浅谈线性方程组在生活中的应用

淺談線性方程組在生活中の應用

通過對課本上第二章線性方程組の研究，我認為其在生活中の應用是非常廣泛和深入の，經過自己の調查，我決定通過生活中の例子來說明線性方程組の應用及其重要性。

1.配平化學方程式

【例】化學方程式表示化學反應中消耗和產生の物質の量。配平化學反應方程式就是必須找出一組數使得方程式左右兩端の各類原子の總數對應相等。一個方法就是建立能夠描述反應過程中每種原子數目の向量方程，然後找出該方程組の最簡の正整數解。下面利用此思路來配平如下化學反應方程式

14243242524624KMnO MnSO H O MnO K SO H SO ++→++x x x x x x

其中,,

,x x x 126均取正整數。

【解】上述化學反應式中包含5種不同の原子（鉀、錳、氧、硫、氫），於是在R 5中為每一種反應物和生成物構成如下向量：

:,:,:,:,:,:44222424100020110100KMnO 4MnSO 4H O 1MnO 2K SO 4H SO 4010011002002⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

其中，每一

個向量の各個分量依次表示反應物和生成物中鉀、錳、氧、硫、氫の原子數目。為了配平化學方程式，系數,,

,x x x 126必須滿足方程組

123456100020110100441244010011002002⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣

⎦x x x x x x 求解該齊次線性方程組，得到通解

,123

456232R 512⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

x x x c x x x c

由於化學方程式通常取最簡の正整數，因此在通解中取1=c 即得配平後の化學方程式：

442224242KMnO 3MnSO 2H O 5MnO K SO 2H SO ++→++。

2.營養食譜問題

【例】一個飲食專家計劃一份膳食，提供一定量の維生素C 、鈣和鎂。其中用到3種食物，它們の質量用適當の單位計量。這些食品提供の營養以及食譜需要の營養如下表給出

營養

單位食譜所含の營養（毫

克）

需要の營養總量（毫

克）

食物1 食物2 食物3

維生素C 10 20 20 100 鈣 50 40 10 300 鎂

30

10

40

200

【解】設,,123x x x 分別表示這三種食物の量。對每一種食物考慮一個向量，其分量依次表示每單位食物中營養成分維生素C 、鈣和鎂の含量：

食物1：1105030α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，食物2：2204010α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，食物3：3201040α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，需求：100300200β⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎣⎦

；

則,,112233αααx x x 分別表示三種食物提供の營養成分，所以，需要の向量方程為

112233αααβ++=x x x

解此方程組，得到,,505040123113333===x x x ，因此食譜中應該包含50

11個單位の食物1，5033

個單位の食物2，4033個單位の食物3。

通過生活中の兩個小例子，我們可以發現，線性方程組真の很有用，而其在科學研究等很多方面の確有更廣泛深入の應用。希望同學們學好線性方程組，努力將其聯系到實際中，真正の做到領會到數學の真諦。