种方法
第七章 机械能守恒定律*
• 1．做功的两个必要因素 • (1)作用在物体上的力． • (2)物体在力方向上的位移． • 2．功的表达式：W＝Flcos α，α为力F与位移l的
夹角． • (1)α<90°时，W>0. • (2)α>90°时，W<0. • (3)α＝90°时，W＝0.
*
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第七章 机械能守恒定律*
•
如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另
一端与一个质量为m的木块连接，放在光滑的水平
面上，弹簧的劲度系数为k，处于自然状态．现用
一水平力F缓慢拉动木块,使木块向右移动s，求这
一过程中拉力对木块做的功。
*
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第七章 机械能守恒定律*
[解析] 缓慢拉动木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力 等于弹力的大小 F＝ks′，是变力． 法一：图象法 力 F 随位移 s′变化的关系如图所示，则力 F 所做的功在数值 上等于图线 OA 与所对应的横轴所包围的面积，即等于△OAs 的面积．则：
第二次做功：W＝F2d′＝kd＋d′ 2 d′.
联立解得 d′＝( 2－1)d.
[归纳提升] 当力为变力，应用平均值法求功时， F ＝F1＋F2 2
只能用于 F 与位移 l 成线性关系的情况，不能用于 F 与时间 t
成线性关系的情况．
*
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图象法求变力做功
第七章 机械能守恒定律*
• 变力做的功W可用F－l图线与l轴所围成的面积 表示．l轴上方的面积表示力对物体做正功的多 少，l轴下方的面积表示力对物体做负功的多少 ．
*
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第七章 机械能守恒定律*
• 例如：如图所示，物体在大小不变、方向始终沿着圆 周的切线方向的一个力F的作用下绕圆周运动了一圈 ，又回到出发点．已知圆周的半径为R，求力F做的功 时，可把整个圆周分成很短的间隔Δs1、Δs2、Δs3…在 每一段上，可近似认为F和位移Δs在同一直线上并且 同向，故
[解析] (1)将圆弧 AB 分成很多小段 l1、l2、…、ln，拉力在每 小段上做的功为 W1、W2、…、Wn，因拉力 F 大小不变，方向 始终与物体所在位置的切线方向成 37°角，所以： W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Flncos 37°， 所以 WF＝W1＋W2＋…＋Wn ＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln) ＝Fcos 37°·π3R＝20π J＝62.8 J. (2)重力 mg 做的功 WG＝－mgR(1－cos 60°)＝－50 J. (3)物体受的支持力 FN 始终与物体的运动方向垂直，所以 WFN ＝0.
[解析] 绳对物体的拉力虽然大小不变，但方向不断变化，所 以不能直接根据 W＝Flcos α 求绳的拉力对物体做的功。 由于不计绳与滑轮的质量及摩擦，所以恒力 F 做的功和绳对物 体的拉力做的功相等。本题可以通过求恒力 F 所做的功求出绳 对物体的拉力所做的功。由于恒力 F 作用在绳的端点，故需先 求出绳的端点的位移 l，再求恒力 F 的功。 由几何关系知，绳的端点的位移为
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第七章 机械能守恒定律*
平均值法求变力做功 当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，可先求出力 对位移的平均值 F ＝F1＋F2，再由 W＝ F lcos α 计算功．
2
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第七章 机械能守恒定律*
用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进 木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进 d，如果铁锤 第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉 子进入木板的深度是( )
A．( 3－1)d B．( 2－1)d
5－1d C. 2
2 D. d
2
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第七章 机械能守恒定律*
[解析] 在将钉子钉入木板的过程中，随着深度的增加，阻力 成正比地增 加，这属于变力做功问 题，由于力与深度成正 比， 可将变力等效为恒 力来处理． 根据题意可得 第一次做功： W＝ F1 d＝k2dd.
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第七章 机械能守恒定律*
•
(2015·西安八校高一联考)某人利用如图所示
的装置，用100 N的恒力F作用于不计质量的细绳的
一端，将物体从水平面上的A点移到B点。已知α1＝ 30°，α2＝37°，h＝1．5 m，不计滑轮质量及绳 与滑轮间的摩擦．求绳的拉力对物体所做的功。
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第七章 机械能守恒定律*
W＝1s·ks＝1ks2. 22
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第七章 机械能守恒定律*
法二：平均力法 拉力 F＝ks′，力与位移成正比，力 F 为线性力，则平均力为 F ＝0＋2 ks＝12ks. W＝ F s＝1ks2.
2 [答案] 1ks2
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第七章 机械能守恒定律*
微元法求变力做功
• 当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或 反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这 样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段 上的功，再求和即可。
动到B端(圆弧AB在竖直平面内)。拉力F大小不变
始终为15 N，方向始终与物体所在位置的切线成
37°角。圆弧所对应的圆心角为60°，BO边为竖直
方向，g取10 m/s2。求这一过程中：
• (1)拉力F做的功；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• (2)重力mg做的功；
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(3)圆弧面对物体的支持力FN做的功．
栏目 导引
第七章 机械能守恒定律*
• W＝F(Δs1＋Δs2＋Δs3＋…)＝2πRF. • 因此功等于力F与物体实际路径长度的乘积．即 • W＝Fs. • 对于滑动摩擦力、空气阻力，方向总是与v反向，故 • W＝－Ff·s.
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第七章 机械能守恒定律*
• 如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R
＝5.0 m的圆弧的A端，在拉力F作用下沿圆弧缓慢运
• [答案] (1)62.8 J (2)－50 J (3)0
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转换法求变力做功
第七章 机械能守恒定律*
• 1．分段转换法：力在全程是变力，但在每一个 阶段是恒力，这样就可以先计算每个阶段的功 ，再利用求和的方法计算整个过程中变力做的 功．
• 2．等效替换法：若某一变力的功和某一恒力的 功相等，则可以用求得的恒力的功来作为变力 的功．
第七章 机械能守恒定律
习题课 求解变力做功的四种方法
第七章 机械能守恒定律*
• 1．做功的两个必要因素 • (1)作用在物体上的力． • (2)物体在力方向上的位移． • 2．功的表达式：W＝Flcos α，α为力F与位移l的
夹角． • (1)α<90°时，W>0. • (2)α>90°时，W<0. • (3)α＝90°时，W＝0.
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第七章 机械能守恒定律*
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如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另
一端与一个质量为m的木块连接，放在光滑的水平
面上，弹簧的劲度系数为k，处于自然状态．现用
一水平力F缓慢拉动木块,使木块向右移动s，求这
一过程中拉力对木块做的功。
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第七章 机械能守恒定律*
[解析] 缓慢拉动木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力 等于弹力的大小 F＝ks′，是变力． 法一：图象法 力 F 随位移 s′变化的关系如图所示，则力 F 所做的功在数值 上等于图线 OA 与所对应的横轴所包围的面积，即等于△OAs 的面积．则：
第二次做功：W＝F2d′＝kd＋d′ 2 d′.
联立解得 d′＝( 2－1)d.
[归纳提升] 当力为变力，应用平均值法求功时， F ＝F1＋F2 2
只能用于 F 与位移 l 成线性关系的情况，不能用于 F 与时间 t
成线性关系的情况．
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图象法求变力做功
第七章 机械能守恒定律*
• 变力做的功W可用F－l图线与l轴所围成的面积 表示．l轴上方的面积表示力对物体做正功的多 少，l轴下方的面积表示力对物体做负功的多少 ．
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第七章 机械能守恒定律*
• 例如：如图所示，物体在大小不变、方向始终沿着圆 周的切线方向的一个力F的作用下绕圆周运动了一圈 ，又回到出发点．已知圆周的半径为R，求力F做的功 时，可把整个圆周分成很短的间隔Δs1、Δs2、Δs3…在 每一段上，可近似认为F和位移Δs在同一直线上并且 同向，故
[解析] (1)将圆弧 AB 分成很多小段 l1、l2、…、ln，拉力在每 小段上做的功为 W1、W2、…、Wn，因拉力 F 大小不变，方向 始终与物体所在位置的切线方向成 37°角，所以： W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Flncos 37°， 所以 WF＝W1＋W2＋…＋Wn ＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln) ＝Fcos 37°·π3R＝20π J＝62.8 J. (2)重力 mg 做的功 WG＝－mgR(1－cos 60°)＝－50 J. (3)物体受的支持力 FN 始终与物体的运动方向垂直，所以 WFN ＝0.
[解析] 绳对物体的拉力虽然大小不变，但方向不断变化，所 以不能直接根据 W＝Flcos α 求绳的拉力对物体做的功。 由于不计绳与滑轮的质量及摩擦，所以恒力 F 做的功和绳对物 体的拉力做的功相等。本题可以通过求恒力 F 所做的功求出绳 对物体的拉力所做的功。由于恒力 F 作用在绳的端点，故需先 求出绳的端点的位移 l，再求恒力 F 的功。 由几何关系知，绳的端点的位移为
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第七章 机械能守恒定律*
平均值法求变力做功 当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，可先求出力 对位移的平均值 F ＝F1＋F2，再由 W＝ F lcos α 计算功．
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第七章 机械能守恒定律*
用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进 木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进 d，如果铁锤 第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉 子进入木板的深度是( )